江西省贛州市大余縣部分學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

這是一份江西省贛州市大余縣部分學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版），共21頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1. 下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.是二元一次方程，此項(xiàng)不符合題意；
B.是一元一次方程，此項(xiàng)不符合題意；
C.是一元二次方程，此項(xiàng)符合題意；
D.含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，則此項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
2. 在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵將點(diǎn)向右平移6個(gè)單位得到點(diǎn)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，
∴點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故選：D．
3. 下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 同位角相等
B. 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)
C. 拋擲一枚硬幣，正面朝上
D. 打開電視，正好播放神舟十九號(hào)載人飛船發(fā)射回放
【答案】B
【解析】A.同位角相等，是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意；
B.圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，是必然事件，故此選符合題意；
C.拋擲一枚硬幣，正面朝上，是隨機(jī)事件，故此選不符合題意；
D.打開電視，正好播放神舟十九號(hào)載人飛船發(fā)射回放，是隨機(jī)事件，故此選不符合題意；
故選：B．
4. 如圖，點(diǎn)，，，都在上，是的直徑，．若，，則的半徑為（ ）
A. 5B. 6C. D. 10
【答案】A
【解析】∵是的直徑，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
而，，
∴，
∴的半徑為；
故選：A
5. 如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上，且，則線段的長(zhǎng)為（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】B
【解析】拋物線的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
∴；
∵，
∴，
∴，
故選：B．
6. 一個(gè)立體圖形，俯視圖是，左視圖是，要搭一個(gè)這樣的立體圖形，需要小正方體個(gè)數(shù)的情況有（ ）
A. 1種B. 2種C. 3種D. 4種
【答案】D
【解析】由俯視圖可知，這個(gè)立體圖形的底層小正方體分布情況確定，底層小正方體的個(gè)數(shù)為6個(gè)，
由左視圖可知，左視圖顯示該立體圖形有兩層，從左視圖看，二層左面可以放1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)小正方體。
綜上，需要小正方體個(gè)數(shù)的情況有4種，
故選：D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7. 若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為________．
【答案】
【解析】∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，
解得：，
故答案為：
8. 如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，則的大小為 ________．

【答案】40°
【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：，
∴．
故答案為：．
9. 在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，老師給出了如圖所示的圖形及三個(gè)式子：①；②；③．當(dāng)從這三個(gè)式子中，任意選擇一個(gè)作為已知條件時(shí)，能得到與相似的概率為________．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，而不一定等于，
∴與不一定相似；
∴當(dāng)從這三個(gè)式子中，任意選擇一個(gè)作為已知條件時(shí)，能得到與相似的概率為；
故答案為：
10. 若，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為_______．
【答案】
【解析】，是一元二次方程的兩實(shí)根，
，，
則．
故答案為：．
11. 七巧板是我國(guó)一款傳統(tǒng)的益智玩具，能夠啟迪智慧，陶冶情操．七巧板是由五塊含45°角的直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形組成的．某同學(xué)利用圖1中七巧板的部分圖形拼成圖2中的圖形．若，則的值為________．
【答案】
【解析】如圖所示，
由題意得，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
故答案為：．
12. 如圖，的半徑為6，，是的中點(diǎn)．在中，，，，在平面上，移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)（含點(diǎn)與點(diǎn)），點(diǎn)始終在上隨之移動(dòng)．若的長(zhǎng)是整數(shù)，則點(diǎn)到的距離為________．
【答案】或或
【解析】如圖，連接，，過(guò)作于，過(guò)作于，

∵的半徑為6，，是的中點(diǎn)，
∴，，，
∴，
