命題單位：黃岡市教科院 審題單位：宜昌市教科院
2025.4
本試卷共 4 頁，19 題，全卷滿分 150 分.考試用時(shí) 120 分鐘.
★祝考試順利★
注意事項(xiàng)：
1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答
題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試
卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答
題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是
符合題目要求的.
1. 已知集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根據(jù)一元二次不等式化簡(jiǎn)集合 A，進(jìn)而求交集.
【詳解】由題意可得：集合 ，
且 ，所以 .
故選：C.
2. 已知復(fù)數(shù) 滿足 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
第 1頁/共 20頁
【解析】
【分析】設(shè) ，則 ，代入已知條件，利用復(fù)數(shù)相等的條件即可求解.
詳解】設(shè) ，則 ，
因?yàn)?，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故選：A.
3. 已知函數(shù) ，若 ，則 的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由 ，可得 ，結(jié)合周期分析可求得 最小值.
【詳解】由 ，可得 ，
解得 ，
又函數(shù) 的最小正周期為 ，
故 取的最小值時(shí)， 在同一個(gè)周期內(nèi)，
當(dāng) ， ，此時(shí) ，
當(dāng) ， 時(shí)， ，
所以 的最小值為 .
故選：C.
4. 一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱 ，底面 邊 上的高為 .當(dāng)?shù)酌?水平放置時(shí)
水面高度為 16（如圖①）.當(dāng)側(cè)面 水平放置時(shí)（如圖②），水面高度為（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用水的體積不變計(jì)算可求解.
【詳解】設(shè)底面 的面積為 ，
當(dāng)?shù)酌?水平放置時(shí)水面高度為 16，所以水的體積為 ，
設(shè)側(cè)面 水平放置時(shí)，水呈四棱柱體，設(shè)四棱柱體的底面梯形的面積為 ，
則水的體積為 ，所以 ，所以 ，
設(shè)四棱柱體的底面梯形的高為 ，則可得 ，解得 .
故選：D.
5. 已知向量 ， 滿足 ，且 在 上的投影向量為單位向量，則 （ ）
A. 1 B. C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可得 ，進(jìn)而可得 ，設(shè)設(shè) ， ，計(jì)算
可求 .
【詳解】因?yàn)?在 上的投影向量為單位向量，所以 ，
第 3頁/共 20頁
所以 ，所以 ，
設(shè) ， ，可得 ，
兩邊平方得 ，所以 ，
令 ，則 ，解得 或 ，
當(dāng) 時(shí)，這時(shí) ，此時(shí) ，此時(shí) ，不符合題意，
當(dāng) 時(shí)，即 ，
此時(shí) .
故選：D.
6. 已知 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為雙曲線 ： 的右焦點(diǎn)， ， 為 的左右頂點(diǎn)，M
為 C 上一點(diǎn)， 軸，過 的直線分別交 y 軸和線段 于 H，N 兩點(diǎn)，直線 交 y 軸于 G 點(diǎn)，且
，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè) ，可得 ，利用相似三角形建立關(guān)系求得 ，進(jìn)而得到 ，得
解.
【詳解】如圖，設(shè) ，由 ，得 ，
由 ，可得 ，即 ，則 ，
又 ，得 ，即 ，
，即 ，解得 ，
第 4頁/共 20頁
，即 ，
所以雙曲線的漸近線方程為 .
故選：B.
7. 已知函數(shù) ，若 ，則 的最小值為（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可得 ，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得 ，進(jìn)而可求 的最小值.
【詳解】函數(shù) 的定義域?yàn)?，
可得函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
又 ，
由 ，得 ，
因?yàn)楹瘮?shù) 在 上單調(diào)遞增，所以 ，所以 ，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
所以 的最小值為 .
故選：B.
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8. 如圖，半徑為 1 的 與半徑為 2 的 內(nèi)切于點(diǎn) A， 沿 的圓弧無滑動(dòng)的滾動(dòng)一周.若 上
一定點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)隨著 的滾動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P 的軌跡為 C，則（ ）
A. C 是半徑為 的圓 B. C 是半徑為 1 的圓
C. C 是長(zhǎng)度為 2 的線段 D. C 是長(zhǎng)度為 4 的線段
【答案】D
【解析】
【分析】作圓 運(yùn)動(dòng)后的某圓 ，設(shè)此時(shí)與圓 相切于 點(diǎn)，點(diǎn) 從 運(yùn)動(dòng)到 ，通過題設(shè)運(yùn)動(dòng)中的等
量關(guān)系結(jié)合弧長(zhǎng)公式得到 即可得到 的軌跡求解.
