1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為集合，，
則.
故選：C.
2. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題，，則．
故選：A.
3. 已知向量，，滿足，，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，可知，且，
則，，又，
則，則，則，
則
故選：.
4. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解法一：由可得，
則
所以
，
故．
解法二：由可得，即，
所以，
則．
解法三：由，可假設(shè)，，則，，
所以或或．
故選：A.
5. 設(shè)集合，若，，且，，則（ ）
A. B. ，
C. D. ，
【答案】D
【解析】由，，則，，
則
又實數(shù)，，所以，即，A選項錯誤；
當，，此時，B選項錯誤；
由A選項知，，故當時，，C選項錯誤；
D選項：1.當為奇數(shù)，為奇數(shù)時，為偶數(shù)．又，因為為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．
2.當，為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)，則必為偶數(shù)．又，且為奇數(shù)，所以必為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾．故，不可能都為整數(shù)，即，，選項D正確．
故選：D.
6. 已知函數(shù)定義域為，且滿足恒成立，若，則的值可能是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】為便于討論，我們先使成立，那么滿足及
在處單調(diào)遞減的函數(shù)即為可能的，
可以先作出、及的圖象觀察，
其中和無法滿足所有條件，滿足條件．
進一步的，可以發(fā)現(xiàn)，在上的單調(diào)區(qū)間個數(shù)即為的值，
相鄰單調(diào)區(qū)間的單調(diào)性相反，且滿足的首個單調(diào)區(qū)間和
最后一個單調(diào)區(qū)間均為單調(diào)遞增區(qū)間，位于單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)．
故時，圖象如下：
顯然不滿足，
時，圖象如下：
滿足要求，
時，圖象如下：
顯然，不滿足要求，
時，如圖如下：
顯然不滿足要求，
故選：B
7. 已知橢圓，直線恒過定點，且與交于，兩點，，則取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】定點為，聯(lián)立，
得，
解得，，
且，則，
則
，
設(shè)，則，
所以，
當且僅當時，取等號，此時取最大值，
當或者時，取最小值2（取不到），
令，則，令，
由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當時，或（舍去），當時，，
故．
故選：D
8. 已知函數(shù)的定義域為，，且，，則下列結(jié)論中一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題，，設(shè)，，
則，，，，，
所以函數(shù)的周期為6，
故，，，．
由，則，即，
由，則，即，
所以，可得無法確定．
所以，無法判斷．
綜上所述，．
故選：B.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.
9. 近日，國家發(fā)展改革委等部門聯(lián)合印發(fā)《完善碳排放統(tǒng)計核算體系工作方案》，指出要在2025年全面建立碳排放年報、快報制度，完善碳排放統(tǒng)計核算體系．專家在甲、乙、丙、丁四地2024年第4季度的周快報數(shù)據(jù)中隨機抽取7周數(shù)據(jù)進行分析，整理出四地這7周各周內(nèi)碳排放量超過的天數(shù)的數(shù)據(jù)特征：
根據(jù)規(guī)定，若這7周中每周內(nèi)碳排放量超過的天數(shù)都不多于5天，則可稱該地區(qū)為低碳生態(tài)區(qū)．分析數(shù)據(jù)，四個地區(qū)中能判定為低碳生態(tài)區(qū)的是（ ）
A. 甲地B. 乙地C. 丙地D. 丁地
【答案】BD
【解析】將四地這7周各周內(nèi)碳排放量超過的天數(shù)由小到大依次記為，，，，，，，分別對應(yīng)第周．
對于甲地，由題可知（中位數(shù)），則可做表：
眾數(shù)為二，可使，，顯然可以是6或7，
此時第周內(nèi)碳排放量超過的天數(shù)都多于5天，故無法判定甲地為低碳生態(tài)區(qū)；
對于乙地，由題可知（中位數(shù)），則可做表：
我們可以使，，，，盡可能小，
通過判斷是否有可能來判斷乙地是否能被判定為低碳生態(tài)區(qū)．
則，，可計算均值，化簡得，
滿足7周中每周內(nèi)碳排放量超過的天數(shù)都不多于5天，因此可以判定乙地為低碳生態(tài)區(qū)；
對于丙地，根據(jù)題意，我們無法直接判斷對應(yīng)的值，
但類似的，我們可以使，，，，，的和盡可能小，
通過判斷是否有可能來判斷丙地是否能被判定為低碳生態(tài)區(qū)．
則可以使，，，，，可做表：
均值，解得，
即此時第周內(nèi)碳排放量超過的天數(shù)都多于5天，故無法判定丙地為低碳生態(tài)區(qū)；
對于乙地，假設(shè)，則方差，不合題意，
故，即滿足7周中每周內(nèi)碳排放量超過的天數(shù)都不多于5天，
因此可以判定丁地為低碳生態(tài)區(qū)；
綜上所述，四地中能判定為低碳生態(tài)區(qū)的是乙地和丁地．
故選：BD
10. 如圖，為平面與平面的交線，點在平面上，點在平面上．以為原點建立空間直角坐標系，軸已經(jīng)給出，平面的兩個法向量，，平面的兩個法向量，，則二面角為（ ）

A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】根據(jù)題意作圖：

設(shè)二面角為，
則根據(jù)二面角定義可知，，
，，.
