第4講　萬有引力與航天

真題再現(xiàn)
1.(2019·高考江蘇卷)1970年成功發(fā)射的“東方紅一號(hào)”是我國第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運(yùn)動(dòng)．如圖所示，設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度分別為v1、v2，近地點(diǎn)到地心的距離為r，地球質(zhì)量為M，引力常量為G.則(　　)

A.v1>v2，v1＝　
B.v1>v2，v1>
C.v1v2；又“東方紅一號(hào)”離開近地點(diǎn)開始做離心運(yùn)動(dòng)，則由離心運(yùn)動(dòng)的條件可知G，B正確，A、C、D錯(cuò)誤.
2.(2018·高考江蘇卷)我國高分系列衛(wèi)星的高分辨對(duì)地觀察能力不斷提高．今年5月9日發(fā)射的“高分五號(hào)”軌道高度約為705 km，之前已運(yùn)行的“高分四號(hào)”軌道高度約為36 000 km，它們都繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)．與“高分四號(hào)”相比，下列物理量中“高分五號(hào)”較小的是(　　)
A.周期
B.角速度
C.線速度
D.向心加速度
解析：選A.由萬有引力定律有G＝mRω2＝mR＝m＝ma，可得T＝2π，ω＝，v＝，a＝，又由題意可知，“高分四號(hào)”的軌道半徑R1大于“高分五號(hào)”的軌道半徑R2，故可知“高分五號(hào)”的周期較小，選項(xiàng)A正確.
3.(多選)(2017·高考江蘇卷)“天舟一號(hào)”貨運(yùn)飛船于2017年4月20日在文昌航天發(fā)射中心成功發(fā)射升空．與“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室對(duì)接前，“天舟一號(hào)”在距地面約380 km的圓軌道上飛行，則其(　　)
A.角速度小于地球自轉(zhuǎn)角速度
B.線速度小于第一宇宙速度
C.周期小于地球自轉(zhuǎn)周期
D.向心加速度小于地面的重力加速度
解析：選BCD.“天舟一號(hào)”在距地面約380 km的圓軌道上飛行時(shí)，由G＝mω2r可知，半徑越小，角速度越大，則其角速度大于同步衛(wèi)星的角速度，即大于地球自轉(zhuǎn)的角速度，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由于第一宇宙速度是最大環(huán)繞速度，因此“天舟一號(hào)”在圓軌道的線速度小于第一宇宙速度，B項(xiàng)正確；由T＝可知，“天舟一號(hào)”的周期小于地球自轉(zhuǎn)周期，C項(xiàng)正確；由G＝mg，G＝ma可知，向心加速度a小于地球表面的重力加速度g，D項(xiàng)正確.
考情分析



命題研究
天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律及萬有引力定律的應(yīng)用是高考每年必考內(nèi)容，屬于簡單題，一般會(huì)結(jié)合我國的航天事業(yè)進(jìn)行考查；在備考中要注重復(fù)習(xí)解答天體運(yùn)動(dòng)的兩條思路、開普勒定律等核心知識(shí)點(diǎn)，并關(guān)注一些天體學(xué)中的前沿知識(shí)點(diǎn)，近幾年中國及世界空間技術(shù)和宇宙探索為背景的題目備受青睞，會(huì)形成新情景的物理題

　萬有引力定律及天體質(zhì)量和密度的求解
【高分快攻】
1．自力更生法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.
由G＝mg得天體質(zhì)量M＝.
天體密度：ρ＝＝＝.
2．借助外援法：通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T.
(1)由G＝m得天體的質(zhì)量為M＝.
(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度
ρ＝＝＝.
(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí)，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝，可見，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)行的周期T，就可估算出中心天體的密度．
【典題例析】
(2018·高考全國卷Ⅱ)2018年2月，我國500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms，假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為(　　)
A．5×109 kg/m3　　　　　
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
[解析]　毫秒脈沖星穩(wěn)定自轉(zhuǎn)時(shí)由萬有引力提供其表面物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入數(shù)據(jù)解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正確．
[答案]　C
【題組突破】
角度1　萬有引力定律的應(yīng)用
1．(2019·鎮(zhèn)江質(zhì)檢)理論上已經(jīng)證明：質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬有引力為零．現(xiàn)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實(shí)心球體，O為球心，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸Ox，如圖所示，一個(gè)質(zhì)量一定的小物體(假設(shè)它能夠在地球內(nèi)部移動(dòng))在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則選項(xiàng)所示的四個(gè)F隨x變化的關(guān)系圖中正確的是(　　)


