2020數(shù)學(xué)（理）二輪教師用書：第2部分專題7第1講　選修4－4　坐標系與參數(shù)方程-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

第1講　選修4－4　坐標系與參數(shù)方程

　極坐標與曲線的極坐標方程(5年5考)

[高考解讀]　以極坐標系下兩曲線的位置關(guān)系為載體，考查極坐標的表示、極徑的幾何意義，極坐標與直角坐標的互化等問題，考查學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化能力、邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).
1．(2019·全國卷Ⅲ)如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1,0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧.
(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程；
(2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標．
[解](1)由題設(shè)可得，弧，，所在圓的極坐標方程分別為ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.
所以M1的極坐標方程為ρ＝2cos θ，M2的極坐標方程為ρ＝2sin θ，M3的極坐標方程為ρ＝－2cos θ.
(2)設(shè)P(ρ，θ)，由題設(shè)及(1)知
若0≤θ≤，則2cos θ＝，解得θ＝；
若≤θ≤，則2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；
若≤θ≤π，則－2cos θ＝，解得θ＝.
綜上，P的極坐標為或或或.
2．(2019·全國卷Ⅱ)在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲線C：ρ＝4sin θ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.
(1)當θ0＝時，求ρ0及l(fā)的極坐標方程；
(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程．
[解](1)因為M(ρ0，θ0)在曲線C上，當θ0＝時，
ρ0＝4sin ＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P外的任意一點．連接OQ，
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
經(jīng)檢驗，點P在曲線ρcos＝2上．
所以，l的極坐標方程為ρcos＝2.
(2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
因為P在線段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范圍是.
所以，P點軌跡的極坐標方程為ρ＝4cos θ，θ∈.
[教師備選題]
1．(2015·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
(1)求C1，C2的極坐標方程；
(2)若直線C3的極坐標方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積．
[解](1)因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的極坐標方程為ρcos θ＝－2，C2的極坐標方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為.
2．(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos θ＝4.
(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；
(2)設(shè)點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．
[解](1)設(shè)P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)設(shè)點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)．
由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
＝2≤2＋.
當α＝－時，S取得最大值2＋.
所以△OAB面積的最大值為2＋.

1．極徑的幾何意義及其應(yīng)用
(1)幾何意義：極徑ρ表示極坐標平面內(nèi)點M到極點O的距離．
(2)應(yīng)用：一般應(yīng)用于過極點的直線與曲線相交，所得的弦長問題，需要用極徑表示出弦長，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系解題．
2．極坐標化直角坐標的常用技巧
(1)通常要用ρ去乘方程的兩邊，使之出現(xiàn)ρ2，ρcos θ，ρsin θ的形式．
(2)含關(guān)于tan θ的方程用公式tan θ＝.

1．(極坐標的表示)(2019·蘭州模擬)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1：ρcos θ＝3，曲線C2：ρ＝4cos θ.
(1)求C1與C2交點的極坐標；
(2)設(shè)點Q在C2上，＝，求動點P的極坐標方程．
[解](1)聯(lián)立
因為0≤θ≤，θ＝，ρ＝2，
所以所求交點的極坐標為.
(2)設(shè)P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)且ρ0＝4cos θ0，θ0∈，
由已知＝，得
所以ρ＝4cos θ，點P的極坐標方程為ρ＝10cos θ，θ∈.
2．(極坐標同直角坐標的互化)已知圓O1和圓O2的極坐標方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)將圓O1和圓O2的極坐標方程化為直角坐標方程；
(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程．
[解](1)由ρ＝2，知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4，
因為ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)將兩圓的直角坐標方程相減，
得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x＋y＝1，
化為極坐標方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.
3．(極坐標的應(yīng)用)(2019·鄭州模擬)已知曲線C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲線C1上的動點，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，以極點O為中心，將點A繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點B，設(shè)點B的軌跡為曲線C2.
(1)求曲線C1，C2的極坐標方程；
(2)射線θ＝(ρ＞0)與曲線C1，C2分別交于P，Q兩點，定點M(－4,0)，求△MPQ的面積．
[解](1)曲線C1：x2＋(y－3)2＝9，把代入可得，曲線C1的極坐標方程為ρ＝6sin θ.
設(shè)B(ρ，θ)，則A，
則ρ＝6sin＝－6cos θ.
所以曲線C2的極坐標方程為ρ＝－6cos θ.
(2)M到直線θ＝的距離為d＝4sin ＝2，
射線θ＝與曲線C1的交點P，
射線θ＝與曲線C2的交點Q，
所以|PQ|＝3－3，
故△MPQ的面積S＝×|PQ|×d＝3－3.
　曲線的參數(shù)方程(5年4考)