【詳解】圓 運(yùn)動(dòng)到 ，設(shè)此時(shí)與圓 相切于 點(diǎn)，點(diǎn) 從 運(yùn)動(dòng)到 ，
易知 ，所以 ，
所以 ，
所以 的軌跡為圓 中過 ， 的直徑，長(zhǎng)度為 4．
故選：D
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合
題目要求，全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 下列命題正確的是（ ）
A. 是一組樣本數(shù)據(jù)，去掉其中的最大數(shù)和最小數(shù)后，剩下 10 個(gè)數(shù)的中位數(shù)小于原樣本的
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中位數(shù)
B. 若事件 A，B 相互獨(dú)立，且 ， ，則事件 A，B 不互斥
C. 若隨機(jī)變量 ， ，則
D. 若隨機(jī)變量 的方差 ，期望 ，則隨機(jī)變量 的期望
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 選項(xiàng)，利用中位數(shù)的定義判斷出 A 錯(cuò)誤；B 選項(xiàng)，計(jì)算出 ，故
， B 正 確 ； C 選 項(xiàng) ， 利 用 正 態(tài) 分 布 的 對(duì) 稱 性 進(jìn) 行 判 斷 ； D 選 項(xiàng) ， 利 用
得到 ，D 正確.
【詳解】A 選項(xiàng)， 從小到大排序，去掉其中的最大數(shù)和最小數(shù)后，
剩下 10 個(gè)數(shù)大小順序不變，故剩下 10 個(gè)數(shù)的中位數(shù)和原來的中位數(shù)一樣，A 錯(cuò)誤；
B 選項(xiàng)，事件 A，B 相互獨(dú)立，且 ， ，
，
所以 ，故事件 A，B 不互斥，B 正確；
C 選項(xiàng)，隨機(jī)變量 ， ，設(shè) ， ，
則 ，
，
根據(jù) 原則，可知 ，C 正確；
D 選項(xiàng)，隨機(jī)變量 的方差 ，期望 ，
其中 ，故 ， ，
故隨機(jī)變量 的期望 ，D 正確.
故選：BCD
10. 已知 a，b，c 分別為 的內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊， ，則下列說法正確
的是（ ）
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A. B. C. D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知結(jié)合二倍角的余弦公式可得 ，利用三角恒等變換可得 ，
可判斷 A；利用三角內(nèi)角和可得 ，結(jié)合兩角和正切公式計(jì)算可判斷 B；分類討論可得
，進(jìn)而 ，進(jìn)而計(jì)算可判斷 CD.
【詳解】由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 A 正確；
因?yàn)?，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，故 B 正確；
因?yàn)?，所以 同號(hào)，
若 ，又 ，此時(shí) ，顯然不符合題意，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故 C 錯(cuò)誤；
由 ，可得 ， ，故 D 正確.
故選：ABD.
11. 已知拋物線 ： 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn) 在拋物線上， ，設(shè)直線
為拋物線 在點(diǎn) 處的切線，過點(diǎn) 作 的垂線交拋物線于另一點(diǎn) ，
若 ，則下列說法正確的是（ ）
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A. B. 直線 的斜率為
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于 A，根據(jù)條件，利用拋物線的定義，即可求解；對(duì)于 B 和 C，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意，求得拋物
線在點(diǎn) 處的切線方程為 ，求得垂線方程，聯(lián)立拋物線方程得到
，再利用過兩點(diǎn)直線的斜率，即可求解；對(duì)于 D，利用 ，得到
，利用累加法得到 ，即可求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng) A，因?yàn)?，解得 ，所以選項(xiàng) A 錯(cuò)誤，
因?yàn)?，即 ，則 ，
所以拋物線在點(diǎn) 處的切線方程為 ，
垂線方程 ，
由 ，消 得到 ，
則 ，得到 ，又 ，
所以選項(xiàng) B 和 C 正確，
對(duì)于選項(xiàng) D，因?yàn)?，
得到 ，所以當(dāng) 時(shí)，
，
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又 ，所以 ，則 ，故選項(xiàng) D 正確，
故選：BCD．
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知 ， ，則 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦差公式將已知條件 展開，結(jié)合 ，求得 ，再利用
正弦二倍角公式，將 展開，代入即可求解.
【詳解】因?yàn)?，而 ，
所以 ，
所以 .
故答案為： .
13. 已知函數(shù) 恰有 2 個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為________.