解析：選A.因?yàn)橘|(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬有引力為零，則在距離球心x處(x≤R)物體所受的引力為F＝＝＝Gπρmx∝x，故F－x圖線是過原點(diǎn)的直線；當(dāng)x>R時(shí)，F(xiàn)＝＝＝∝，故選項(xiàng)A正確．
角度2　天體質(zhì)量的計(jì)算
2．(多選)(2019·徐州模擬)宇航員抵達(dá)一半徑為R的星球后，做了如下的實(shí)驗(yàn)：取一根細(xì)繩穿過光滑的細(xì)直管，細(xì)繩的一端拴一質(zhì)量為m的砝碼，另一端連接在一固定的拉力傳感器上，手捏細(xì)直管掄動(dòng)砝碼，使它在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．若該星球表面沒有空氣，不計(jì)阻力，停止掄動(dòng)細(xì)直管，砝碼可繼續(xù)在同一豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，此時(shí)拉力傳感器顯示砝碼運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)與最高點(diǎn)兩位置時(shí)讀數(shù)差的絕對(duì)值為ΔF.已知萬有引力常量為G，根據(jù)題中提供的條件和測(cè)量結(jié)果，可知(　　)
A．該星球表面的重力加速度為
B．該星球表面的重力加速度為
C．該星球的質(zhì)量為
D．該星球的質(zhì)量為
解析：選BC.設(shè)砝碼在最高點(diǎn)的速率為v1，受到的彈力為F1，在最低點(diǎn)的速率為v2，受到的彈力為F2，則有
F1＋mg＝m，F(xiàn)2－mg＝m
砝碼由最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得：
mg·2R＋mv＝mv
拉力傳感器讀數(shù)差為ΔF＝F2－F1＝6mg
故星球表面的重力加速度為g＝，A錯(cuò)誤，B正確；
在星球表面附近有：
G＝mg，則M＝，故C正確，D錯(cuò)誤．
　衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析
【高分快攻】
1．在討論有關(guān)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，關(guān)鍵要明確向心力、軌道半徑、線速度、角速度、周期和向心加速度，彼此影響、互相聯(lián)系，只要其中一個(gè)量確定了，其他的量也就不變了；只要一個(gè)量發(fā)生了變化，其他的量也隨之變化．
2．不管是定性分析還是定量計(jì)算，必須抓住衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)．萬有引力提供衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)G＝m＝mω2r＝mr ＝ma求出相應(yīng)物理量的表達(dá)式即可討論或求解，需要注意的是a、v、ω、T均與衛(wèi)星質(zhì)量無關(guān)．
3．兩種衛(wèi)星的特點(diǎn)
(1)近地衛(wèi)星
①軌道半徑＝地球半徑．
②衛(wèi)星所受萬有引力＝mg.
③衛(wèi)星向心加速度＝g.
(2)同步衛(wèi)星
①同步衛(wèi)星繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期．
②所有同步衛(wèi)星都在赤道上空相同的高度上．
【典題例析】
(2019·高考天津卷)2018年12月8日，肩負(fù)著億萬中華兒女探月飛天夢(mèng)想的嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功發(fā)射，“實(shí)現(xiàn)人類航天器首次在月球背面巡視探測(cè)，率先在月背刻上了中國足跡”．已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，探測(cè)器的質(zhì)量為m，引力常量為G，嫦娥四號(hào)探測(cè)器圍繞月球做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，探測(cè)器的(　　 )

