2021屆高考物理一輪復(fù)習(xí)第4章曲線運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力與航天第4節(jié)萬(wàn)有引力與航天教案（含解析）

第4節(jié)　萬(wàn)有引力與航天一、開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律1．開(kāi)普勒第一定律所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。2．開(kāi)普勒第二定律對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。3．開(kāi)普勒第三定律所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，表達(dá)式：＝k。二、萬(wàn)有引力定律1．內(nèi)容(1)自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引。(2)引力的方向在它們的連線上。(3)引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。2．表達(dá)式F＝G，其中G為引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)測(cè)定。3．適用條件(1)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用。(2)對(duì)質(zhì)量分布均勻的球體，r為兩球心間的距離。三、宇宙速度1．三種宇宙速度比較宇宙速度數(shù)值(km/s)意義第一宇宙速度7.9地球衛(wèi)星最小發(fā)射速度(環(huán)繞速度)第二宇宙速度11.2物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度(脫離速度)第三宇宙速度16.7物體掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度(逃逸速度)2.第一宇宙速度的計(jì)算方法(1)由G＝m得v＝。(2)由mg＝m得v＝。1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)地面上的物體所受地球的引力方向一定指向地心。 (√)(2)兩物體間的距離趨近于零時(shí)，萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大。  (×)(3)開(kāi)普勒第三定律＝k中k值與中心天體質(zhì)量無(wú)關(guān)。 (×)(4)第一宇宙速度與地球的質(zhì)量有關(guān)。 (√)(5)地球同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度大于第一宇宙速度。 (×)2．(教科版必修2P44T2改編)火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，根據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律可知(　　)A．太陽(yáng)位于木星運(yùn)行軌道的中心B．火星和木星繞太陽(yáng)運(yùn)行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長(zhǎng)軸之比的立方D．相同時(shí)間內(nèi)，火星與太陽(yáng)連線掃過(guò)的面積等于木星與太陽(yáng)連線掃過(guò)的面積C　[太陽(yáng)位于木星運(yùn)行軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，A錯(cuò)誤；不同的行星對(duì)應(yīng)不同的運(yùn)行軌道，運(yùn)行速度大小也不相同，B錯(cuò)誤；同一行星與太陽(yáng)連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積才能相同，D錯(cuò)誤；由開(kāi)普勒第三定律得＝，故＝，C正確。]3．(人教版必修2P43T2改編)若地球表面處的重力加速度為g，而物體在距地面3R(R為地球半徑)處，由于地球作用而產(chǎn)生的加速度為g′，則為(　　)A．1   B．  C.   D．[答案]　D4．(人教版必修2P48T3改編)若取地球的第一宇宙速度為8 km/s，某行星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的6倍，半徑是地球半徑的1.5倍，這顆行星的“第一宇宙速度”約為(　　)A．2 km/s   B．4 km/sC．16 km/s   D．32 km/s[答案]　C 開(kāi)普勒定律的應(yīng)用　1．關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，下列說(shuō)法符合史實(shí)的是(　　)A．開(kāi)普勒在牛頓定律的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律B．開(kāi)普勒在天文觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律C．開(kāi)普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運(yùn)動(dòng)的原因D．開(kāi)普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律B　[開(kāi)普勒在前人觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，與牛頓定律無(wú)聯(lián)系，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；開(kāi)普勒總結(jié)出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，但沒(méi)有找出行星按照這些規(guī)律運(yùn)動(dòng)的原因，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]2．(多選)(2019·撫州七校聯(lián)考)2018年7月是精彩天象集中上演的月份，“水星東大距”“火星沖日”“月全食”等天象先后扮靚夜空，可謂精彩紛呈。發(fā)生于北京時(shí)間7月28日凌晨的“月全食”，相對(duì)于2018年1月31日發(fā)生的“月全食”來(lái)說(shuō)，7月的全食階段持續(xù)時(shí)間更長(zhǎng)。