全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.
3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將集合化簡(jiǎn)，再由交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因，即，解得，
所以，則，
故選：C.
2. 若，則（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先利用，化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求，再求出，最后利用復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算即可.
【詳解】因，，則，
則，.
故選：D.
3. 設(shè)，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系求解即可.
詳解】，所以，
解得或（舍），
故選：B.
4. 若向量，向量滿足，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由條件可得，再由投影向量的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由可得，即，
且在上的投影向量為
故選：C
5. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)對(duì)立事件概率公式求出，進(jìn)一步由條件概率公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>.
故選：A.
6. 已知圓臺(tái)上、下底面半徑分別為，，高為，且，當(dāng)圓臺(tái)的體積最大時(shí)，圓臺(tái)的母線與底面所成角的正切值為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用圓臺(tái)的體積公式求出，再利用進(jìn)行消元，得到關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)求其單調(diào)性即可求出，的值，最后結(jié)合圖形求其正切值.
【詳解】因，則，
因，得，
令，則，
則得；得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，
故圓臺(tái)母線與底面所成角的正切值為.
故選：D.
7. 已知函數(shù)（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)），則關(guān)于的方程的所有實(shí)數(shù)根之和為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】已知可將方程轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的定義可得，即，解不等式，再分別判斷個(gè)區(qū)間內(nèi)解的情況.
【詳解】，即，
因?yàn)?，所以可得，解得?br>當(dāng)時(shí)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，即，解得，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，即，解得，滿足題意，所有實(shí)數(shù)根之和為，
故選：A.
8. 記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值不可能為（ ）
A. 96B. 98C. 100D. 102
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)和的關(guān)系分析及特例求解判斷即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，則，
即，所以，
時(shí)取等，故D錯(cuò)誤；
若，，且，，，
此時(shí)；
若，，且，，，
此時(shí).
故A，B，C正確.
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)和，則（ ）
A. 和的最小正周期相同
B. 和在區(qū)間上的單調(diào)性相同
C. 的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象
D. 和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，周期性及函數(shù)的平移變換分別判斷個(gè)選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A：和的最小正周期均為，選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C：的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得函數(shù)為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
10. 已知為拋物線：的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則（ ）
A.
B. 若直線的斜率為1，則以線段為直徑的圓截軸所得的弦長(zhǎng)為10
C. 若，則
D. 的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，消元可表達(dá)兩根和與積，設(shè)出點(diǎn)，表達(dá)向量的數(shù)量積即可判斷選項(xiàng)A；斜率已知，則弦長(zhǎng)和中點(diǎn)坐標(biāo)可表達(dá)；圓的方程已知，求弦長(zhǎng)可判斷B；，則A為P與B的中點(diǎn)，結(jié)合拋物線定義可判斷C；求角正切值的最值，考慮引入?yún)?shù)，用不等式的方法求解.
【詳解】設(shè)直線：，，，其中，
∴，整理得，則，
，A正確；
直線的斜率為1，則此時(shí)，，
∴，
設(shè)為中點(diǎn)，
又，
易知，所以以為直徑圓截軸所得弦長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；
過(guò)A，分別作的垂線，垂足分別為，，因?yàn)?，則A為P與B的中點(diǎn)，所以，由拋物線的定義可知，，C選項(xiàng)正確；
設(shè)與軸交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以不妨設(shè)，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D選項(xiàng)正確.
故選：.
11. 設(shè)，函數(shù)，則（ ）
A. 有兩個(gè)極值點(diǎn)
B. 若，則當(dāng)時(shí)，
C. 若有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是
D. 若存在，滿足，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分類求解含參函數(shù)的單調(diào)性，判斷選項(xiàng)A，結(jié)合選項(xiàng)A中單調(diào)性即可直接判斷選項(xiàng)BC，根據(jù)等量關(guān)系直接求解，即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，得或，，得，
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，
由上述知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，若有個(gè)零點(diǎn)，
則由單調(diào)性可知必然有，解得.
而當(dāng)時(shí)，，，
在區(qū)間，，中分別各有一個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，
等價(jià)于或，，故D選項(xiàng)正確.
故選：BCD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知雙曲線：的漸近線方程為，則的焦距為_(kāi)_____.
【答案】5
【解析】
【分析】通過(guò)題意寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)漸近線方程列出等式求出，寫出方程求出焦距即可.
【詳解】易知，，，得出和，
因?yàn)闈u近線方程為，故，解得，
所以，所以的焦距為.
故答案為：5.
13. 設(shè)函數(shù)，，若曲線與恰有個(gè)公共點(diǎn)，則______.
【答案】1
【解析】
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)奇偶性及交點(diǎn)個(gè)數(shù)可知，解方程，分別驗(yàn)證即可.
【詳解】易知與均為偶函數(shù)，
若曲線與恰有個(gè)公共點(diǎn)，則，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，值域?yàn)椋?br>由，所以此時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符題意；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
設(shè)，
則，記
則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以存在，使，
且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
即存在，使，又，
所以函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn)，
即曲線與在有一個(gè)公共點(diǎn)，
綜上所述曲線與共有個(gè)公共點(diǎn)，符合題意，
故答案為：.