A．周期為 　　　　
B．動(dòng)能為
C．角速度為
D．向心加速度為
解析：選A.嫦娥四號(hào)探測(cè)器環(huán)繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力提供其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有＝mω2r＝m＝mr＝ma，解得ω＝、v＝、T＝、a＝，則嫦娥四號(hào)探測(cè)器的動(dòng)能為Ek＝mv2＝，由以上可知A正確，B、C、D錯(cuò)誤．
[答案]　A
【題組突破】
角度1　衛(wèi)星軌道上物理參量的比較
1．(2019·高考全國卷Ⅲ)金星、地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運(yùn)行的速率分別為v金、v地、v火．已知它們的軌道半徑R金a火
B．a(chǎn)火>a地>a金
C．v地>v火>v金
D．v火>v地>v金
解析：選A.金星、地球和火星繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)萬有引力提供向心力，則有G＝ma，解得a＝G，結(jié)合題中R金a火，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；同理，有G＝m，解得v＝，再結(jié)合題中R金v火，選項(xiàng)C、D均錯(cuò)誤．
角度2　三種宇宙速度及其應(yīng)用
2．使物體脫離星球的引力束縛，不再繞星球運(yùn)行，從星球表面發(fā)射所需的最小速度稱為第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關(guān)系是v2＝v1.已知某星球的半徑為地球半徑R的4倍，質(zhì)量為地球質(zhì)量M的2倍，地球表面重力加速度為g.不計(jì)其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：選C.設(shè)在地球表面飛行的衛(wèi)星質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力得＝，又由G＝mg，解得地球的第一宇宙速度為v1＝ ＝；設(shè)該星球的第一宇宙速度為v′1，根據(jù)題意，有＝×＝；由題意知第二宇宙速度v2＝v1，聯(lián)立得該星球的第二宇宙速度為v′2＝，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確．
角度3　同步衛(wèi)星的特點(diǎn)
3．(2019·高考北京卷)2019年5月17日，我國成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)．該衛(wèi)星(　　)
A．入軌后可以位于北京正上方
B．入軌后的速度大于第一宇宙速度
C．發(fā)射速度大于第二宇宙速度
D．若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少
解析：選D.同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由＝知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度越小，因此入軌后的速度小于第一宇宙速度(近地衛(wèi)星的速度)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；同步衛(wèi)星的發(fā)射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C項(xiàng)錯(cuò)誤；若發(fā)射到近地圓軌道，所需發(fā)射速度較小，所需能量較小，D項(xiàng)正確．

命題角度
解決方法
易錯(cuò)辨析
天體運(yùn)行參量分析
由萬有引力提供向心力求解
分清做哪種圓周運(yùn)動(dòng)來確定是根據(jù)萬有引力提供向心力來計(jì)算還是作為整體來計(jì)算
宇宙速度的計(jì)算
由萬有引力定律結(jié)合“黃金代換”聯(lián)立求解
一定是針對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)而言
同步衛(wèi)星的特點(diǎn)
從周期入手分析其他運(yùn)動(dòng)參量
掌握幾個(gè)定量關(guān)系的數(shù)值
　衛(wèi)星變軌與對(duì)接問題
【高分快攻】
人造衛(wèi)星變軌過程中各物理量的分析比較
人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌，過程簡圖如圖所示．

1．變軌原理：衛(wèi)星繞中心天體穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，有G＝m.當(dāng)由于某種原因衛(wèi)星速度v突然增大時(shí)，有G＜m，衛(wèi)星將偏離圓軌道做離心運(yùn)動(dòng)；當(dāng)v突然減小時(shí)，有G＞m，衛(wèi)星將做向心運(yùn)動(dòng)．
2．熟記變軌現(xiàn)象