已知月球繞地球的運(yùn)動(dòng)軌道可看成橢圓，地球始終在該橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上，則相對(duì)于1月的月球而言，7月的月球(　　)A．繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度更大B．距離地球更近C．繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度更小D．距離地球更遠(yuǎn)CD　[地球繞著太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，月球又繞著地球公轉(zhuǎn)，發(fā)生月食的條件是地球處于月球和太陽(yáng)中間，擋住了太陽(yáng)光，月全食持續(xù)的時(shí)間長(zhǎng)短和太陽(yáng)、地球、月球三者的位置關(guān)系密切相關(guān)，7月這次月全食的時(shí)間比較長(zhǎng)是由于月球和地球的距離比較遠(yuǎn)。根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知此時(shí)月球繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度更小，故A、B錯(cuò)誤，C、D正確。]3．如圖為人造地球衛(wèi)星的軌道示意圖，LEO是近地軌道，MEO是中地球軌道，GEO是地球同步軌道，GTO是地球同步轉(zhuǎn)移軌道。已知地球的半徑R＝6 400 km，該圖中MEO衛(wèi)星的周期約為(圖中數(shù)據(jù)為衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的高度)(　　)A．3 h   B．8 hC．15 h   D．20 hA　[根據(jù)題圖中MEO衛(wèi)星距離地面高度為4 200 km，可知軌道半徑約為R1＝10 600 km，同步軌道上GEO衛(wèi)星距離地面高度為36 000 km，可知軌道半徑約為R2＝42 400 km，為MEO衛(wèi)星軌道半徑的4倍，即R2＝4R1。地球同步衛(wèi)星的周期為T2＝24 h，運(yùn)用開(kāi)普勒第三定律，＝，解得T1＝3 h，選項(xiàng)A正確。]應(yīng)用開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律的三點(diǎn)注意(1)行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)通常按圓軌道處理。(2)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。(3)開(kāi)普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同。 萬(wàn)有引力定律的理解及應(yīng)用　1．萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示。(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。(2)在兩極上：G＝mg2。2．星體表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝G，得g＝。(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝，得g′＝。3．估算天體質(zhì)量和密度的兩種方法(1)“g、R”法：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。①由G＝mg，得天體質(zhì)量M＝。②天體密度ρ＝＝＝。(2)“T、r”法：測(cè)出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。①由G＝mr，得M＝。②若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝＝＝。　(多選)(2019·湖南地質(zhì)中學(xué)三模)若宇航員在月球表面附近高h處以初速度v0水平拋出一個(gè)小球，測(cè)出小球的水平射程為L。已知月球半徑為R，引力常量為G。則下列說(shuō)法正確的是(　　)A．月球表面的重力加速度g月＝B．月球的平均密度ρ＝C．月球的第一宇宙速度v＝D．月球的質(zhì)量m月＝關(guān)鍵信息：“水平拋出一個(gè)小球，測(cè)出水平射程”，可獲得月球表面的重力加速度。[解析]　設(shè)月球表面的重力加速度為g月，小球在月球表面做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋知識(shí)可知在水平方向上L＝v0t，在豎直方向上h＝g月t2，解得g月＝，故A錯(cuò)誤；在月球表面＝mg月，解得m月＝，則月球密度為ρ＝＝＝，故B正確，D錯(cuò)誤；月球的第一宇宙速度v＝＝，故C正確。[答案]　BC估算天體質(zhì)量和密度的“四點(diǎn)”注意(1)利用萬(wàn)有引力提供天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力估算天體質(zhì)量時(shí)，估算的只是中心天體的質(zhì)量，而非環(huán)繞天體的質(zhì)量。(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星，才有r≈R；計(jì)算天體密度時(shí)，V＝πR3中的“R”只能是中心天體的半徑。(3)天體質(zhì)量估算中常有隱含條件，如地球的自轉(zhuǎn)周期為24 h，公轉(zhuǎn)周期為365天等。(4)注意黃金代換式GM＝gR2的應(yīng)用。1.(多選)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上。設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R。下列說(shuō)法正確的是(　　)A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為B．一顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小為C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為D．