14. 已知正三棱錐的各頂點(diǎn)均在半徑為1的球的球面上，則正三棱錐內(nèi)切球半徑的最大值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用正三棱錐外接球半徑，結(jié)合“正三棱錐體積正三棱錐表面積正三棱錐內(nèi)切球半徑”，可求內(nèi)切球半徑的表達(dá)式，再結(jié)合三角換元的方法可求內(nèi)切球半徑的最大值.
【詳解】設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)，到平面的距離為，
所以，，
所以，，，
所以
，
不妨設(shè)，，所以，所以，
設(shè)，，
所以，
所以內(nèi)切球半徑的最大值為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.
15. 某研究小組為了解青少年的身高與體重的關(guān)系，隨機(jī)從15歲人群中選取了9人，測(cè)得他們的身高（單位：cm）和體重（單位：kg），得到如下數(shù)據(jù)：
（1）若兩組變量間的樣本相關(guān)系數(shù)滿足，則稱其為高度相關(guān)，試判斷青少年身高與體重是否高度相關(guān)，說(shuō)明理由（精確到0.01）；
（2）建立關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)某同學(xué)身高為時(shí)，體重的估計(jì)值（保留整數(shù)）.
參考數(shù)據(jù)：，，，，.
參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為：，.
【答案】（1）相關(guān)，理由見(jiàn)解析
（2），身高為的某同學(xué)，體重大概為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由相關(guān)系數(shù)的公式代入計(jì)算，即可判斷；
（2）根據(jù)題意，由最小二乘法公式代入計(jì)算，分別求得，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
.
因?yàn)椋ɑ颍?br>所以，即身高與體重間是高度相關(guān)的；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以體重關(guān)于身高的回歸方程為，
所以當(dāng)時(shí)，.
即某同學(xué)身高為時(shí)，體重大概為.
16. 設(shè)函數(shù).
（1）若是增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若，為的兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)后根據(jù)增函數(shù)列出不等式求解即得；
（2）由（1）以及有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得，且，，化簡(jiǎn)并代入即可求得的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由，求導(dǎo)得，
若是增函數(shù)，即，
所以恒成立，
因?yàn)?，則有，
解得，即的取值范圍是；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，
根據(jù)韋達(dá)定理得出，，
所以，
因?yàn)椋裕?br>所以的取值范圍是.
17. 如圖，在正四棱錐中，，，，分別為，的中點(diǎn).
（1）證明：平面平面；
（2）若點(diǎn)在棱上，當(dāng)直線與平面所成角取最大值時(shí)，求.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）連接，可得，證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明；
（2）以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，妨設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量和的坐標(biāo)，利用夾角公式求解.
【小問(wèn)1詳解】
連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接.
∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，
在正四棱錐中，平面，
又∵平面，∴，
又底面為正方形，∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∴平面，
∵平面，∴平面平面.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）以及題意可知，在中，，.
在中，，，∴.
又∵，，，
∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，，，，
則，，，.
∵在棱上，∴不妨設(shè)，
則，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，
令，則，，則.
設(shè)與平面所成的角為，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
∴當(dāng)與平面所成角取得最大值時(shí)，.
18. 已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)（在線段上），當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，.
（1）求的方程；
（2）求面積的最大值；
（3）過(guò)且與軸平行的直線與直線交于點(diǎn)，證明：線段的中點(diǎn)在定直線上.
【答案】（1）
（2）
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，代入計(jì)算，然后表示出三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與直線，表示出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后表示出中點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以的方程為；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)直線：，，，易知
由可得，，，，
，解得，
面積是與的面積之差，
所以的面積
設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，
所以面積的最大值為；
【小問(wèn)3詳解】
直線：，
由，解得，
所以線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
所以，
所以線段的中點(diǎn)在直線上.
19. 已知數(shù)列滿足，且.
（1）若，求滿足條件的的值；
（2）設(shè)集合，
（ⅰ）若，證明：，，成等比數(shù)列；
（ⅱ）若（其中），且，求的最大值.
【答案】（1）3 （2）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）由題意可得：或，結(jié)合的值分析求解即可；
（2）（i）由題可知，分析可知，，即可得結(jié)果；（ⅱ）由題意可知：或，根據(jù)題意結(jié)合累積法分析可知，進(jìn)而分析最值即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可知：或，
且，
若，則或，顯然不合題意；
若，則，符合題意；
所以.
【小問(wèn)2詳解】
（?。┯深}知，當(dāng)時(shí)，，
若，則與且矛盾，
所以，所以，
若，則與且矛盾，
所以，同理可得，
所以成公比為的等比數(shù)列；
（ⅱ）由
可推得，或，
對(duì)于任意正整數(shù)，
可得，
即，
所以，所以，
由題知，所以，，，
所以，，，
若，則與且矛盾，所以，
因?yàn)榍?，所以且，所以?br>因?yàn)?，，所以?br>又，，，
所以為正奇數(shù)，
所以，
同理，，，
所以，
當(dāng)為，，1，，0，，，0，，，0，，時(shí)，符合題意，
所以的最大值為.樣本號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
均值
身高
165
157
156
173
163
159
177
161
165
164
體重
53
46
48
56
57
49
60
45
54
52

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