2019屆二輪復習　圓錐曲線學案（全國通用）-學案下載-教習網(wǎng)

[考情考向分析]　1.以選擇題、填空題形式考查圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)(特別是離心率).2.以解答題形式考查直線與圓錐曲線的位置關系(弦長、中點等)．

熱點一　圓錐曲線的定義與標準方程
1．圓錐曲線的定義
(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(2ab>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，左、右頂點為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(異于M，N)，△AF1B的周長為4，且直線AM與AN的斜率之積為－，則C的方程為(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
答案　C
解析　由△AF1B的周長為4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，
解得a＝，則M，N(，0)．
設點A(x0，y0)(x0≠±)，
由直線AM與AN的斜率之積為－，
可得·＝－，
即y＝－(x－3)，①
又＋＝1，所以y＝b2，②
由①②解得b2＝2.
所以C的方程為＋＝1.
(2)(2018·龍巖質(zhì)檢)已知以圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為焦點的拋物線C1與圓C在第一象限交于A點，B點是拋物線C2：x2＝8y上任意一點，BM與直線y＝－2垂直，垂足為M，則|BM|－|AB|的最大值為(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．8
答案　A
解析　因為圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為C(1,0)，
所以可得以C(1,0)為焦點的拋物線方程為y2＝4x，
由解得A(1,2)．
拋物線C2：x2＝8y的焦點為F(0,2)，
準線方程為y＝－2，
即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，
當且僅當A，B，F(xiàn)(A在B，F(xiàn)之間)三點共線時，可得最大值1.
思維升華　(1)準確把握圓錐曲線的定義和標準方程及其簡單幾何性質(zhì)，注意當焦點在不同坐標軸上時，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式．
(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定．
跟蹤演練1　(1)(2018·石嘴山模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1，F(xiàn)2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為，則雙曲線的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　D
解析　∵點(3,4)在以|F1F2|為直徑的圓上，
∴c＝5，可得a2＋b2＝25.①
又∵點(3,4)在雙曲線的漸近線y＝x上，
∴＝.②
①②聯(lián)立，解得a＝3且b＝4，
可得雙曲線的方程為－＝1.
(2)如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線方程為(　　)

A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
答案　C
解析　如圖分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，設準線交x軸于點G.

設＝a，則由已知得＝2a，
由拋物線定義，得＝a，故∠BCD＝30°，
在Rt△ACE中，
∵＝|AF|＝3，＝3＋3a，|AC|＝2|AE|，
∴3＋3a＝6，從而得a＝1，＝3a＝3.
∴p＝＝＝，
因此拋物線方程為y2＝3x，故選C.
熱點二　圓錐曲線的幾何性質(zhì)
1．橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關系
(1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝.
(2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝.
2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關系．
例2　(1)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，若△AF1F2的面積是△BF1F2面積的三倍，cos∠AF2B＝，則橢圓E的離心率為(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　設|F1B|＝k，
依題意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，
∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
∵cos∠AF2B＝，
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，
∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，
化簡可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，
∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，
∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，
∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形．
∴c＝a，橢圓的離心率e＝＝.
(2)已知雙曲線M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，＝2c.若雙曲線M的右支上存在點P，使＝，則雙曲線M的離心率的取值范圍為(　　)
A. B.
C．(1,2) D.
答案　A
解析　根據(jù)正弦定理可知＝，
所以＝，即|PF2|＝|PF1|，
＝2a，
所以＝2a，解得＝，
而>a＋c，即>a＋c，
整理得3e2－4e－10)的焦距為2c，直線l過點且與雙曲線C的一條漸近線垂直，以雙曲線C的右焦點為圓心，半焦距為半徑的圓與直線l交于M，N兩點，若|MN|＝c，則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±4x
答案　B
解析　方法一　由題意可設漸近線方程為y＝x，
則直線l的斜率kl＝－，
直線l的方程為y＝－，
整理可得ax＋by－a2＝0.
焦點(c,0)到直線l的距離d＝＝，
則弦長為2＝2＝c，
整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，
即e4－9e2＋12e－4＝0，
分解因式得＝0.
又雙曲線的離心率e>1，則e＝＝2，
所以＝＝＝，
所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.
方法二　圓心到直線l的距離為＝，
∴＝，
∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴c＝2a，b＝a，
∴漸近線方程為y＝±x.
熱點三　直線與圓錐曲線
判斷直線與圓錐曲線公共點的個數(shù)或求交點問題有兩種常用方法
(1)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x，y的方程組，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標．
(2)幾何法：畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù)．
例3　(2018·衡水金卷調(diào)研)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點．
(1)若直線AB與橢圓的長軸垂直，|AB|＝a，求橢圓的離心率；
(2)若直線AB的斜率為1，|AB|＝，求橢圓的短軸與長軸的比值．
解　(1)由題意可知，直線AB的方程為x＝－c，
∴|AB|＝＝a，
即a2＝4b2，
故e＝＝＝＝.
(2)設F1(－c,0)，則直線AB的方程為y＝x＋c，
聯(lián)立消去y，
得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2c2－a2b2＝0，
Δ＝4a4c2－4a2(a2＋b2)(c2－b2)＝8a2b4.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝·
＝＝，
∴a2＝2b2，∴＝，
∴＝，即橢圓的短軸與長軸之比為.
思維升華　解決直線與圓錐曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關系，設而不求思想，弦長公式等簡化計算；涉及中點弦問題時，也可用“點差法”求解．
跟蹤演練3　如圖，過拋物線M：y＝x2上一點A(點A不與原點O重合)作拋物線M的切線AB交y軸于點B，點C是拋物線M上異于點A的點，設G為△ABC的重心(三條中線的交點)，直線CG交y軸于點D.設點A(x0，x)(x0≠0)．

