四川省綿陽南山中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月綿陽三診熱身考試文科數(shù)學(xué)試題 含解析

這是一份四川省綿陽南山中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月綿陽三診熱身考試文科數(shù)學(xué)試題 含解析，共21頁。試卷主要包含了 設(shè)集合， 已知復(fù)數(shù)滿足， 蘇格拉數(shù)學(xué)家科林，5D， 函數(shù)的部分圖像大致為等內(nèi)容，歡迎下載使用。
命題人：宋玉賢 審題人：尹冰
第I卷（選擇題，共60分）
一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 設(shè)集合.則（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)并集的定義，即可求解.
【詳解】由，可知，.
故選：D
2. 已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運算法則、虛數(shù)單位乘方的運算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)的模定義進(jìn)行求解即可.
詳解】由，
則，
所以.
故選：D
3. 在直角坐標(biāo)系中，向量，其中，若，三點共線，則實數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先由題意求得，再利用向量共線的坐標(biāo)表示列式計算即可得解.
【詳解】因為，
所以，，
因為，，三點共線，則共線，
所以，則.
故選：C.
4. 蘇格拉數(shù)學(xué)家科林.麥克考林（Clin Maclaurin）研究出了著名的Maclauin級數(shù)展開式，其中一個為，據(jù)此展開式，如圖所示的程序框圖的輸出結(jié)果約為（ ）

A. 2B. 1C. 0.5D. 0.25
【答案】B
【解析】
【分析】直接代入得，再利用麥克勞林公式即可.
【詳解】按照題中所給程序運行:時，時，，退出循環(huán)，輸出，
又，
令，得，
即.
故選：B.
5. 函數(shù)的部分圖像大致為（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)奇偶性排除A，B，再根據(jù)得到D.
【詳解】因為定義域為，
，
所以為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，排除A，B；
因為，，所以，故C錯誤，D正確，
故選：D.
6. 已知等比數(shù)列的第二項為1，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由充分性必要性的定義以及等比數(shù)列性質(zhì)即可求解.
【詳解】因為等比數(shù)列的第二項為1，所以數(shù)列的偶數(shù)項一定為正，
若，則，即，
此時，故，即充分性成立；
若，則，所以或，
此時或，所以不一定成立，即必要性不成立.
故選：A.
7. 一般來說，輸出信號功率用高斯函數(shù)來描述，定義為，其中為輸出信號功率最大值（單位：），為頻率（單位：），為輸出信號功率的數(shù)學(xué)期望，為輸出信號的方差，帶寬是光通信中一個常用的指標(biāo)，是指當(dāng)輸出信號功率下降至最大值一半時，信號的頻率范圍，即對應(yīng)函數(shù)圖象的寬度?，F(xiàn)已知輸出信號功率為（如圖所示），則其帶寬為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定信息，列出方程并求解即可作答.
【詳解】依題意，由，，得，即，
則有，解得，，
所以帶寬為.
故選：D
8. 已知函數(shù)在區(qū)間恰有兩個零點，則的值為（ ）
A. 4B. 5C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由輔助角公式可得，然后結(jié)合條件代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，其中，
且，函數(shù)在區(qū)間恰有兩個零點，
則，即，
所以.
故選：A
9. 已知雙曲線的一條漸近線l與橢圓交于A，B兩點，若，（是橢圓的兩個焦點），則E的離心率為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意求出雙曲線的漸近線，則可得，由已知條件可得四邊形為矩形，則，，再根據(jù)橢圓的定義列方程化簡可求出離心率.
【詳解】由已知，則雙曲線的一條漸近線，即，
又，即，且四邊形為矩形，
所以，則，
又根據(jù)橢圓定義可知，
所以離心率．
故選：A
10. 已知拋物線，弦過其焦點，分別過弦的端點的兩條切線交于點，點到直線距離的最小值是（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，設(shè)出過點過處的切線方程與拋物線聯(lián)立，由，得出其斜率，化簡點過處的切線方程，同理得出點過處的切線方程,根據(jù)題意得出點的坐標(biāo)，結(jié)合點到直線的距離公式可得出答案.
【詳解】設(shè)，設(shè)過處的切線方程是，
聯(lián)立，得，
由題意，即，
則在處的切線方程為，
同理，處的切線方程為，
設(shè)交點的坐標(biāo)為，點在兩條切線上，
所以，，則直線的方程是.
又過其焦點，易知交點的軌跡是，所以，：，所以交點到直線的距離是，
所以當(dāng)時距離最小值為2.
故選：D
11. 在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系以及三角恒等變換化簡，可得，再利用正弦定理角化邊可得，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)推出，即可得答案.
【詳解】由題意知，
故，
則
，
故，即
又，則，
由于，故，即
∴，
故選：A．
12. 已知函數(shù)，若，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用函數(shù)奇偶性的定義與導(dǎo)數(shù)判斷的奇偶性與單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得，從而得解.
【詳解】因為的定義域為，
又，
所以是偶函數(shù)，
又，
令，則恒成立，
所以當(dāng)時，，即，
又在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，
構(gòu)造函數(shù)，則，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，又，
所以，所以，
所以，所以.
故選：B.
第II卷（非選擇題，共90分）
二?填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）
13. 已知滿足線性約束條件，若，則的最大值為__________.
【答案】3
【解析】
【分析】首先畫出可行域，再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】如圖，畫出不等式組表示的可行域，再令，畫出初始目標(biāo)函數(shù)，
當(dāng)初始目標(biāo)函數(shù)平移至點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，
聯(lián)立，得，即，則.