3．各物理量的比較
(1)兩個(gè)不同軌道的“切點(diǎn)”處線速度v不相等．圖中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ.
(2)同一個(gè)橢圓軌道上近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)線速度v大小不相等．從遠(yuǎn)地點(diǎn)到近地點(diǎn)萬有引力對(duì)衛(wèi)星做正功，動(dòng)能增大(引力勢(shì)能減小)．圖中vⅡA＞vⅡB，EkⅡA＞EkⅡB，EpⅡA＜EpⅡB.
(3)兩個(gè)不同圓軌道上線速度v大小不相等．軌道半徑越大，v越小，圖中vⅠ＞vⅢ.
(4)不同軌道上運(yùn)行周期T不相等．根據(jù)開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律＝k，內(nèi)側(cè)軌道的運(yùn)行周期小于外側(cè)軌道的運(yùn)行周期．圖中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.
(5)衛(wèi)星在不同軌道上的機(jī)械能E不相等，“高軌高能，低軌低能”．衛(wèi)星變軌過程中機(jī)械能不守恒．圖中EⅠ＜EⅡ＜EⅢ.
(6)在分析衛(wèi)星運(yùn)行的加速度時(shí)，只要衛(wèi)星與中心天體的距離不變，其加速度大小(由萬有引力提供)就一定與軌道形狀無關(guān)，圖中aⅢ＝aⅡB，aⅡA＝aⅠ.
【典題例析】
(多選)如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，P為近日點(diǎn)，Q為遠(yuǎn)日點(diǎn)，M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，運(yùn)行的周期為T0.若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)M、Q到N的運(yùn)動(dòng)過程中(　　)
A．從P到M所用的時(shí)間等于
B．從Q到N階段，機(jī)械能逐漸變大
C．從P到Q階段，速率逐漸變小
D．從M到N階段，萬有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功
[解析]　在海王星從P到Q的運(yùn)動(dòng)過程中，引力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理可知，速度越來越小，C項(xiàng)正確；海王星從P到M的時(shí)間小于從M到Q的時(shí)間，因此從P到M的時(shí)間小于，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由于海王星運(yùn)動(dòng)過程中只受到太陽引力作用，引力做功不改變海王星的機(jī)械能，即從Q到N的運(yùn)動(dòng)過程中海王星的機(jī)械能守恒，B項(xiàng)錯(cuò)誤；從M到Q的運(yùn)動(dòng)過程中引力與速度的夾角大于90°，因此引力做負(fù)功，從Q到N的過程中，引力與速度的夾角小于90°，因此引力做正功，即海王星從M到N的過程中萬有引力先做負(fù)功后做正功，D項(xiàng)正確．
[答案]　CD
(多選)在發(fā)射一顆質(zhì)量為m的地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將其發(fā)射到貼近地球表面的圓軌道Ⅰ上(離地面高度忽略不計(jì))，再通過一橢圓軌道Ⅱ變軌后到達(dá)距地面高為h的預(yù)定圓軌道Ⅲ上．已知衛(wèi)星在圓形軌道Ⅰ上運(yùn)行的加速度為g，地球半徑為R，衛(wèi)星在變軌過程中質(zhì)量不變，則(　　)

A．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行的加速度大小為g
B．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行的線速度大小為
C．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行時(shí)經(jīng)過P點(diǎn)的速率大于在軌道Ⅱ上運(yùn)行時(shí)經(jīng)過P點(diǎn)的速率
D．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能大于在軌道Ⅰ上的動(dòng)能
解析：選BC.設(shè)地球質(zhì)量為M，由萬有引力提供向心力得在軌道Ⅰ上有G＝mg，在軌道Ⅲ上有G＝ma，所以a＝g，A錯(cuò)誤；又因a＝，所以v＝，B正確；衛(wèi)星由軌道Ⅱ變軌到軌道Ⅲ需要加速做離心運(yùn)動(dòng)，所以衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運(yùn)行時(shí)經(jīng)過P點(diǎn)的速率大于在軌道Ⅱ上運(yùn)行時(shí)經(jīng)過P點(diǎn)的速率，C正確；盡管衛(wèi)星從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅲ要在P、Q點(diǎn)各加速一次，但在圓形軌道上穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)的速度v＝，由動(dòng)能表達(dá)式知衛(wèi)星在軌道Ⅲ上的動(dòng)能小于在軌道Ⅰ上的動(dòng)能，D錯(cuò)誤．
　雙星與多星問題
【高分快攻】
1．宇宙雙星模型
(1)各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2.
(2)兩顆星的周期及角速度都相同，即 T1 ＝ T2, ω1＝ω2.
(3)兩顆星的運(yùn)行半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L.
(4)兩顆星到圓心的距離r1、r2 與星體質(zhì)量成反比，即＝.
(5)雙星的運(yùn)動(dòng)周期 T＝2π.
(6)雙星的總質(zhì)量公式 m1＋m2＝.
2．宇宙三星模型
(1)如圖1所示，三顆質(zhì)量相等的行星，一顆行星位于中心位置不動(dòng)， 另外兩顆行星圍繞它做圓周運(yùn)動(dòng)．這三顆行星始終位于同一直線上，中心行星受力平衡，運(yùn)轉(zhuǎn)的行星由其余兩顆行星的引力提供向心力：＋＝ ma向．兩行星運(yùn)行的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等．