【答案】
【解析】
【分析】由題可得 有兩個(gè)不同正根 ，利用分離參數(shù)法得到 .令 ，，只需
與 有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究 的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) 的定義域?yàn)?，
由 ，可得 ，
要使函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需 有兩個(gè)不同正根 ，并且 在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，
由 得， ，所以 ，
由題意可知 與 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
第 10頁/共 20頁
令 ，則 ，
所以當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，
所以 ，當(dāng) 時(shí)， ，
作出圖形如圖所示：
由圖象可得實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 .
故答案為： .
14. 甲乙丙三個(gè)班級(jí)共同分配 9 個(gè)三好學(xué)生名額，每班至少 1 個(gè)名額，用 X 表示這三個(gè)班級(jí)中分配的最少名
額數(shù)，則 X 的數(shù)學(xué)期望 _______.
【答案】
【解析】
【分析】由隔板法求得總的情況數(shù)，利用分組分配的思想求得不同取值下情況數(shù)，結(jié)合古典概型寫出分布
列，根據(jù)均值的計(jì)算，可得答案，
【詳解】由題意可得 可能取值為 ，且總的情況數(shù)為 ，
當(dāng) 時(shí)，分組情況有 ， ， ， ，情況數(shù)分別為 ；
當(dāng) 時(shí)，分組情況有 ， ，情況數(shù)分別為 ；
當(dāng) 時(shí)，分組情況有 ，情況數(shù)為 .
則 ， ， ，
可得 的分布列如下：
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所以 .
故答案為： .
四、解答題：共 77 分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知 是無窮正整數(shù)數(shù)列，定義操作 為刪除數(shù)列 中除以 余數(shù)為 的項(xiàng)，剩下的項(xiàng)按原
先后順序不變得到新數(shù)列 .若 ， ，進(jìn)行操作 后剩余項(xiàng)組成新數(shù)列 ，設(shè)數(shù)列
的前 項(xiàng)和為 .
（1）求 ；
（2）設(shè)數(shù)列 滿足 ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知 ，進(jìn)而可得 ，結(jié)合等差數(shù)列求和公式運(yùn)算求
解；
（2）整理可得 ，利用裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.
【小問 1 詳解】
因?yàn)?，可知 （滿足除以 3 余數(shù)為 1），當(dāng) 時(shí)， 為 3 的倍數(shù)，
進(jìn)行操作 ，即刪除 ，剩余 ，
則 ，可得 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
由（1）可知 ，
第 12頁/共 20頁
則 ，
所以數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
16. 設(shè)函數(shù) ， .
（1）當(dāng) ， 時(shí)，討論 的單調(diào)性；
（2）若 ，且 和 （ 為 的導(dǎo)函數(shù)）的零點(diǎn)均在集合 中，求 的極
小值.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)可得 ，分 ， 兩種情況討論可求得 的單調(diào)性；
（2）求導(dǎo)，令 ，可得 或 ，由 ，計(jì)算求解可得 的值，
進(jìn)而可求極小值.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時(shí)， ，
．
當(dāng) 時(shí)， ， 在 上單增，
當(dāng) 時(shí)，令 ， 或 ，
時(shí)， ， 單調(diào)遞增，
時(shí)， ， 單調(diào)遞減，
時(shí)， ， 單調(diào)遞增，
綜上所述：當(dāng) 時(shí)， 在 上單增；
第 13頁/共 20頁
當(dāng) 時(shí)， 在 和 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
【小問 2 詳解】
，令 ，所以 或
令 ， 或 ，又 ，且 ， ， 互不相等，
所以 ，所以
所以 或 或 ．
經(jīng)檢驗(yàn) ， 符合，所以 ，
，令 ， 或 ，
當(dāng) ， ， ， ， ，
所以 時(shí)， 取得極小值 ．
17. 在平面直角坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)，T 分別是橢圓 ： 的左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，過
F 的直線交橢圓 C 于 A，B 兩點(diǎn)，當(dāng) 軸時(shí)， 的面積為 .
（1）求 ；
（2）若斜率為 的直線 交橢圓 C 于 G，H 兩點(diǎn)，N 為以線段 為直徑的圓上一點(diǎn)，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在橢圓方程中，令 ，解得 ，得 ，再根據(jù) 結(jié)合
，求出答案；
（2）設(shè)直線 ： 與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理求得 的中點(diǎn)為 ，利用弦長(zhǎng)公
第 14頁/共 20頁
式求得 ，進(jìn)而得到以 為直徑的圓的半徑 ，由
，三角換元利用三角函數(shù)性質(zhì)求出最大值.