∵點(diǎn)在上移動(dòng)（含點(diǎn)與點(diǎn)），點(diǎn)始終在上隨之移動(dòng)，
∴，
∵的長(zhǎng)是整數(shù)，
∴或或；
當(dāng)時(shí)，重合，連接，
∵，，，
∴，
∴，
即，
如圖，
∴為等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，如圖，連接，過(guò)作于，
，，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，重合，如圖，連接，過(guò)作于，
同理可得：，
∴；
綜上：點(diǎn)到的距離為或或；
故答案為：或或
三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13. （1）計(jì)算：．
（2）杠桿平衡時(shí)，“阻力阻力臂動(dòng)力動(dòng)力臂”．已知阻力和阻力臂分別為和，動(dòng)力為（單位：），動(dòng)力臂為（單位：），求動(dòng)力關(guān)于動(dòng)力臂的函數(shù)解析式．
解：（1）
；
（2）由題意可得，，
∴，即，
∴動(dòng)力關(guān)于動(dòng)力臂的函數(shù)解析式：．
14. 如圖，小樹在路燈的照射下形成投影．
（1）此光源（路燈）形成的投影屬于________．（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知樹高為，樹影為，樹與路燈的水平距離為，求路燈的高度．
解：（1）此光源屬于點(diǎn)光源，
此光源下形成的投影屬于中心投影；
（2），，
，
，
，
∵樹高為，樹影為，樹與路燈的水平距離為，
∴，
解得：，
路燈的高度為米．
15. 某學(xué)校元旦將舉行文藝匯演活動(dòng)，計(jì)劃從音樂(lè)社團(tuán)，，，四名同學(xué)中隨機(jī)選取若干名，其中，，同學(xué)來(lái)自八年級(jí)，同學(xué)來(lái)自九年級(jí)．
（1）若需要從這四名同學(xué)中，隨機(jī)抽取一人，則恰好抽到的同學(xué)來(lái)自八年級(jí)的概率為________．
（2）若需要從這四名同學(xué)中，隨機(jī)抽取兩人，請(qǐng)用畫樹狀圖法或列表法求抽到的兩名同學(xué)均來(lái)自八年級(jí)的概率．
解：（1）由題意可得：
從這四名同學(xué)中，隨機(jī)抽取一人，則恰好抽到的同學(xué)來(lái)自八年級(jí)的概率為；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
總共有12種可能結(jié)果，其中兩名均來(lái)自八年級(jí)的結(jié)果有6種，
∴P（兩名均來(lái)自八年級(jí)）．
16. 已知關(guān)于的方程．
（1）當(dāng)時(shí)，求原方程的解．
（2）求證：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，無(wú)論取何值，原方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根．
（1）解：當(dāng)時(shí)，則原方程變成，
，即或
解得：，
（2）證明：∵
∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，無(wú)論取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
17. 如圖，這是的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺按要求完成以下作圖．（保留作圖痕跡）
（1）在圖1中作點(diǎn)，連接，，使得．
（2）在圖2中作點(diǎn)，連接，，使得．
解：（1）如圖，取格點(diǎn)，且，，，連接，則點(diǎn)即為所求；
由網(wǎng)格特點(diǎn)可得：，，，
∴；
（2）如圖，取格點(diǎn)，且，，，與格線的交點(diǎn)為，點(diǎn)即為所求；
理由如下：由作圖可得：
，，，
∴，
∵，
∴，
∴
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
18. 春節(jié)將近，某商家抓住商機(jī)，購(gòu)進(jìn)一批堅(jiān)果分裝成營(yíng)養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋的成本為5元．試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量（單位：袋）與銷售單價(jià)（單位：元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，其中，另外每天還需支付其他各項(xiàng)費(fèi)用100元．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若該商家每天獲得200元的利潤(rùn)，求此時(shí)小包裝堅(jiān)果的銷售單價(jià)．
解：（1）設(shè)．
將，；，代入，
得，
解得．
則與之間的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）由題意得：，
整理得：，
解得：，
又∵，
∴，
答：如果每天獲得元的利潤(rùn)，銷售單價(jià)為6元．
19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)在軸正半軸上，頂點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，連接，，的面積為6．
（1）直接寫出的值．
（2）已知．
①若，求直線的解析式；
②當(dāng)時(shí)，，求的值．
解：（1）∵矩形，的面積為6．
∴矩形的面積為，
∴，
（2）①∵矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴設(shè)，則，，
∴，
解得：（舍去）
∴，
∴，，
設(shè)直線為，
∴，
解得：，
∴直線為；
②∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，結(jié)合①得：，，
∴，
∴，
解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
∴當(dāng)或時(shí)，．
20. 追本溯源
題（1）來(lái)自課本中的習(xí)題，請(qǐng)你完成解答，并用（1）中得到的結(jié)論完成題（2）．
