一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 角是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】因?yàn)?，根?jù)終邊相同角的集合知，
與終邊相同，又是第二象限角.
故選：B.
2. 已知角的終邊上有一點(diǎn)，，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依題意，.
故選：C.
3. 已知函數(shù)，則的增區(qū)間是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，解得，
所以函數(shù)的增區(qū)間是.
故選：C.
4. 如圖所示的幾何圖形，設(shè)弧的長度是，弧的長度是，扇環(huán)的面積為，扇形的面積為.若，則（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】設(shè)，由，得，即，
所以.
故選：D.
5. 函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，
所以奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，故排除AB；
當(dāng)時(shí)，，故排除C.
故選：D.
6. 已知函數(shù)的圖象相鄰的兩條對稱軸間的距離為，為得到的圖象，可將的圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A. 先向右平移個(gè)單位長度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變
B. 先向右平移個(gè)單位長度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變
C. 先向右平移個(gè)單位長度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變
D. 先向右平移個(gè)單位長度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變
【答案】A
【解析】由題意可知，
所以，
所以可將的圖象上所有的點(diǎn)先向右平移個(gè)單位長度得到，
再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變得到的圖象，
即的圖象.
故選：A.
7. 已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，，且，則下列選項(xiàng)不正確的是（ ）
A. B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C. 以為周期的函數(shù)D.
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的偶函數(shù)，
所以，，
對于A，令，可得，
因?yàn)?，可得，故A正確；
對于B，因?yàn)?，所以?br>可得，
從而，
又因?yàn)椋傻茫?br>所以，可得，
所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；
對于C，因?yàn)椋?br>所以，所以，
可得，所以有，
所以以6為周期的函數(shù)，故C正確；
對于D，，，令可得，
可得，
令可得，可得，
令可得，可得，
令可得，可得，
所以，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
8. 已知函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，其中，
解得：，
則，要想保證函數(shù)在恰有三個(gè)零點(diǎn)，
滿足①，，
令，解得：；或要滿足②，，
令，解得：；
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，其他情況均不滿足條件，
綜上：的取值范圍是.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列三角函數(shù)值正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】由，，
，.
故選：BC.
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A. 將的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象
B.
C. ，都有
D. 為函數(shù)的一條對稱軸
【答案】BC
【解析】由題設(shè)知，，則，
所以，又，
所以，則，，可得，
所以，
由，故A錯(cuò)；
，B對；
由的最小值、最大值分別為，
所以，都有，C對；
，顯然不是對稱軸，D錯(cuò).
故選：BC.
11. 如圖，摩天輪的半徑為50米，摩天輪的中心點(diǎn)距離地面的高度為55米，摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最高點(diǎn)處，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 經(jīng)過12分鐘，點(diǎn)首次到達(dá)最低點(diǎn)
B. 第16分鐘和第32分鐘點(diǎn)距離地面一樣高
C. 從第28分鐘至第40分鐘點(diǎn)距離地面的高度一直在降低
D. 摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周過程中，點(diǎn)有8分鐘距離地面的高度不低于80米
【答案】ABD
【解析】設(shè)為摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的時(shí)間，單位為分鐘，
則.
對于A選項(xiàng)，由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，
因?yàn)?，則，令，解得，
所以經(jīng)過12分鐘，點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；
對于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>即，所以第16分鐘和第32分鐘點(diǎn)P距離地面一樣高，B選項(xiàng)正確；
對于C選項(xiàng)，由于摩天輪勻速逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每24分鐘轉(zhuǎn)一圈，
所以第28分鐘至第40分鐘，相當(dāng)于第4分鐘至第16分鐘，
根據(jù)A選項(xiàng)可知，經(jīng)過12分鐘，點(diǎn)P首次到達(dá)最低點(diǎn)，
所以第4分鐘至第12分鐘，摩天輪高度降低，第12分鐘至第16分鐘，摩天輪高度上升，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D選項(xiàng)，由，則，
其中，即，
則或，解得或，
故摩天輪在旋轉(zhuǎn)一周的過程中點(diǎn)P有分鐘距離地面不低于80米，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則____.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以
.
13. 若，則_______
【答案】
【解析】由已知可得，，
設(shè)，則.