(1)求直線AB的方程；
(2)求的值．
解　(1)因為y′＝2x，
所以直線AB的斜率k＝y(tǒng)′＝2x0.
所以直線AB的方程y－x＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x，
即直線AB的方程為2x0x－y－x＝0.
(2)由題意得，點B的縱坐標yB＝－x，
所以AB的中點坐標為.
設C(x1，y1)，G(x2，y2)，
直線CG的方程為x＝my＋x0.
由
聯(lián)立得m2y2＋(mx0－1)y＋x＝0.
Δ＝(mx0－1)2－4×m2×＝1－2mx0>0，
即mx00.
所以點D的縱坐標yD＝－＝，
故＝＝4±6.

真題體驗
1．(2017·北京)若雙曲線x2－＝1的離心率為，則實數(shù)m＝________.
答案　2
解析　由雙曲線的標準方程知，
a＝1，b2＝m，c＝，
故雙曲線的離心率e＝＝＝，
∴1＋m＝3，解得m＝2.
2．(2017·全國Ⅱ改編)若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則雙曲線C的離心率為________．
答案　2
解析　設雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，
圓的圓心為(2,0)，半徑為2，
由弦長為2，得圓心到漸近線的距離為＝.
由點到直線的距離公式，得＝，解得b2＝3a2.所以雙曲線C的離心率e＝＝＝＝2.
3．(2017·全國Ⅱ改編)過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸上方)，l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為________．
答案　2
解析　拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.由直線方程的點斜式，可得直線MF的方程為y＝(x－1)．

聯(lián)立方程組
解得或
∵點M在x軸的上方，∴M(3,2)．
∵MN⊥l，∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.
∴△MNF是邊長為4的等邊三角形．
∴點M到直線NF的距離為2.
4．(2017·山東)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p>0)交于A，B兩點，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________．
答案　y＝±x
解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，
得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴＝p，即＝，∴＝，
∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
押題預測
1．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F2作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點A，交另一條漸近線于點B，且＝，則該雙曲線的離心率為(　　)
A. B. C. D．2
押題依據(jù)　圓錐曲線的幾何性質(zhì)是圓錐曲線的靈魂，其中離心率、漸近線是高考命題的熱點．
答案　A
解析　由F2(c,0)到漸近線y＝x的距離為d＝＝b，即||＝b，則||＝3b.
在△AF2O中，||＝a , ||＝c，tan∠F2OA＝，tan∠AOB＝＝，化簡可得a2＝2b2，即c2＝a2＋b2＝a2，即e＝＝，故選A.
2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且點在該橢圓上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AOB的面積為，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程．
押題依據(jù)　橢圓及其性質(zhì)是歷年高考的重點，直線與橢圓的位置關系中的弦長、中點等知識應給予充分關注．
解　(1)由題意可得e＝＝，
又a2＝b2＋c2，
所以b2＝a2.
因為橢圓C經(jīng)過點，
所以＋＝1，
解得a2＝4，所以b2＝3，
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，設直線l的方程為x＝ty－1，
由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，
顯然Δ>0恒成立，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝
＝＝，
所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|
＝＝，
化簡得18t4－t2－17＝0，
即(18t2＋17)(t2－1)＝0，
解得t＝1，t＝－(舍去)．
又圓O的半徑r＝＝，
所以r＝，故圓O的方程為x2＋y2＝.