(2)如圖2所示，三顆質(zhì)量相等的行星位于一正三角形的頂點(diǎn)處，都繞三角形的中心做圓周運(yùn)動(dòng)．每顆行星運(yùn)行所需向心力都由其余兩顆行星對(duì)其萬有引力的合力來提供，即×2×cos 30°＝ma向，其中L＝ 2rcos 30°. 三顆行星運(yùn)行的方向相同，周期、角速度、線速度的大小相等．
3．雙星與多星問題的解題思路
(1)記憶口訣：N 星系統(tǒng)周期同，受力源自其他星；幾何關(guān)系找半徑，第二定律列方程．
(2)思維導(dǎo)圖

【典題例析】
2018年12月7日是我國發(fā)射“悟空”探測(cè)衛(wèi)星三周年的日子，該衛(wèi)星的發(fā)射為人類對(duì)暗物質(zhì)的研究做出了重大貢獻(xiàn)．假設(shè)兩顆質(zhì)量相等的星球繞其球心連線中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，理論計(jì)算的周期與實(shí)際觀測(cè)的周期有出入，且＝(n>1)，科學(xué)家推測(cè)，在以兩星球球心連線為直徑的球體空間中均勻分布著暗物質(zhì)，設(shè)兩星球球心連線長度為L，質(zhì)量均為m，據(jù)此推測(cè)，暗物質(zhì)的質(zhì)量為(　　)
A．(n－1)m　　　　　　　 B．nm
C.m D．m
[解析]　雙星均繞它們的連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，理論上，由相互間的萬有引力提供向心力得：G＝m·，解得：T理論＝πL.根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，＝(n>1)，這種差異是由雙星內(nèi)均勻分布的暗物質(zhì)引起的，均勻分布在球體內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用與一質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量m′，位于中點(diǎn)O處的質(zhì)點(diǎn)的作用相同．則有：G＋＝m·，解得：T觀測(cè)＝πL，聯(lián)立解得：m′＝m.
[答案]　D
(2019·淮安模擬)2016年2月11日，美國科學(xué)家宣布探測(cè)到引力波的存在，引力波的發(fā)現(xiàn)將為人類探索宇宙提供新視角，這是一個(gè)劃時(shí)代的發(fā)現(xiàn)．在如圖所示的雙星系統(tǒng)中，A、B兩個(gè)恒星靠著相互之間的引力正在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知恒星A的質(zhì)量為太陽質(zhì)量的29倍，恒星B的質(zhì)量為太陽質(zhì)量的36倍，兩星之間的距離L＝2×105m，太陽質(zhì)量M＝2×1030kg，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，π2＝10.若兩星在環(huán)繞過程中會(huì)輻射出引力波，該引力波的頻率與兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率具有相同的數(shù)量級(jí)，則根據(jù)題目所給信息估算該引力波頻率的數(shù)量級(jí)是(　　)
A．102Hz B．104Hz
C．106Hz D．108Hz
解析：選A.A、B的周期相同，角速度相等，靠相互之間的引力提供向心力
有G＝MArA①
G＝MBrB②
有MArA＝MBrB，rA＋rB＝L
解得rA＝L＝L.
由①得T＝
則f＝＝
＝Hz≈1.6×102Hz.

