一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由題意知，又，
所以．
故選：D．
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由于當時，有，但，故條件不是必要的；
當時，有，故條件時充分的.
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：A．
3. 已知函數(shù)的零點在區(qū)間內，且，則的值為（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】因為函數(shù)定義域為，與均在上單調遞增，
所以在上單調遞增，又，即，
由零點存在性定理可得，的零點所在區(qū)間為，所以．
故選：B．
4. 把函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀叮v坐標不變），再將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后，所得的圖象對應的函數(shù)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】將函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀逗螅?br>得到，再將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后，得到．
故選：A．
5. 生物學家認為，睡眠中的恒溫動物的脈搏率（單位：心跳次數(shù)）與體重（單位：kg）的次方成反比．若為兩個睡眠中的恒溫動物，的體重為2kg，脈搏率為210次．若的脈搏率是140次，則的體重為（ ）
A. 6kgB. C. 8kgD. 9kg
【答案】B
【解析】根據(jù)題意設，
當，則，
當時，則，所以，
故選：B．
6. 若，則的大小關系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為，即，
又，，
又，所以，所以，所以.
故選：D．
7. 已知函數(shù)，若對任意的，都有，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若對任意的，都有，
所以在上單調遞增，
所以，解得，即的取值范圍是.
故選：C.
8. 已知均為銳角，，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題可得，
兩邊同時除以得，
所以，
因為均為銳角，所以，
則，
當且僅當，即時取等號.
故選：C．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】函數(shù)的定義域為，由圖可知，所以，選項D正確；
由圖可知，所以，選項C錯誤；
由，即，解得，
由圖可知，所以，所以，選項A正確，選項B錯誤.
故選：AD．
10. 已知冪函數(shù)的圖象關于軸對稱，則下列說法正確的是（ ）
A.
B.
C. 若，則
D. 函數(shù)的最小值為
【答案】ACD
【解析】對于A選項，因為為冪函數(shù)，有，解得或．
當時，，函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；
當時，，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于軸對稱．
由上知，，故A正確；
對于B選項，由，故B錯誤；
對于C選項，因為，
由，有，故C正確；
對于D選項，由（當且僅當或時取等號），
可得函數(shù)的最小值為，故D正確．
故選：ACD．
11. 已知函數(shù)的圖象經過點，則下列說法正確的是（ ）
A. 若的最小正周期為，則
B. 若的圖象關于點中心對稱，則
C. 若在上單調遞增，則取值范圍是
D. 若方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是
【答案】AC
【解析】因為函數(shù)的圖象經過點，
所以，而，所以，即，
選項A，的最小正周期是，則，A正確；
選項B，的圖象關于點中心對稱，
則（因為），B錯誤；
選項C，時，，
則，，解得，C正確；
選項D，時，，
方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，
即方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，
則，解得，D錯誤．
故選：AC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)，且的圖象恒過定點，且點在冪函數(shù)的圖象上，則______．
【答案】
【解析】令，解得，此時，
所以函數(shù)（，且）的圖象恒過定點，
設冪函數(shù)，則，解得，
所以．
13. 已知函數(shù)，，則______.
【答案】
【解析】∵，
，
所以.
14. 已知，且，則的最大值為______．
【答案】
【解析】，
又，
，
，或（舍），
，
當且僅當即時，等號成立，此時的最大值為．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. （1）計算；
（2）計算．
解：（1）
.
（2）
．
16. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若關于的方程恰有兩個實數(shù)根，求的取值范圍．
解：（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，
當時，；
當時，，所以，
綜上，.
（2）函數(shù)的圖象如圖所示：
所以且，解得或，
故的取值范圍是．
17. （1）已知，且，求的最小值；
（2）解關于的不等式．
解：（1）因，所以得，即，
所以．
因為，所以．
當且僅當，即時，即時，等號成立；
此時.
（2）當時，，解集為，
當時，，
①當時，，解集為；
②當時，，解集為；
③當時，解集為；
④當時，，解集為．
綜上所述：時，解集為；時，解集為；
時，解集為；時，解集為；時，解集為．
18. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，且．
（1）求的值；
（2）判斷的單調性，并證明；
（3）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍．
解：（1）因為函數(shù)是一個奇函數(shù)，
所以，即，
可得，即，
所以，解得或．
當時，，此時，不符合題意；
當時，，此時，滿足題意，
綜上，.
（2）在上單調遞增，
不妨設，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，即，
所以在上單調遞增，
又是奇函數(shù)且定義域為，所以在上單調遞增.
（3）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，
即，
又是奇函數(shù)，所以，
又在上單調遞增．所以對任意實數(shù)恒成立，
又，
所以當時，取得最大值，所以，
解得，即的取值范圍是.
19. 已知函數(shù)圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為，且．
（1）求的解析式；
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的最大值；
（3）記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，設函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
解：（1）由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，
所以，所以，
故，解得，
所以.
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，
可得的圖象，
再向上平移1個單位長度，得到的圖象，所以，
又，所以當時，，
又，所以，
要使最大，則最大，最?。?br>所以當最大，最小時，
即取得最大值，最大值為.
（3）因為，所以，
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，
此時；
又，所以，所以，
所以的取值范圍為；
當時，在上單調遞減，
所以，，
此時；
又，所以，所以，
所以的取值范圍為，綜上，函數(shù)的值域為．

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