三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力大小為BC　[由萬(wàn)有引力定律知A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；因三顆衛(wèi)星連線構(gòu)成等邊三角形，圓軌道半徑為r，由數(shù)學(xué)知識(shí)易知任意兩顆衛(wèi)星間距d＝2rcos 30°＝r，由萬(wàn)有引力定律知C項(xiàng)正確；因三顆衛(wèi)星對(duì)地球的引力大小相等且互成120°，故三顆衛(wèi)星對(duì)地球引力的合力為0，則D項(xiàng)錯(cuò)誤。]2．若地球半徑為R，把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體。“蛟龍”號(hào)下潛深度為d，“天宮一號(hào)”軌道距離地面高度為h，“蛟龍”號(hào)所在處與“天宮一號(hào)”所在處的重力加速度之比為(　　)A.　　　　　　   B．C.   D．C　[設(shè)地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬(wàn)有引力大小相等，有：g＝G，由于地球的質(zhì)量為：M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表達(dá)式可寫(xiě)成：g＝＝＝πGρR。根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬(wàn)有引力即為半徑等于(R－d)的球體在其表面產(chǎn)生的萬(wàn)有引力，故“蛟龍”號(hào)的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝。根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力G＝＝ma，“天宮一號(hào)”所在處的重力加速度為a＝，所以＝，＝，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。]3．(2019·合肥一中等六校聯(lián)考)科學(xué)家計(jì)劃在2025年將首批宇航員送往火星進(jìn)行考察。假設(shè)在火星兩極宇航員用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)得一質(zhì)量為m的物體的重力為F1，在火星赤道上宇航員用同一把彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)得該物體的重力為F2。通過(guò)天文觀測(cè)測(cè)得火星的自轉(zhuǎn)角速度為ω，已知引力常量為G，將火星看成是質(zhì)量分布均勻的球體，則火星的密度和半徑分別為(　　)A.，B.，C.，D.，A　[在兩極萬(wàn)有引力等于重力，G＝F1；在赤道上萬(wàn)有引力提供重力及向心力，G－F2＝mω2R，聯(lián)立解得R＝；由G＝F1，且M＝πR3ρ，解得ρ＝，故A正確。] 宇宙速度及衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析計(jì)算　1．宇宙速度與運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系(1)v發(fā)＝7.9 km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(2)7.9 km/s<v發(fā)<11.2 km/s，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)的軌跡為橢圓。(3)11.2 km/s≤v發(fā)<16.7 km/s，衛(wèi)星繞太陽(yáng)做橢圓運(yùn)動(dòng)。(4)v發(fā)≥16.7 km/s，衛(wèi)星將掙脫太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)系以外的空間。2．物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律3．同步衛(wèi)星的六個(gè)“一定”　如圖所示，a為放在赤道上相對(duì)地球靜止的物體，隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星(軌道半徑約等于地球半徑)，c為地球的同步衛(wèi)星。下列關(guān)于a、b、c的說(shuō)法中正確的是(　　)A．b衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)線速度大于7.9 km/sB．a、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小關(guān)系為aa>ab>acC．a、b、c做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期關(guān)系為Tc>Tb>TaD．在b、c中，b的速度大思路點(diǎn)撥：解此題抓住以下兩個(gè)環(huán)節(jié)(1)赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速度(周期)；(2)赤道上物體與衛(wèi)星比較物理量時(shí)，要借助同步衛(wèi)星過(guò)渡。[解析]　b為沿地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有G＝m，解得v＝，代入數(shù)據(jù)得v＝7.9 km/s，故A錯(cuò)誤；地球赤道上的物體與同步衛(wèi)星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根據(jù)a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根據(jù)a＝得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B錯(cuò)誤；衛(wèi)星c為同步衛(wèi)星，所以Ta＝Tc，根據(jù)T＝2π得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C錯(cuò)誤；在b、c中，根據(jù)v＝，可知b的速度比c的速度大，故D正確。[答案]　D研究衛(wèi)星運(yùn)行熟悉“三星一物”(1)同步衛(wèi)星的周期、軌道平面、高度、線速度的大小、角速度、繞行方向均是固定不變的，常用于無(wú)線電通信，故又稱(chēng)通信衛(wèi)星。(2)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過(guò)南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。(3)近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球的半徑，其運(yùn)行線速度約為7.9 km/s。