(建議用時(shí)：25分鐘)
一、單項(xiàng)選擇題
1．(2018·高考北京卷)若想檢驗(yàn)“使月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的情況下，需要驗(yàn)證(　　)
A．地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的
B．月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果落向地面加速度的
C．自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的
D．蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的
解析：選B.若想檢驗(yàn)“使月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律——萬有引力定律，則應(yīng)滿足G＝ma，即加速度a與距離r的平方成反比，由題中數(shù)據(jù)知，選項(xiàng)B正確，其余選項(xiàng)錯(cuò)誤．
2．為了測(cè)量某行星的質(zhì)量和半徑，宇航員記錄了登陸艙在該行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T，登陸艙在行星表面著陸后，用彈簧測(cè)力計(jì)稱量一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼，讀數(shù)為F.已知引力常量為G.則下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A．該行量的質(zhì)量為
B．該行星的半徑為
C．該行星的密度為
D．該行星的第一宇宙速度為
解析：選B.據(jù)F＝mg0＝mR，得R＝，B錯(cuò)誤；由G＝mR，得M＝，又R＝，則M＝，A正確；密度ρ＝＝，C正確；第一宇宙速度v＝＝，D正確．
3．(2018·高考全國卷Ⅲ)為了探測(cè)引力波，“天琴計(jì)劃”預(yù)計(jì)發(fā)射地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍．P與Q的周期之比約為(　　)
A．2∶1　　　　　　 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
解析：選C.由開普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C正確．
4．“北斗”衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)由地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)、中軌道衛(wèi)星和傾斜同步軌道衛(wèi)星組成．地球靜止軌道衛(wèi)星和中軌道衛(wèi)星都在圓軌道上運(yùn)行，它們距地面的高度分別約為地球半徑的6倍和3.4倍，下列說法中正確的是(　　)
A．靜止軌道衛(wèi)星的周期約為中軌道衛(wèi)星的2倍
B．靜止軌道衛(wèi)星的線速度大小約為中軌道衛(wèi)星的2倍
C．靜止軌道衛(wèi)星的角速度大小約為中軌道衛(wèi)星的
D．靜止軌道衛(wèi)星的向心加速度大小約為中軌道衛(wèi)星的
解析：選A.根據(jù)萬有引力提供向心力有G＝mr， 解得衛(wèi)星周期公式 T＝2π　，地球靜止軌道衛(wèi)星和中軌道衛(wèi)星距地面的高度分別約為地球半徑的6倍和3.4倍，即軌道半徑分別約為地球半徑的7倍和4.4倍，所以靜止軌道衛(wèi)星的周期約為中軌道衛(wèi)星的2倍，故 A 正確；由 G＝ m可得 v＝，所以靜止軌道衛(wèi)星的線速度大小小于中軌道衛(wèi)星的線速度大小，故B錯(cuò)誤；由G＝mrω2可得ω＝，由此可知，靜止軌道衛(wèi)星的角速度大小約為中軌道衛(wèi)星的0.5，故C錯(cuò)誤；由G＝ma得a＝，所以靜止軌道衛(wèi)星的向心加速度大小約為中軌道衛(wèi)星的0.4，故D錯(cuò)誤．
5． 2017年4月，我國成功發(fā)射的天舟一號(hào)貨運(yùn)飛船與天宮二號(hào)空間實(shí)驗(yàn)室完成了首次交會(huì)對(duì)接，對(duì)接形成的組合體仍沿天宮二號(hào)原來的軌道(可視為圓軌道)運(yùn)行．與天宮二號(hào)單獨(dú)運(yùn)行時(shí)相比，組合體運(yùn)行的(　　)
A．周期變大 B．速率變大
C．動(dòng)能變大 D．向心加速度變大
解析：選C.組合體比天宮二號(hào)質(zhì)量大，軌道半徑R不變，根據(jù)＝m，可得v＝，可知與天宮二號(hào)單獨(dú)運(yùn)行時(shí)相比，組合體運(yùn)行的速率不變，B項(xiàng)錯(cuò)誤；又T＝，則周期T不變，A項(xiàng)錯(cuò)誤；質(zhì)量變大、速率不變，動(dòng)能變大，C項(xiàng)正確；向心加速度a＝，不變，D項(xiàng)錯(cuò)誤．
6．(2019·南京模擬)2017年10月16日，南京紫金山天文臺(tái)對(duì)外發(fā)布一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)，我國南極巡天望遠(yuǎn)鏡追蹤探測(cè)到首例引力波事件光學(xué)信號(hào)．關(guān)于引力波，早在1916年愛因斯坦基于廣義相對(duì)論預(yù)言了其存在.1974年拉塞爾赫爾斯和約瑟夫泰勒發(fā)現(xiàn)赫爾斯—泰勒脈沖雙星，這雙星系統(tǒng)在互相公轉(zhuǎn)時(shí)，由于不斷發(fā)射引力波而失去能量，逐漸相互靠近，此現(xiàn)象為引力波的存在提供了首個(gè)間接證據(jù)．科學(xué)家們猜測(cè)該雙星系統(tǒng)中體積較小的星球能“吸食”另一顆體積較大的星球表面的物質(zhì)，達(dá)到質(zhì)量轉(zhuǎn)移的目的，則關(guān)于赫爾斯—泰勒脈沖雙星周期T隨雙星之間的距離L變化的關(guān)系圖象正確的是(　　)