代入已知可化為，
所以，解得，所以，所以.
14. 當(dāng)時(shí)，不等式的解集是_______.
【答案】
【解析】令，
①當(dāng)時(shí)，，
因，則，則在上單調(diào)遞增，
又，則得；
②當(dāng)時(shí)，，則恒成立；
③當(dāng)時(shí)，
，
因，則恒成立，
綜上，不等式的解集為.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. （1）化簡：；
（2）求證: 函數(shù)的最小正周期為.
解：（1）.
（2）對于函數(shù)，，
，
所以是函數(shù)的一個(gè)周期，
假設(shè)存在，使得對于恒成立，
則對于恒成立，
令，則，此時(shí)，，
即，，顯然不存在滿足的值，與假設(shè)矛盾，
所以函數(shù)的最小正周期為.
16. 函數(shù)的一個(gè)對稱中心是.
（1）求以及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間、最大值；
（2）用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在上的簡圖.
解：（1）由題設(shè)，則，，
故，，，則，所以，其最大值為2，
令，，則，，
所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，.
（2）
在上的簡圖如下，
17. 如圖是函數(shù)的部分圖象，M，N是它與x軸的兩個(gè)不同交點(diǎn)，D是M?N之間的最高點(diǎn)且橫坐標(biāo)為，點(diǎn)是線段DM的中點(diǎn).
（1）求函數(shù)的解析式及上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是線段DM中點(diǎn)，所以，，
則，，所以，所以，
由，故，，
所以，，
又因?yàn)椋瑒t．所以，
由，得，
令，得，
所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間為.
（2）因?yàn)?，則，
令，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
即方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)的圖象與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
如圖所示，作出函數(shù)的圖象，
由圖可知，．
18. 已知二次函數(shù).
（1）若恒成立，求的取值范圍.
（2）令，若時(shí)有唯一零點(diǎn)，求的取值范圍.
解：（1）由題意，對于二次函數(shù)，，
要使恒成立，則，解得，
即的取值范圍為.
（2）由，令，
則，
因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)有唯一零點(diǎn)，
所以方程在時(shí)有唯一解，
當(dāng)時(shí)，方程為，顯然不成立，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，等價(jià)于方程在時(shí)有唯一解，
令，，
則等價(jià)于方程在時(shí)有唯一解，
畫出函數(shù)，的圖象（實(shí)線部分）：
由圖可知，要使方程在時(shí)有唯一解，
則，即的取值范圍為.
19. 已知函數(shù)，如果對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)及給定的非零常數(shù)，總存在非零常數(shù)，恒有成立，則稱函數(shù)是上的“級遞減類周期函數(shù)”，類周期為；若恒有成立，則稱函數(shù)是上的“級類周期函數(shù)”，類周期為．
（1）判斷函數(shù)是不是上的類周期為1的“2級遞減類周期函數(shù)”，并說明理由．
（2）已知是在上的“級類周期函數(shù)”，類周期，且在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，．求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式，并求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（3）是否存在非零實(shí)數(shù)，使函數(shù)是上的類周期為的“級類周期函數(shù)”？給出結(jié)論并證明你的結(jié)論．
解：（1）依題意，函數(shù)的定義域是，
，
即任意成立，
所以函數(shù)是上的類周期為1的2級遞減類周期函數(shù)．
（2）因?yàn)槭窃谏系募夘愔芷诤瘮?shù)，類周期，
所以，
即，而當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，則；
當(dāng)時(shí)，，
則．
并且有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)樵谏蠂?yán)格單調(diào)遞增，則有解得，
所以當(dāng)時(shí)，，且．
（3）假定存在非零實(shí)數(shù)，
使函數(shù)是上的類周期為的級類周期函數(shù)，
即任意，恒有成立，則任意，
恒有成立，
即任意，恒有成立．
當(dāng)時(shí)，，則，
于是得，要使恒成立，則有：
當(dāng)，即時(shí)，由函數(shù)與的圖象存在交點(diǎn)知，方程有解，
此時(shí)恒成立，則，即；
當(dāng)，即時(shí)，若，則，，無解．
若，即，令，即，由和的圖象可知，，兩者無交點(diǎn)，故無解．
綜上，，符合題意，其中滿足．0
2
0
0

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