A組　專題通關
1．(2017·全國Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　由y＝x，可得＝.①
由橢圓＋＝1的焦點為(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程為－＝1.
故選B.
2．(2018·全國Ⅰ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點(－2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　D
解析　由題意知直線MN的方程為y＝(x＋2)，
聯(lián)立直線與拋物線的方程，得
解得或
不妨設點M的坐標為(1,2)，點N的坐標為(4,4)．
又∵拋物線的焦點為F(1,0)，
∴＝(0,2)，＝(3,4)．
∴·＝0×3＋2×4＝8.
故選D.
3．(2018·全國Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|等于(　　)
A. B．3 C．2 D．4
答案　B
解析　由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝± x.
設兩漸近線的夾角為2α，則有tan α＝＝，
所以α＝30°.
所以∠MON＝2α＝60°.
又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設MN⊥ON，如圖所示．

在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝.
則在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.
故選B.
4．(2018·華大新高考聯(lián)盟質(zhì)檢)設橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當R＝4r時，橢圓的離心率為(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P為橢圓上一點，且∠F1PF2＝，|F1F2|＝2c，根據(jù)正弦定理＝＝2R，
∴R＝c，
∵R＝4r，∴r＝c，
由余弦定理，
2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
由|PF1|＋|PF2|＝2a，∠F1PF2＝，
可得|PF1||PF2|＝，
則由三角形面積公式·r＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2，
可得·c＝·，
∴e＝＝.
5．(2017·全國Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________.
答案　6
解析　如圖，不妨設點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，

∴PM∥OF.
由題意知，F(xiàn)(2,0)，
|FO|＝|AO|＝2.
∵點M為FN的中點，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，
故|FN|＝2|MF|＝6.
6．(2018·北京)已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)，雙曲線N：－＝1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________．
答案?。?　2
解析　方法一　雙曲線N的漸近線方程為y＝±x，則＝tan 60°＝，∴雙曲線N的離心率e1滿足e＝1＋＝4，∴e1＝2.
由得x2＝.
如圖，設D點的橫坐標為x，
由正六邊形的性質(zhì)得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.
∴＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，
∴3－－2＝0，解得＝2－3.
∴橢圓M的離心率e2滿足e＝1－＝4－2.
∴e2＝－1.

方法二　雙曲線N的漸近線方程為y＝±x，
則＝tan 60°＝.
又c1＝＝2m，∴雙曲線N的離心率為＝2.
如圖，連接EC，由題意知，F(xiàn)，C為橢圓M的兩焦點，
設正六邊形的邊長為1，則|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.
又E為橢圓M上一點，則|EF|＋|EC|＝2a，即1＋＝2a，
∴a＝.
∴橢圓M的離心率為＝＝－1.
7．(2018·衡陽模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，且直線l與圓x2－px＋y2－p2＝0交于C，D兩點，若|AB|＝3|CD|，則直線l的斜率為________．
答案　±
解析　由題意得F，由x2－px＋y2－p2＝0，配方得2＋y2＝p2，
所以直線l過圓心，可得|CD|＝2p，
若直線l的斜率不存在，則l：x＝，|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合題意，
∴直線l的斜率存在．
∴可設直線l的方程為y＝k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立
化為x2－x＋＝0，
所以x1＋x2＝p＋，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋，
由|AB|＝3|CD|，所以2p＋＝6p，
可得k2＝，所以k＝±.
8．(2018·百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知A，B是橢圓C上關于原點對稱的兩點，若橢圓C上存在點P，使得直線PA，PB斜率的絕對值之和為1，則橢圓C的離心率的取值范圍是________．
答案　
解析　不妨設橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，則B，
所以＋＝1，＋＝1，
兩式相減得＝－，
所以＝－，
所以直線PA，PB斜率的絕對值之和為＋≥2＝，
由題意得≤1，
所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，
所以e2≥，
又因為00，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)
＝.
由題意知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程為x－y－1＝0.
(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，
則
解得或
因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
10．(2018·天津)設橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，點A的坐標為(b,0)，且|FB|·|AB|＝6.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線l：y＝kx(k>0)與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.若＝sin∠AOQ(O為原點)，求k的值．
解　(1)設橢圓的焦距為2c，由已知有＝，
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
由已知可得|FB|＝a，|AB|＝b，
由|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6，從而a＝3，b＝2.
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)設點P的坐標為(x1，y1)，點Q的坐標為(x2，y2)．
由已知有y1>y2>0，故|PQ|sin∠AOQ＝y(tǒng)1－y2.
又因為|AQ|＝，而∠OAB＝，
所以|AQ|＝y(tǒng)2.
由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.
由方程組消去x，可得y1＝ .
由題意求得直線AB的方程為x＋y－2＝0，
由方程組消去x，可得y2＝.
由5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，兩邊平方，
整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝或k＝.
所以k的值為或.