(4)赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力和地面支持力的合力充當(dāng)向心力(或者說(shuō)由萬(wàn)有引力的分力充當(dāng)向心力)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同于衛(wèi)星，但它的周期、角速度與同步衛(wèi)星相等。　宇宙速度的理解1．(多選)據(jù)悉，我國(guó)的火星探測(cè)已引起各國(guó)的關(guān)注，我國(guó)將于近幾年進(jìn)行第一次火星探測(cè)，向火星發(fā)射軌道探測(cè)器和火星巡視器。已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的，火星的半徑約為地球半徑的。下列關(guān)于火星探測(cè)器的說(shuō)法中正確的是(　　)A．發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可B．發(fā)射速度只有達(dá)到第三宇宙速度才可以C．發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度D．火星探測(cè)器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度約為地球的第一宇宙速度的CD　[要將火星探測(cè)器發(fā)射到火星上去，必須脫離地球引力，即發(fā)射速度要大于第二宇宙速度，火星探測(cè)器仍在太陽(yáng)系內(nèi)運(yùn)轉(zhuǎn)，因此從地球上發(fā)射時(shí)，發(fā)射速度要小于第三宇宙速度，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，C正確；由第一宇宙速度的概念，得G＝m，得v1＝，故火星探測(cè)器環(huán)繞火星運(yùn)行的最大速度與地球的第一宇宙速度的比值約為＝，選項(xiàng)D正確。]　衛(wèi)星的運(yùn)行問(wèn)題2.(2019·重慶一中月考)如圖所示，衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用T、a、v、S分別表示衛(wèi)星的周期、加速度、速度、與地心連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積。下列關(guān)系式正確的是(　　)A．TA>TB   B．aA>aBC．vA>vB   D．SA＝SBA　[根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得＝＝＝ma，可知線速度為v＝，周期為T＝，加速度為a＝，A的軌道半徑較大，則vA<vB，TA>TB，aA<aB，故A正確，B、C錯(cuò)誤；由開(kāi)普勒第二定律可知繞一中心天體運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星與中心天體連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等，A、B不是同一軌道，所以A、B與地心連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積不同，故D錯(cuò)誤。]　同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星與赤道上的物體3．(2019·北京高考)2019年5月17日，我國(guó)成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)。該衛(wèi)星(　　)A．入軌后可以位于北京正上方B．入軌后的速度大于第一宇宙速度C．發(fā)射速度大于第二宇宙速度D．若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少D　[地球同步衛(wèi)星的軌道一定位于赤道的正上方，而北京位于北半球，并不在赤道上，所以該衛(wèi)星入軌后不可能位于北京正上方，故A錯(cuò)誤；第一宇宙速度為最大的運(yùn)行速度，即只有當(dāng)衛(wèi)星做近地飛行時(shí)才能近似達(dá)到的速度，所以該衛(wèi)星入軌后的速度一定小于第一宇宙速度，故B錯(cuò)誤；成功發(fā)射人造地球衛(wèi)星的發(fā)射速度應(yīng)大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，故C錯(cuò)誤；衛(wèi)星需加速才可從低軌道運(yùn)動(dòng)至高軌道，故衛(wèi)星發(fā)射到近地圓軌道所需能量較發(fā)射到同步衛(wèi)星軌道的少，故D正確。] 衛(wèi)星變軌問(wèn)題　1．衛(wèi)星發(fā)射及變軌過(guò)程概述人造衛(wèi)星的發(fā)射過(guò)程要經(jīng)過(guò)多次變軌方可到達(dá)預(yù)定軌道，如圖所示。(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上。(2)在A點(diǎn)點(diǎn)火加速，由于速度變大，萬(wàn)有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ。2．三個(gè)運(yùn)行物理量的大小比較(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)速率分別為vA、vB。在A點(diǎn)加速，則vA>v1，在B點(diǎn)加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因?yàn)樵?/span>A點(diǎn)，衛(wèi)星只受到萬(wàn)有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)加速度也相同。(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運(yùn)行的周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長(zhǎng)軸)、r3，由開(kāi)普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3。　2017年1月18日，世界首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子號(hào)”在圓滿完成4個(gè)月的在軌測(cè)試任務(wù)后，正式交付用戶單位使用。如圖為“墨子號(hào)”變軌示意圖，軌道A與軌道B相切于P點(diǎn)，軌道B與軌道C相切于Q點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是(　　)A．