[高考解讀]　以直線、圓及圓錐曲線的參數(shù)方程為載體，考查參數(shù)方程同普通方程的互化，參數(shù)的幾何意義，以及解析幾何中的最值、范圍、位置關(guān)系等問題，考查數(shù)學(xué)運算及等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
(2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點．
(1)求α的取值范圍；
(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程．
[解](1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1.
當α＝時，l與⊙O交于兩點．
當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.
綜上，α的取值范圍是.
(2)l的參數(shù)方程為t為參數(shù)，＜α＜.
設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又點P的坐標(x，y)滿足
所以點P的軌跡的參數(shù)方程是
α為參數(shù)，＜α＜.
[教師備選題]
(2014·全國卷Ⅰ)已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))．
(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；
(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．
[解](1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．
直線l的普通方程為2x＋y－6＝0.
(2)曲線C上任意一點P(2cos θ，3sin θ)到l的距離為d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α為銳角，且tan α＝.
當sin(θ＋α)＝－1時，|PA|取得最大值，最大值為.
當sin(θ＋α)＝1時，|PA|取得最小值，最小值為.

1．直線方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用
經(jīng)過點P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若A，B為直線l上的兩點，其對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：
(1)t0＝；
(2)|PM|＝|t0|＝；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
2．求橢圓、雙曲線等曲線上的點到直線的距離的最值時，往往通過參數(shù)方程引入三角函數(shù)，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解．掌握參數(shù)方程與普通方程互化的規(guī)律是求解此類問題的關(guān)鍵．
3．不能忽視所給直線方程是不是直線的標準參數(shù)方程，非標準的直線參數(shù)方程中的t不具有幾何意義．

1．(參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為x2＋y2＝4，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若將曲線C1上的點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮们€C2.
(1)寫出曲線C2的參數(shù)方程；
(2)設(shè)點P(－2,3)，直線l與曲線C2的兩個交點分別為A，B，求＋的值．
[解](1)若將曲線C1上的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，則曲線C2的直角坐標方程為x2＋＝4，
整理得＋＝1，∴曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．
(2)將直線l的參數(shù)方程化為標準形式為
(t′為參數(shù))，
將參數(shù)方程代入＋＝1，得＋＝1，
整理得(t′)2＋18t′＋36＝0.
|PA|＋|PB|＝|t1′＋t2′|＝，
|PA||PB|＝t1′t2′＝.
∴＋＝＝＝.
2．(參數(shù)方程的應(yīng)用)(2019·貴陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos.
(1)判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；
(2)設(shè)M(x，y)為曲線C上任意一點，求x＋y的取值范圍．
[解](1)由消去t得y＝x＋4，
由ρ＝2cos得ρ＝cos θ－sin θ，
由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2得
＋＝1，即C是以為圓心，1為半徑的圓，
圓心到直線y＝x＋4的距離d＝＝5＞1，
所以直線l與曲線C相離．
(2)圓的參數(shù)方程為
(θ為參數(shù))，
則x＋y＝sin θ＋cos θ＝sin，
又由θ∈R可得－1≤sin≤1，
則－≤x＋y≤，
所以x＋y的取值范圍為[－，].
　極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用(5年4考)

[高考解讀]　主要考查極坐標方程、參數(shù)方程及直角坐標系方程之間的互化，考查利用三角函數(shù)求最值，考查利用極徑的幾何意義及參數(shù)的幾何意義解決問題的能力.
(2019·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐標方程；
(2)求C上的點到l距離的最小值．
[解](1)因為－1＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐標方程為x2＋＝1(x≠－1)．
l的直角坐標方程為2x＋y＋11＝0.
(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，－π＜α＜π)．
C上的點到l的距離為
＝.
當α＝－時，4cos＋11取得最小值7，故C上的點到l距離的最小值為.
[教師備選題]
1．(2016·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin＝2.
(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；
(2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標．
[解](1)C1的普通方程為＋y2＝1，C2的直角坐標方程為x＋y－4＝0.
(2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標為(cos α，sin α)．
因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d(α)的最小值，
d(α)＝
＝，
當且僅當α＝2kπ＋(k∈Z)時，d(α)取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為.
2．(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.
(1)寫出C的普通方程；
(2)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑．
[解](1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去參數(shù)m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)．
所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0