B組　能力提高
11．(2018·長沙模擬)2000多年前，古希臘大數(shù)學家阿波羅尼奧斯(Apollonius)發(fā)現(xiàn)：平面截圓錐的截口曲線是圓錐曲線．已知圓錐的高為PH，AB為地面直徑，頂角為2θ，那么不過頂點P的平面與PH夾角>a>θ時，截口曲線為橢圓；與PH夾角a＝θ時，截口曲線為拋物線；與PH夾角θ>a>0時，截口曲線為雙曲線．如圖，底面內(nèi)的直線AM⊥AB，過AM的平面截圓錐得到的曲線為橢圓，其中與PB的交點為C，可知AC為長軸．那么當C在線段PB上運動時，截口曲線的短軸端點的軌跡為(　　)

A．圓的一部分 B．橢圓的一部分
C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分
答案　D
解析　如圖，因為對于給定的橢圓來說，短軸的端點Q到焦點F的距離等于長半軸a，但短軸的端點Q到直線AM的距離也是a，即說明短軸的端點Q到定點F的距離等于到定直線AM的距離，且點F不在定直線AM上，所以由拋物線的定義可知，短軸的端點的軌跡是拋物線的一部分，故選D.

12．(2018·河南省名校聯(lián)考)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，D為虛軸的一個端點，且△ABD為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為______________________．
答案　(1，)∪(，＋∞)
解析　設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F1(－c,0)，
令x＝－c，可得y＝±b＝±，
設A，B，D(0，b)，
可得＝，
＝，＝，
若∠DAB為鈍角，則·b2＝c2－a2，
可得c20，
∴∠DBA不可能為鈍角．
綜上可得，e的取值范圍為(1，)∪(，＋∞)．
13．已知直線MN過橢圓＋y2＝1的左焦點F，與橢圓交于M，N兩點，直線PQ過原點O與MN平行，且與橢圓交于P，Q兩點，則＝________.
答案　2
解析　方法一　特殊化，設MN⊥x軸，
則|MN|＝＝＝，|PQ|2＝4，＝＝2.
方法二　由題意知F(－1,0)，當直線MN的斜率不存在時，|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，則＝2；
當直線MN的斜率存在時，設直線MN的斜率為k，
則MN的方程為y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立方程
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝8k2＋8>0.
由根與系數(shù)的關系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝，
則|MN|＝
＝.
直線PQ的方程為y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
則解得x2＝，y2＝，
則|OP|2＝x＋y＝，
又|PQ|＝2|OP|，
所以|PQ|2＝4|OP|2＝，
所以＝2.
綜上，＝2.
14．(2017·天津)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F(－c,0)，右頂點為A，點E的坐標為(0，c)，△EFA的面積為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設點Q在線段AE上，|FQ|＝，延長線段FQ與橢圓交于點P，點M，N在x軸上，PM∥QN，且直線PM與直線QN間的距離為c，四邊形PQNM的面積為3c.
①求直線FP的斜率；
②求橢圓的方程．
解　(1)設橢圓的離心率為e.
由已知可得(c＋a)c＝.
又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，解得e＝－1或e＝.
又因為00，得c＝2.
所以橢圓的方程為＋＝1.