“墨子號(hào)”在軌道B上由P向Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中速率越來(lái)越大B．“墨子號(hào)”在軌道C上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)的速率大于在軌道A上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的速率C．“墨子號(hào)”在軌道B上經(jīng)過(guò)P時(shí)的向心加速度大于在軌道A上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的向心加速度D．“墨子號(hào)”在軌道B上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)受到的地球的引力小于經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)受到的地球的引力[解析]　“墨子號(hào)”在軌道B上由P向Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，逐漸遠(yuǎn)離地心，速率越來(lái)越小，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；“墨子號(hào)”在A、C軌道上運(yùn)行時(shí)，軌道半徑不同，根據(jù)G＝m可得v＝，軌道半徑越大，線速度越小，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；“墨子號(hào)”在A、B兩軌道上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)，離地心的距離相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；“墨子號(hào)”在軌道B上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)比經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)離地心的距離要遠(yuǎn)些，受地球的引力要小些，選項(xiàng)D正確。[答案]　D 航天器變軌問(wèn)題的“三點(diǎn)”注意(1)航天器變軌時(shí)半徑的變化，根據(jù)萬(wàn)有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定在新圓軌道上的運(yùn)行速度變化由v＝判斷。(2)同一航天器在一個(gè)確定的圓(橢圓)軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能守恒，在不同軌道上運(yùn)行時(shí)機(jī)械能不同，軌道半徑越大，機(jī)械能越大。(3)航天器經(jīng)過(guò)不同軌道的相交點(diǎn)時(shí)，加速度相等，外軌道的速度大于內(nèi)軌道的速度。1．(2019·臨沂2月檢測(cè))2019年春節(jié)期間，中國(guó)科幻電影里程碑的作品《流浪地球》熱播。影片中為了讓地球逃離太陽(yáng)系，人們?cè)诘厍蛏辖ㄔ焯卮蠊β拾l(fā)動(dòng)機(jī)，使地球完成一系列變軌操作，其逃離過(guò)程如圖所示，地球在橢圓軌道Ⅰ上運(yùn)行到遠(yuǎn)日點(diǎn)B變軌，進(jìn)入圓形軌道Ⅱ。在圓形軌道Ⅱ上運(yùn)行到B點(diǎn)時(shí)再次加速變軌，從而最終擺脫太陽(yáng)束縛。對(duì)于該過(guò)程，下列說(shuō)法正確的是(　　)A．沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，需向前噴氣減速才能進(jìn)入軌道ⅡB．沿軌道Ⅰ運(yùn)行的周期小于沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期C．沿軌道Ⅰ運(yùn)行時(shí)，在A點(diǎn)的加速度小于在B點(diǎn)的加速度D．在軌道Ⅰ上由A點(diǎn)運(yùn)行到B點(diǎn)的過(guò)程，速度逐漸增大B　[沿軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，需向后噴氣加速才能進(jìn)入軌道Ⅱ，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因在軌道Ⅰ的半長(zhǎng)軸小于軌道Ⅱ的運(yùn)動(dòng)半徑，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知，沿軌道Ⅰ運(yùn)行的周期小于沿軌道Ⅱ運(yùn)行的周期，故選項(xiàng)B正確；由G＝ma可得a＝，則沿軌道Ⅰ運(yùn)行時(shí)，在A點(diǎn)的加速度大于在B點(diǎn)的加速度，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知，在軌道Ⅰ上由A點(diǎn)運(yùn)行到B點(diǎn)的過(guò)程，速度逐漸減小，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。]2．(多選)如圖是“嫦娥三號(hào)”飛行軌道示意圖，在地月轉(zhuǎn)移段，若不計(jì)其他星體的影響，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，下列說(shuō)法正確的是(　　)A．“嫦娥三號(hào)”飛行速度一定越來(lái)越小B．“嫦娥三號(hào)”的動(dòng)能可能增大C．“嫦娥三號(hào)”的動(dòng)能和引力勢(shì)能之和一定不變D．“嫦娥三號(hào)”的動(dòng)能和引力勢(shì)能之和可能增大AC　[在地月轉(zhuǎn)移段“嫦娥三號(hào)”所受地球和月球的引力之和指向地球，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，“嫦娥三號(hào)”向月球飛行，要克服引力做功，動(dòng)能一定減小，速度一定減小，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤。關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，只有萬(wàn)有引力做功，“嫦娥三號(hào)”的動(dòng)能和引力勢(shì)能之和一定不變，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤。]1．