故選：BC.
11. 自元朝以來，穹頂便廣泛應(yīng)用于中國建筑中．作為“北京十六景”之一的地標性建筑，國家大劇院也采納了穹頂設(shè)計，如圖．初步設(shè)計穹頂建模的步驟大致為：（I）將半徑為1的圓（圓心為）沿直徑分為兩部分，得到半圓弧；（II）保留其中一個半圓弧，將其等分，從端點出發(fā)依次連接各個等分點至另一個端點，得到折線；（III）將折線繞所在直線旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)體；（IV）不斷調(diào)整值至合適，選取需要的旋轉(zhuǎn)體部分并進行再調(diào)整．設(shè)（III）中所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為，的正弦值為，則（ ）
A. B.
C. 當時，D.
【答案】ACD
【解析】由題意可知，所得旋轉(zhuǎn)體由上下兩圓錐與中間若干圓臺組成．
以為例，分析“初步設(shè)計穹頂建模的步驟”：
取的中點，則，由題意可知，．
在中，，
則各圓錐與圓臺的母線長，
連接，同理可得，，．
設(shè)自上而下各底面圓半徑依次為，
則，同理可得，，
所以，
故所得旋轉(zhuǎn)體的表面積
,
所以，，故B錯誤；
顯然隨著增大，減小，且當，，
又，
所以，又，，
化簡得，故A正確；
當，，，要判斷是否成立，
即判斷否成立，
該式可化為，
進一步變形為，
顯然，，，
令，則，
令，則，
所以在上恒成立，
即在上單調(diào)遞減．
又，所以在上恒成立，
故在上單調(diào)遞減．
又，所以，
即，所以,故C正確；
．
令，則．
令，則恒成立，所以為增函數(shù)，
又，所以在恒成立，即在成立．
因此，因此，故D正確．
故選：ACD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.將答案填在答題卡的相應(yīng)位置.
12. 若曲線與曲線相切，則________．
【答案】e
【解析】因為與曲線，設(shè)切點為，
其中，，
由與相切，則，
故，解得，．
故答案為：
13. 一個四面體有五條棱的棱長為，且外接球的表面積為，則不同于這五條棱的棱的棱長為________．
【答案】
【解析】設(shè)，則和都是正三角形．
取的中點，連接、，?。拷c）的三等分點，
則點為的外心，過點作的垂線交于點，
因為和都是正三角形，為的中點，則，，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，則，
因為，，、平面，所以，平面，
如圖，則，
取中點，連接交于點，連接，則，
如圖，則點即為三棱錐外接球的圓心，是外接球的半徑．
設(shè)外接球的半徑為，則，可得，
所以，，，，
所以，
，故，
又因為，所以，
故，即不同于五條棱的棱的棱長為．
故答案為：.