故答案為：3
14. 若命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，推得，為真命題，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)值域的范圍，即可求解．
【詳解】命題“，”為假命題，
則，為真命題，又
則，
故實數(shù)的取值范圍為．
故答案為：．
15. 已知圓，圓，直線．若直線與圓交于兩點，與圓交于兩點，分別為的中點，則________．
【答案】
【解析】
【分析】利用點到直線的距離公式，以及兩點之間的距離公式，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓的半徑為，由題可得：，
故，滿足，故兩圓相交，
連接，過作，垂足為，如下圖所示：
由點到直線的距離公式可得，，
則，又，
在直角三角形中，
由勾股定理可得.
故答案為：.
16. 已知長方體中，側(cè)面的面積為2，若在棱上存在一點，使得為等邊三角形，則四棱錐外接球表面積的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)幾何體的特征，確定四棱錐外接球的球心，結(jié)合長度和幾何關(guān)系，基本不等式確定半徑的最小值，即可求解.
【詳解】如圖，由對稱性可知，點是的中點，設(shè)，則，，點是的中點，

由底面矩形的對角線的交點作底面的垂線，過等邊三角形的中心作平面的垂線，兩條垂線交于點，點是四棱錐外接球的球心，
，，則，
當(dāng)，即時，等號成立，則的最小值為,
所以四棱錐外接球表面積的最小值為.
故答案為：
三?解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
17. 2023年12月25日，由科技日報社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評選出的2023年國內(nèi)十大科技新聞揭曉．某高校一學(xué)生社團隨機調(diào)查了本校100名學(xué)生對這十大科技的了解情況，按照性別和了解情況分組，得到如下列聯(lián)表：
（1）判斷是否有95%的把握認(rèn)為對這十大科技的了解存在性別差異；
（2）若把這100名學(xué)生按照性別進(jìn)行分層隨機抽樣，從中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，則這2人中至少有1人為女生的概率．
附：
①，其中；
②當(dāng)時有95%的把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián)．
【答案】（1）沒有95%的把握認(rèn)為對這十大科技的了解存在性別差異
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，代入公式求，再與臨界值比較大小，即可判斷；
（2）首先將抽到的學(xué)生編號，再采用列舉的方法，代入古典概型概率公式，即可求解.
【小問1詳解】
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，
所以沒有95%的把握認(rèn)為對這十大科技的了解存在性別差異
【小問2詳解】
這100名學(xué)生中男生60人，女生40人，按照性別進(jìn)行分層隨機抽樣，從中抽取5人，則抽取的男生有3人，女生有2人，
設(shè)男生為，，；女生為，．
則從這5人中選出2人的組合有，，，，，，，，，共10種，
其中至少有1人為女生的組合有，，，，，，共7種，
故所求概率為.
18. 已知數(shù)列的首項，且滿足.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n.
【答案】（1）證明見解析
（2）2023
【解析】
【分析】（1）對遞推式兩邊取倒數(shù)得，變形為，然后根據(jù)等比數(shù)列定義證明即可；
（2）由（1）可得，利用分組求和思想求和后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求解.
【小問1詳解】
，，
可得，
又由，所以，則數(shù)列表示首項為，公比為的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）可得，所以.
設(shè)數(shù)列的前n項和為，
則
，
若，即，因為函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以滿足的最大整數(shù)n的值為2023.
19. 在邊長為a的正方形中，E，F(xiàn)分別為，的中點，M、N分別為、的中點，現(xiàn)沿、、折疊，使B、C、D三點重合，構(gòu)成一個三棱錐，如圖所示．

