一、單選題（本大題共8小題）
1．在四邊形 ABCD 中， AC 與 BD 交于點(diǎn) O ，且 AO→=OC→ ， BO→=OD→ ， |AC→|=|BD→| ，則 （ ）
A． AC⊥BD
B． 四邊形 ABCD 是梯形
C． 四邊形 ABCD 是菱形
D． 四邊形 ABCD 是矩形
2．兩個(gè)三棱錐、一個(gè)四棱錐拼在一起不可能拼成的是（ ）
A．一個(gè)三棱錐B．一個(gè)四棱錐
C．一個(gè)三棱柱D．一個(gè)四棱柱
3．已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，當(dāng)時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
4．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形，恰為一個(gè)直角邊長(zhǎng)為3的等腰直角三角形（如圖），，則原圖形的面積為（ ）
A．B．18C．D．
5．已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則以下正確的是（ ）
A．點(diǎn)為的內(nèi)心B．點(diǎn)為的外心
C．D．為等邊三角形
6．已知為虛數(shù)單位，若為的共軛復(fù)數(shù)，則（ ）
A．14B．116C．D．
7．在四邊形中，，且，則（ ）
A．B．C．D．
8．多面體歐拉定理是指：若多面體的頂點(diǎn)數(shù)為，面數(shù)為，棱數(shù)為，則滿足. 已知某面體各面均為五邊形，且經(jīng)過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)的棱數(shù)為3，則（ ）
A．6B．10C．12D．20
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．的虛部為B．C．D．為純虛數(shù)
10．在平行四邊形中，與交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，則（ ）
A．為三角形的外心B．
C．D．
11．已知，方程有一個(gè)虛根為為虛數(shù)單位，另一個(gè)虛根為，則（ ）
A．B．該方程的實(shí)數(shù)根為1
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，且，則 .
13．已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為 .
14．某容器是一個(gè)圓錐和圓柱的組合體（如圖），圓柱的底面直徑為4，高為3，容器內(nèi)放入一個(gè)直徑為4的球后，該球與圓柱的側(cè)面和底面、圓錐的側(cè)面都相切，則該容器的體積為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知為虛數(shù)，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．在平面直角坐標(biāo)系中，，四邊形是矩形且.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)與點(diǎn)在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點(diǎn)到的距離的平方和最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).
17．已知為單位向量.
(1)若，求的夾角；
(2)若，求的值.
18．已知某圓錐的母線長(zhǎng)與底面直徑相等，表面積為.
(1)求此圓錐的體積；
(2)若此圓錐內(nèi)有一圓柱，該圓柱的下底面在圓錐的底面上，求該圓柱側(cè)面積的最大值.
19．已知點(diǎn)滿足的面積為面積的.

(1)求的值；
(2)若為的垂心，求的值.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】由 AO→=OC→ , BO→=OD→ , |AC→|=|BD→| ，知四邊形 ABCD 的對(duì)角線互相平分且相等，所以四邊形 ABCD 為矩形．故選D．
2．【答案】D
【詳解】對(duì)于A，三棱錐中，分別取的中點(diǎn)，再取的中點(diǎn)，連接，
則三棱錐可拆割成三棱錐和四棱錐，A可能；
對(duì)于B，四棱錐，取的中點(diǎn)，則四棱錐可拆割
成三棱錐和四棱錐，B可能；
對(duì)于C，三棱柱中，取的中點(diǎn)，則三棱柱可拆割為
三棱錐和四棱錐，C可能；
對(duì)于D，一個(gè)四棱柱割去一個(gè)四棱錐后的幾何體不可能由兩個(gè)三棱錐拼成，D不可能.
故選：D
3．【答案】C
【詳解】依題意，，解得，則，
所以.
故選：C
4．【答案】A
【詳解】由題意知，中，，則，
由斜二測(cè)畫(huà)法，將直觀圖還原為原圖，如圖所示，
則，，
所以.
故選：A
5．【答案】B
【詳解】在中，由為的垂心，得，
由，得，
則，即，又，
顯然，同理得，因此點(diǎn)為的外心，B正確，無(wú)判斷ACD成立的條件.
故選：B
6．【答案】B
【詳解】由，得，
所以，解得，
則，所以，
所以.
故選：B
7．【答案】B
【詳解】，，則且，
又，，所以，則，
所以四邊形為直角梯形，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，所以，，
所以.
故選：B.
8．【答案】C
【詳解】設(shè)該多面體的頂點(diǎn)數(shù)為，棱數(shù)為，
依題意，，消去得，
所以.
故選：C
9．【答案】AD
【詳解】復(fù)數(shù)，故實(shí)部為，虛部為，故AD錯(cuò)誤；
，故B正確；
與為方程的兩個(gè)根，可知，
所以，，故C正確.
故選：AD
10．【答案】BCD
【詳解】在三角形中，為的中點(diǎn)，又與相似，
可得：，故點(diǎn)為三角形的重心，故A錯(cuò)誤；
由于點(diǎn)為三角形的重心，延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，
所以，故B正確；
，，故C正確；
，故D正確.
故選：BCD.
11．【答案】AB
【詳解】由是方程的根，得，
整理得，而，因此，解得，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于BC，方程，變形為，
顯然此方程還有一個(gè)實(shí)根1，另一個(gè)虛根，B正確，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.
故選：AB
12．【答案】2
【詳解】由，得，
所以，解得.
故答案為：2
13．【答案】
【詳解】依題意，點(diǎn)的軌跡是復(fù)平面上以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，
，而，
，當(dāng)且僅當(dāng)方向相反時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.
故答案為：
14．【答案】
【詳解】由于圓柱的底面直徑為4，故，高為，所以圓柱的體積為：，
軸截面如圖：設(shè)球心為，
則與全等，由，得，
與同為的補(bǔ)角，故，
，
故，故，
故圓錐的高為52-1=32，所以圓錐的體積為，
故所求體積為.
故答案為：
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>即，由于為虛數(shù)，故，
所以，故，
所以，所以.
（2），
由于，所以，
故.
16．【答案】(1)點(diǎn)，點(diǎn)；
(2).
【詳解】（1）依題意，，由矩形，得，
解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，而時(shí)，，
因此，，顯然，于是得，
所以點(diǎn)，點(diǎn).
（2）設(shè)，依題意，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由于，所以，
兩邊平方得，又為單位向量，
所以，設(shè)的夾角為，則，
所以，故的夾角為.
（2）因?yàn)?，所以?br>由，故，
所以
故.
18．【答案】(1)；
(2)
【詳解】（1）設(shè)圓錐底面圓半徑為，依題意，圓錐的母線長(zhǎng)l=2r，
顯然，解得，圓錐的高，
所以圓錐的體積.
（2）設(shè)圓錐的內(nèi)接圓柱的底面圓半徑為，高為，則有，即，
解得，
因此圓柱的側(cè)面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以該圓柱側(cè)面積的最大值為.
19．【答案】(1)5
(2)
【詳解】（1）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由的面積為面積的，可知為的中點(diǎn)，則，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得，
即，即得，
因?yàn)?，則，即，
所以，解得.

（2）由（1）知，，
則，
由，得，
化簡(jiǎn)得①，
又，
由，得，
化簡(jiǎn)得②，
由①②兩式可得，解得，
故.

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