14. 在如圖斜方格陣中，一機器人從中心方格出發(fā)，每次運動可以跨越機器人所在方格的一條邊（如第1次運動，機器人可以運動到，，或）．若機器人走出斜方格陣視為“失敗”，反之視為“成功”，則運動2025次后機器人“成功”的概率為________．
【答案】
【解析】如圖，斜方格具有對稱性，因而若機器人運動過程不走出斜方格陣，只需考慮機器人位于斜方格陣中的①、②、③處位置即可，設(shè)2025次后機器人在處的概率為，在①處的概率為，在②處的概率為，在③處的概率為．
則，，，．
將，，代入到中，得，
又由題意得，，則，
所以，則，，，
所以概率．
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 在中，點在邊上，平分，設(shè)，．
（1）若，，證明：；
（2）若，求的取值范圍．
解：（1）方法1:因為，平分，所以，，
又，所以，由正弦定理可得，所以，
又，所以，所以，所以，
且，所以，則，
所以．
方法2：因為，平分，所以，，
又，由余弦定理得，
則，所以，即，且，
則，故．
（2）因為，
所以，
因為，，
所以，
因為，所以，所以，
因為，所以，故．
16. 已知，是焦點在軸的雙曲線上兩點，，為的左、右焦點，，是以為底邊的等腰三角形．
（1）求的離心率；
（2）設(shè)過且與的左、右兩支均相交的直線斜率為，證明：．
解：（1）設(shè)雙曲線，焦距為，延長與雙曲線交于點，
因為，根據(jù)對稱性知，四邊形為平行四邊形，
設(shè)，則，，可得，即，
所以，則，，
即，所以，
在中，由勾股定理得，
即，解得離心率．
（3）解法一：設(shè)過且與的左、右兩支均相交的直線為，
顯然當?shù)男甭什淮嬖跁r，直線僅與雙曲線的右支相交，不滿足題意．
故可設(shè)直線的方程為，
由雙曲線的方程可得其漸近線方程為，
由雙曲線性質(zhì)可知，若直線與雙曲線的左、右兩支都相交，則，
整理得，又，所以，
由（1）知，所以，且，所以．
解法二：設(shè)過且與的左、右兩支均相交的直線為，
顯然當?shù)男甭什淮嬖跁r，直線僅與雙曲線的右支相交，不滿足題意．
故可設(shè)直線的方程為，設(shè)與交于，，
聯(lián)立方程，化簡得，
由韋達定理得，
要使與的左、右兩支均相交，即使兩交點位于軸異側(cè)，
故，即，且，恒成立，
故，整理得，又，所以，
由（1）知，，且，所以．
17. 在平面四邊形中，，，，的面積為，將沿翻折至，其中為動點．
（1）證明：三棱錐外接球的體積為定值；
（2）當點到平面的距離為，求直線與直線所成角的余弦值．
（1）證明：由題，，則，
在內(nèi)，由正弦定理得，解得，
又，解得，
故為正三角形，，，
解三角形知，，，
取中點，由于和是以為斜邊的直角三角形，
故，即翻折后在三棱錐中，，
根據(jù)外接球定義：外接球的球心到多面體各個頂點的距離相等，
所以點即為三棱錐外接球球心，
所以外接球半徑，體積為定值．
（2）解：顯然點在面上的投影不在直線上，
（i）當向上翻折
設(shè)點在面上的投影為點，則，
且面，又，，面，則，，，
所以，，
則，
又，所以，
則，所以，
同理可知，
所以，解得，
因為，，，
所以，故．
所以四面體為正四面體，點在平面的投影位于正的中心．
以為原點，為軸，為軸，軸平行于直線建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，
所以，，
故；
（ii）當向下翻折，設(shè)此時點翻折至，
則平面所在平面與（i）中平面所在平面相同，
且點與點關(guān)于直線對稱，
連接，與的交點為線段中點，
所以，
故，
綜上所述，直線與直線所成角的余弦值為或．
18. 已知函數(shù)．
（1）求；
（2）若曲線在區(qū)間上存在兩條相互垂直的切線，求取值范圍；
（3）設(shè)軸右側(cè)有一點，若當且僅當過點恰好能作曲線的3條切線，求點的集合．
解：（1）由函數(shù)，
則，
又，則．
（2）由，令，
則，
設(shè)這兩條相互垂直的切線的切點為，，且，
當，在區(qū)間上恒成立，不符合題意，所以；
此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
解得．
（3）由，得，
則在點處的切線方程為，
設(shè)過點恰好能作曲線的3條切線，
則關(guān)于的方程有三個不同的解，
即關(guān)于的方程有三個不同的解，
令，
所以直線與曲線恰有三個不同的交點，
又，
當時，，隨變化情況如下：
故；
當時，，單調(diào)遞減，不符合題意；
當時，，隨變化情況如下：
故；
綜上所述，點的集合為
．
19. 已知正項數(shù)列滿足．
（1）若，求；
（2）若，求的通項公式；
（3）記為數(shù)列的前項和，若，證明：．
（1）解：由題，，且，又，代入，解得，
所以，，，故．
（2）解：令，則有，即，又，則，
此時不妨令，則，則有，即
討論周期性對唯一性的影響：不妨令，則
當時，，不合題意，舍去；
當時，符合題意；此時，
同理，唯一，即唯一．即，故．
（3）證明：由若，且，則，
聯(lián)立解得，
原不等式可轉(zhuǎn)化為，
先證明：
由，，由（2）可推，則，
令函數(shù)，則，
令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以在上有，
所以在上單調(diào)遞增，又，則，
所以，則，
故
，
又因為，所以，
證明：
由，則，當且僅當時取等，
所以，故，
所以．地區(qū)
甲
乙
丙
丁
數(shù)據(jù)特征
中位數(shù)
3
中位數(shù)
1
均值
3
均值
2
眾數(shù)
2
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