雙星模型(1)定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱(chēng)之為雙星系統(tǒng)，如圖所示。(2)特點(diǎn)：①各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L。④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即＝。⑤雙星的運(yùn)動(dòng)周期T＝2π。⑥雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝。[示例1]　雙星系統(tǒng)中兩個(gè)星球A、B的質(zhì)量都是m，A、B相距L，它們正圍繞兩者連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。實(shí)際觀測(cè)該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計(jì)算出的周期理論值T0，且＝k(k<1)，于是有人猜測(cè)這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認(rèn)為C位于雙星A、B的連線正中間，相對(duì)A、B靜止，求：(1)兩個(gè)星球A、B組成的雙星系統(tǒng)周期理論值T0；(2)星球C的質(zhì)量。[解析](1)兩星球的角速度相同，根據(jù)萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力知：＝mr1ω＝mr2ω可得：r1＝r2 ①兩星繞連線的中點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則有：＝m×ω解得ω1＝ ②所以T0＝＝2π。 ③(2)由于C的存在，雙星的向心力由兩個(gè)力的合力提供，則＋G＝m·L·ω ④T＝＝kT0 ⑤聯(lián)立③④⑤式解得M＝。[答案](1)2π　(2)2．多星模型(1)定義：所研究星體的萬(wàn)有引力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。(2)三星模型：①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖甲所示)。②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所示)。甲　　　乙　　　丙　　　丁(3)四星模型：①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丙所示)。②另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丁所示)。[示例2]　(多選)宇宙間存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，三角形邊長(zhǎng)為R，忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，則   (　　)A．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為B．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為C．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2πD．每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度與三星的質(zhì)量無(wú)關(guān)ABC　[每顆星受到的合力為F＝2Gsin 60°＝G，軌道半徑為r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝m，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，顯然加速度a與m有關(guān)，選項(xiàng)A、B、C正確，D錯(cuò)誤。]解決雙星、多星問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)雙星或多星的特點(diǎn)、規(guī)律，確定系統(tǒng)的中心以及運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。(2)星體的向心力由其他天體的萬(wàn)有引力的合力提供。(3)星體的角速度相等。(4)星體的軌道半徑不是天體間的距離。要利用幾何知識(shí)，尋找兩者之間的關(guān)系，正確計(jì)算萬(wàn)有引力和向心力。[即時(shí)訓(xùn)練]1.(2019·云南昆明一中月考)如圖所示，A、B兩顆恒星分別繞它們連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，我們通常稱(chēng)之為“雙星系統(tǒng)”，A的質(zhì)量為B的2倍，忽略其他星球?qū)Χ叩囊Γ铝姓f(shuō)法正確的是(　　)A．恒星A的向心加速度是B的一半B．恒星A的線速度是B的2倍C．恒星A的公轉(zhuǎn)周期是B的一半D．恒星A的動(dòng)能是B的2倍A　[A、B之間的引力提供各自的向心力，由牛頓第二定律可知，A、B的向心力相等，角速度和周期相等，則有2MrA＝MrB，解得恒星A與恒星B的軌道半徑之比為rA∶rB＝1∶2，由v＝ωr，a＝ω2r，TA＝TB，可得A正確，B、C錯(cuò)誤；由動(dòng)能Ek＝mv2可得＝·＝×＝，故D錯(cuò)誤。]2．(多選)宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每顆星的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上。已知引力常量為G。關(guān)于宇宙四星系統(tǒng)，下列說(shuō)法正確的是(　　)A．四顆星圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)B．四顆星的軌道半徑均為C．四顆星表面的重力加速度均為D．四顆星的周期均為2πaACD　[其中一顆星在其他三顆星的萬(wàn)有引力作用下，合力方向指向?qū)蔷€的交點(diǎn)，圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)可得軌道半徑均為a，故A正確，B錯(cuò)誤；在每顆星表面，根據(jù)萬(wàn)有引力近似等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正確；由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得＋＝m·，解得T＝2πa，故D正確。]