解析：選B.雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由它們之間的萬有引力提供，＝m1R1＝m2R2，由幾何關(guān)系得：R1＋R2＝L，解得：＝·，已知此雙星系統(tǒng)中體積較小的星球能“吸食”另一顆體積較大的星體表面的物質(zhì)，達(dá)到質(zhì)量轉(zhuǎn)移的目的，每個(gè)星球的質(zhì)量變化，但質(zhì)量之和不變，所以∝，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤．
7.國務(wù)院批復(fù)，自2016年起將4月24日設(shè)立為“中國航天日”.1970年4月24日我國首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星東方紅一號(hào)，目前仍然在橢圓軌道上運(yùn)行，其軌道近地點(diǎn)高度約為440 km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約為2 060 km；1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號(hào)衛(wèi)星運(yùn)行在赤道上空35 786 km的地球同步軌道上．設(shè)東方紅一號(hào)在遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度為a1，東方紅二號(hào)的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關(guān)系為(　　)
A．a(chǎn)2＞a1＞a3　　　　　 B．a(chǎn)3＞a2＞a1
C．a(chǎn)3＞a1＞a2 D．a(chǎn)1＞a2＞a3
解析：選D.固定在赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的周期與同步衛(wèi)星運(yùn)行的周期相等，同步衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大，由a＝r可知，同步衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大，即a2>a3，B、C項(xiàng)錯(cuò)誤；由于東方紅二號(hào)與東方紅一號(hào)在各自軌道上運(yùn)行時(shí)受到萬有引力，因此有G＝ma，即a＝G，由于東方紅二號(hào)的軌道半徑比東方紅一號(hào)在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)距地高度大，因此有a1>a2，A項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確．
8．(2019·南通質(zhì)檢)利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通信．目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍．假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實(shí)現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為(　　)
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
解析：選B.設(shè)地球半徑為R，畫出僅用三顆地球同步衛(wèi)星使地球赤道上任意兩點(diǎn)之間保持無線電通信時(shí)同步衛(wèi)星的最小軌道半徑示意圖，如圖所示．由圖中幾何關(guān)系可得，同步衛(wèi)星的最小軌道半徑r＝2R.設(shè)地球自轉(zhuǎn)周期的最小值為T，則由開普勒第三定律可得，＝，解得T≈4 h，選項(xiàng)B正確．