【小問 1 詳解】
依題意有 ，當(dāng) 軸時(shí)，在橢圓方程中，令 ，解得 ，則 ，
，又 ．解得 ， ．
【小問 2 詳解】
設(shè)直線 ： ，設(shè) ， ，
聯(lián)立 ，得 ，
所以 ，所以 .
，所以 的中點(diǎn)為 ，
所以 .
又 的軌跡是以 為圓心，半徑 的圓，
所以 .
令 ， ，
記 ，
第 15頁/共 20頁
又 ，所以 ， 時(shí)， .
18. 如圖，在四棱錐 中， 為矩形，且 ， ，
.
（1）求證： 平面 ；
（2）若 （N 在 S 的左側(cè)），設(shè)三棱錐 體積為 ，四棱錐 體積為 ，且
.
①求點(diǎn) 到平面 的距離；
②求平面 與平面 所成夾角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2） ；
【解析】
分析】（1）由余弦定理得到 ，進(jìn)而得到 即可求證；
（2）建系，通過點(diǎn)到面的距離公式及面面角的夾角公式即可求解.
【小問 1 詳解】
在 中， ， ， ，
所以 ，解得： ，
第 16頁/共 20頁
所以 ，所以 ，
又 ， 為平面 內(nèi)兩條相交直線，
所以 平面 ；
【小問 2 詳解】
（2）由（1）知， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 在平面 內(nèi)，所以平面 平面 ，
在平面 內(nèi)，所以 ，
在三角形 中， ， ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，
又 ，
又 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
取 的中點(diǎn) ， ，可知： ，
因?yàn)槠矫?平面 ，交線為 ，
又在平面 內(nèi)，
所以 平面 ，如圖建立空間直角坐標(biāo)系
易得： ,
所以 ，
設(shè)平面 的法向量為 ，
第 17頁/共 20頁
則 ，
所以 ，
令 ，得 ，即 ，
又 ，
所以求點(diǎn) 到平面 的距離 ，
② ，
設(shè)平面 的法向量 ，
則 ，所以 ，
令 ，則 ，可得： ，
設(shè)平面 與平面 所成夾角為 ，
所以 ，
所以 ，
即平面 與平面 所成夾角的正弦值為 .
19. 一電動(dòng)玩具汽車需放入電池才能啟動(dòng).現(xiàn)抽屜中備有 6 塊規(guī)格相同的電池，其中 3 塊為一次性電池，另
外 3 塊為可反復(fù)使用的充電電池.每次使用時(shí)隨機(jī)取一塊電池，若取出的是一次性電池，則使用后作廢品回
收，若取出的是可充電電池，則使用后充滿電再放回抽屜.
（1）在已知第 2 次取出一次性電池的條件下，求第 1 次取出的是可充電電池的概率；
（2）設(shè) X，Y 是離散型隨機(jī)變量，X 在給定事件 條件下的期望定義為
，其中 為 X 的所有可能取
第 18頁/共 20頁
值的集合， 表示事件“ ”與“ ”均發(fā)生的概率.設(shè) X 表示玩具汽車前 4 次使用中取
出一次性電池的塊數(shù)，Y 表示前 2 次使用中取出可充電電池的塊數(shù)，求 ；
（3）若已用完一塊一次性電池后，記剩下電池再使用 次后，所有一次性電池恰好全部用
完的概率為 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）設(shè)事件 表示第一次取出時(shí)為可充電池，事件 表示第一次取出時(shí)為一次性電池，事件 B 表
示第二次取出時(shí)為一次性電池，求出 和 即可求解；
（2）求出 的可能取值，求出 、 和 即可求解；
（3）分別求出可充電池和一次性電池可使用的數(shù)量，求出 和 ，求出 時(shí) 即可求解.
【小問 1 詳解】
設(shè)事件 表示第一次取出時(shí)為可充電池，事件 表示第一次取出時(shí)為一次性電池，事件 B 表示第二次取出
時(shí)為一次性電池，
則 ， ，
所以 ；
【小問 2 詳解】
由題意， 可能取值為 1，2，3，
， ， ，
所以 ；
【小問 3 詳解】
第 19頁/共 20頁
由題意，現(xiàn)有 3 塊可充電池和 2 塊一次性電池可使用，
經(jīng)分析可得 ， ，
時(shí)，
.
第 20頁/共 20頁

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