（1）如圖1，在銳角中，探究，，之間的關(guān)系．（提示：分別作和邊上的高）
結(jié)論應(yīng)用
（2）如圖2，繩金塔位于南昌市西湖區(qū)，始建于唐天佑年間，已有1100多年的歷史，繩金塔古樸秀麗，具有中國(guó)江南建筑的典型藝術(shù)風(fēng)格．如圖3，某數(shù)學(xué)實(shí)踐小組想測(cè)量繩金塔的高度，他們?cè)谒椎恼龞|方的點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋缓髲狞c(diǎn)處出發(fā)，沿著南偏西的方向行進(jìn)了到達(dá)點(diǎn)（，，三點(diǎn)位于同一水平面內(nèi)），且點(diǎn)在點(diǎn)南偏東方向上．根據(jù)以上信息，求繩金塔的高度．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，）
解：（1）過(guò)點(diǎn)C作與點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作與點(diǎn)D，
∵，
∴，，
∴，即
同理可證：，
∴．
（2）由題意可得出：，，，，
∴，
由（1）結(jié)論可知：，
即，
把，，代入，
則：，
在中，，
即
則繩金塔的高度為．
五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21. 如圖1，在中，，，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上運(yùn)動(dòng)，射線與射線相交于點(diǎn)．
（1）判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖2，，，連接．
①求證：是半圓的切線．
②求圖2中陰影部分的面積．
（1）解：是定值，理由如下：
如圖，連接，
∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴是定值．
（2）①證明：如圖，連接，
∴，而，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為半徑，
∴是半圓的切線；
②解：過(guò)作于，
∵，，，
∴，，，，，
∴，
，
∴陰影部分面積為：．
22. 綜合與實(shí)踐
【主題】大棚苗木種植方案設(shè)計(jì)
【素材】圖是一個(gè)大棚苗木種植基地的截面圖，其下半部分是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的矩形，其上半部分的形狀是一條拋物線，現(xiàn)測(cè)得大棚頂部的最高點(diǎn)距離地面．
【素材】種植苗木時(shí)，每棵苗木高，為了保證生長(zhǎng)空間，相鄰兩棵苗木種植點(diǎn)之間間隔，苗木頂部不觸碰大棚，且種植后苗木成軸對(duì)稱分布（苗木的數(shù)量為偶數(shù)個(gè)）．
【解決問(wèn)題】
（1）大棚上半部分的形狀是一條拋物線，設(shè)大棚的高度為，種植點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．根據(jù)圖建立的平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)素材提供的信息確定點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線的解析式（無(wú)需寫出自變量的取值范圍）．
（2）探究種植范圍．在圖的平面直角坐標(biāo)系中，在不影響苗木生長(zhǎng)的情況下，確定種植點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
（3）擬定種植方案．求出最前排符合所有種植條件的苗木數(shù)量，并求出最左邊一棵苗木種植點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
解：（1）如圖，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系以及題意可知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)，
可設(shè)拋物線的解析式為．
把點(diǎn)代入可得，
解得:，
拋物線的解析式為；
（2）種植苗木時(shí)，每棵苗木高，
當(dāng)時(shí)．
解得：，．
苗木頂部不觸碰大棚，且種植后苗木成軸對(duì)稱分布，
種植點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為．
（3）由題意可知，種植后苗木成軸對(duì)稱分布，且相鄰兩棵苗木種植點(diǎn)之間間隔，
在距離軸的兩側(cè)開始種植，最前排可種植（棵），
則最左邊一棵苗木種植點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
答：最前排符合所有種植條件的苗木數(shù)量為棵，最左邊一棵苗木種植點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
六、解答題（本大題共12分）
23. 綜合與實(shí)踐
如圖，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，為直線與直線的交點(diǎn)．
觀察發(fā)現(xiàn)
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：．
類比遷移
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)．
拓展應(yīng)用
（3）在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求的面積．
（1）證明：∵和是等腰直角三角形， ，
∴，，
∴，
∴，
∴
又∵是等腰直角三角形 ，
∴，
∴；
（2）解：∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：如圖，記與的交點(diǎn)為，記與的交點(diǎn)為，
同理可得：，
∴，，
∵，
∴，
∴四點(diǎn)共圓，
∵，，
∴，在直徑為的圓上，
當(dāng)過(guò)圓心，即為的中點(diǎn)時(shí)，最大，
此時(shí)，最大，
∴，此時(shí)最小，此時(shí)，
∴，
∴.銷售單價(jià)/元
銷售量/袋
330
150