9．2017年6月15日，我國在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征四號(hào)乙運(yùn)載火箭成功發(fā)射首顆X射線調(diào)制望遠(yuǎn)鏡衛(wèi)星“慧眼”．“慧眼”的成功發(fā)射將顯著提升我國大型科學(xué)衛(wèi)星研制水平，填補(bǔ)我國X射線探測(cè)衛(wèi)星的空白，實(shí)現(xiàn)我國在空間高能天體物理領(lǐng)域由地面觀測(cè)向天地聯(lián)合觀測(cè)的超越．“慧眼”研究的對(duì)象主要是黑洞、中子星和射線暴等致密天體和爆發(fā)現(xiàn)象．在利用“慧眼”觀測(cè)美麗的銀河系時(shí)，若發(fā)現(xiàn)某雙黑洞間的距離為L，只在彼此之間的萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T，引力常量為G，則雙黑洞總質(zhì)量為(　　)
A. B．
C. D．
解析：選A.雙黑洞靠相互間的萬有引力提供向心力，有：G＝m1r1，G＝m2r2，解得：m2＝，m1＝，又因?yàn)閞1＋r2＝L，則雙黑洞總質(zhì)量為：m總＝m2＋m1＝，故選A.
10．由三個(gè)星體構(gòu)成的系統(tǒng)，叫做三星系統(tǒng)．有這樣一種簡單的三星系統(tǒng)，質(zhì)量剛好都相同的三個(gè)星體甲、乙、丙在三者相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同周期的圓周運(yùn)動(dòng)．若三個(gè)星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是(　　)
A．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑均為a
B．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期均為2πa
C．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小均為
D．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小均為
解析：選B.質(zhì)量相等的三星系統(tǒng)的位置關(guān)系構(gòu)成一等邊三角形，其中心O即為它們的共同圓心，由幾何關(guān)系可知三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝a，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；每個(gè)星體受到的另外兩星體的萬有引力提供向心力，其大小F＝·，則＝mr，得T＝2πa，故選項(xiàng)B正確；由線速度v＝得v＝，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；向心加速度a＝＝，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
二、多項(xiàng)選擇題
11.(2018·高考天津卷)2018年2月2日，我國成功將電磁監(jiān)測(cè)試驗(yàn)衛(wèi)星“張衡一號(hào)”發(fā)射升空，標(biāo)志我國成為世界上少數(shù)擁有在軌運(yùn)行高精度地球物理場(chǎng)探測(cè)衛(wèi)星的國家之一．通過觀測(cè)可以得到衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期，并已知地球的半徑和地球表面處的重力加速度．若將衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可以計(jì)算出衛(wèi)星的(　　)
A．密度　　　　　　　 B．向心力的大小
C．離地高度 D．線速度的大小
解析：選CD.衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，則有G＝m()2(R＋h)，無法計(jì)算得到衛(wèi)星的質(zhì)量，更無法確定其密度及向心力大小，A、B項(xiàng)錯(cuò)誤；又G＝m0g，聯(lián)立兩式可得h＝－R，C項(xiàng)正確；由v＝(R＋h)，可計(jì)算出衛(wèi)星的線速度的大小，D項(xiàng)正確．
12．(2019·蘇州二模)2019年1月5日，又有兩顆北斗導(dǎo)航系統(tǒng)組網(wǎng)衛(wèi)星通過“一箭雙星”發(fā)射升空，并成功進(jìn)入預(yù)定軌道，兩顆衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)均看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．如果兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量均為M，其中的1號(hào)衛(wèi)星軌道距離地面高度為h，2號(hào)衛(wèi)星軌道距離地面高度為h′，且h′>h，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體，已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G，下列說法正確的是(　　)
A．1號(hào)衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度v＝R
B．1號(hào)衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的周期T＝2π(R＋h)
C．1號(hào)衛(wèi)星和2號(hào)衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小之比為
D．穩(wěn)定在軌運(yùn)行時(shí)1號(hào)衛(wèi)星的機(jī)械能小于2號(hào)衛(wèi)星的機(jī)械能
解析：選AD.根據(jù)公式G＝M和m0g＝G，解得v＝R，故A正確；根據(jù)公式G＝M(R＋h)和m0g＝G，解得：T＝，故B錯(cuò)誤；F1＝G，F(xiàn)2＝G，所以＝，故C錯(cuò)誤；由于h

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