（1）在三棱錐中，求證：；
（2）求四棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用線線垂直可得線面垂直；
（2）根據(jù)題意得到，通過計算即可.
【小問1詳解】
在三棱錐中，
因為，，，面,
所以面．又平面，
所以；
【小問2詳解】
因為在中，M、N分別為、的中點，
所以四邊形的面積是面積的．
又三棱錐與四棱錐的高相等，
所以，四棱錐的體積是三棱錐的體積的，
因為，所以．
因為．
所以，
故四棱錐的體積為．
20. 已知函數(shù).
（1）若，求的極小值；
（2）若對任意和，不等式恒成立，求的最大值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極小值的定義求出即可；
（2）參變分離后，利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可求得的取值范圍,繼而求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
所以，
易知在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
所以在處取得極小值.
【小問2詳解】
因為，
所以恒成立等價于恒成立.
設(shè)，則，
易知在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在內(nèi)存在唯一零點，
即，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
所以.
結(jié)合式，可知：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
即當(dāng)時，的最小值為2，
要使恒成立，須，
即的最大值為2.
【點睛】結(jié)論點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
21. 如圖，已知曲線是以原點O為中心、為焦點的橢圓的一部分，曲線是以原點O為中心，為焦點的雙曲線的一部分，A是曲線和曲線的交點，且為鈍角，我們把曲線和曲線合成的曲線C稱為“月蝕圓”．設(shè).

（1）求曲線和所在的橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點作一條與x軸不垂直的直線，與“月蝕圓”依次交于B，C，D，E四點，記G為CD的中點，H為BE的中點．問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.
【答案】（1）橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）是定值，為，理由見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)在曲線上、焦點坐標(biāo)可得答案；
（2）設(shè)直線的方程為，，直線的方程與橢圓方程、雙曲線方程分別聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出、，由轉(zhuǎn)化為化簡可得答案.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因為，
所以可得，，
解得，，
所以橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
是定值，為，理由如下，
由（1）橢圓所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線所在的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因為直線與“月蝕圓”依次交于B，C，D，E四點，所以直線的斜率不為0，
設(shè)直線的方程為，，
雙曲線的漸近線方程為，所以，
可得，，
直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，整理得
，
所以，
所以，
直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，整理得
，
所以，
所以，
所以
，
所以是定值.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問解題的關(guān)鍵點是由轉(zhuǎn)化為，再利用韋達(dá)定理.
請考生在22?23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.
（1）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若A，B為直線l上距離為2的兩動點，點P為曲線C上的動點，求面積的最大值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由平方關(guān)系消元后可得曲線C的普通方程，由公式可得直線的直角坐標(biāo)方程；
（2）用曲線C的參數(shù)方程表示出曲線C上點的坐標(biāo)，求點到直線的距離，利用三角函數(shù)性質(zhì)得最大值，然后可得面積最大值.
【小問1詳解】
由（為參數(shù)）得，
即曲線的普通方程為.
由得，
則直線的直角坐標(biāo)方程為，即.
【小問2詳解】
設(shè)曲線任一點，
則點到直線的距離
（），
∴當(dāng)時，，
∴面積的最大值為.
[選修：不等式選講]
23. 已知.
（1）求不等式的解集；
（2）令的最小值為，若正數(shù)滿足，證明：.
【答案】（1）；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）分類討論去掉絕對值號，即可得不等式的解；
（2）由（1）可得最小值，再由均值不等式及“1”的變形即可證明.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)，得；
當(dāng)時，，可得.
綜上所述，的解集為.
【小問2詳解】
由（1）知，當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
則的最小值為2，即.
故，
，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，所?不太了解
比較了解
合計
男生
20
40
60
女生
20
20
40
合計
40
60
100