一、高考真題匯編的意義。1、增強(qiáng)高考考生的復(fù)習(xí)動(dòng)力和信心；2、提高高考考生的復(fù)習(xí)效率；3、加深考生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握。
二、高考真題匯編的內(nèi)容。1、高考試題收錄，涵蓋了考試的各個(gè)學(xué)科；2、答案解析，加深知識(shí)點(diǎn)理解和掌握；3、復(fù)習(xí)指導(dǎo)，提高復(fù)習(xí)效率。
三、高考真題匯編的重要性。高考真題匯編不僅可以提高考生的復(fù)習(xí)動(dòng)力和信心，增強(qiáng)考生的復(fù)習(xí)效率，為高考復(fù)習(xí)提供了有力的支持。
最近10年（15-24年）高考數(shù)學(xué)真題匯編
專題24 圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）
大題綜合
考點(diǎn)01 第二問求曲線方程
1．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
2．（2020·全國(guó)·高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的離心率；
（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.
3．（2019·全國(guó)·高考真題）已知曲線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為.
（1）證明：直線過定點(diǎn)：
（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求該圓的方程.
4．（2019·天津·高考真題） 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時(shí)與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.
5．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．
（1）求的方程；
（2）求過點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
6．（2017·全國(guó)·高考真題）已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)（2,0）的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.
（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
（2）設(shè)圓M過點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.
7．（2017·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為.
（I）求橢圓的離心率；
（II）設(shè)點(diǎn)在線段上，，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.
（i）求直線的斜率；
（ii）求橢圓的方程.
8．（2015·天津·高考真題）已知橢圓的上頂點(diǎn)為 B,左焦點(diǎn)為,離心率為 ,
（Ⅰ）求直線BF的斜率;
（Ⅱ）設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P（P異于點(diǎn)B）,過點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn)Q（Q異于點(diǎn)B）直線PQ與y軸交于點(diǎn) M,.
（?。┣蟮闹?
（ⅱ）若,求橢圓的方程.
9．（2015·安徽·高考真題）設(shè)橢圓E的方程為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為
，點(diǎn)M在線段AB上，滿足 ，直線OM的斜率為.
（Ⅰ）求E的離心率e；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，求E的方程.
考點(diǎn)02 求軌跡方程
1．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．
2．（2021·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
3．（2019·全國(guó)·高考真題）
已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.
（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.
（i）證明：是直角三角形；
（ii）求面積的最大值.
4．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F.
5．（2015·湖北·高考真題）一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（不動(dòng)時(shí)，也不動(dòng)），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．

（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．
考點(diǎn)03 求直線方程
1．（2024·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).
(1)求C的離心率;
(2)若過P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．
2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
3．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
4．（2021·天津·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，過與垂直的直線交軸于點(diǎn)．若，求直線的方程．
5．（2020·天津·高考真題）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．求直線的方程．
6．（2018·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C過點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為．
（1）求橢圓C及圓O的方程；
（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P．
①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)．若的面積為，求直線l的方程．
7．（2017·全國(guó)·高考真題）已知拋物線C：y2=2x，過點(diǎn)（2,0）的直線l交C于A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.
（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；
（2）設(shè)圓M過點(diǎn)，求直線l與圓M的方程.
8．（2017·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為.已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.
（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；
（II）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.
9．（2015·江蘇·高考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.
考點(diǎn)04 求斜率值或范圍
1．（2021·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
2．（2021·北京·高考真題）已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．
3．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求C的方程;
（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.
4．（2019·天津·高考真題）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率.
5．（2018·天津·高考真題）設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B. 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且.
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q. 若(O為原點(diǎn)) ，求k的值.
6．（2018·天津·高考真題）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求的值．
7．（2017·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，的面積為.
（I）求橢圓的離心率；
（II）設(shè)點(diǎn)在線段上，，延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.
（i）求直線的斜率；
（ii）求橢圓的方程.
8．（2017·山東·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.
9．（2016·山東·高考真題）已知橢圓 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過動(dòng)點(diǎn)的直線交軸與點(diǎn)，交于點(diǎn) (在第一象限)，且是線段的中點(diǎn).過點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).
（?。┰O(shè)直線的斜率分別為，證明為定值；
（ⅱ）求直線的斜率的最小值.
10．（2016·上?！じ呖颊骖}）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過且與雙曲線交于兩點(diǎn).
（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；
（2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率.
11．（2016·天津·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍.
12．（2016·全國(guó)·高考真題）已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k （k > 0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）當(dāng)t=4，時(shí)，求△AMN的面積；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍.
13．（2016·上?！じ呖颊骖}）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過且與雙曲線交于兩點(diǎn)．
（1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；
（2）設(shè)，若的斜率存在，且，求的斜率．
14．（2016·天津·高考真題）設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知，其中為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍.
15．（2015·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長(zhǎng)為c，.
（Ⅰ）求直線的斜率；
（Ⅱ）求橢圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍.
16．（2015·北京·高考真題）已知橢圓，過點(diǎn)且不過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若垂直于軸，求直線的斜率；
（Ⅲ）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．
考點(diǎn)05 離心率求值或范圍綜合
1．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．
2．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
3．（2022·天津·高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．
(1)求橢圓的離心率；
(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
4．（2020·全國(guó)·高考真題）已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|=|AB|.
（1）求C1的離心率；
（2）設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.
5．（2019·天津·高考真題） 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時(shí)與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.
6．（2019·全國(guó)·高考真題）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若為等邊三角形，求C的離心率；
（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.
7．（2016·四川·高考真題）已知數(shù)列{}的首項(xiàng)為1，為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，，其中q>0，.
（Ⅰ）若成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.
8．（2016·浙江·高考真題）如圖，設(shè)橢圓（a＞1）.

（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)（用a、k表示）；
（Ⅱ）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.
9．（2015·重慶·高考真題）如圖，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，且過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.
(1)若，，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)若，且，試確定橢圓離心率的取值范圍.
10．（2015·重慶·高考真題）如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且

（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若求橢圓的離心率
考點(diǎn)06 弦長(zhǎng)類求值或范圍綜合
1．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；
(2)求的最小值．
2．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．
3．（2019·全國(guó)·高考真題）已知拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
4．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知拋物線.點(diǎn)A，拋物線上的點(diǎn)P（x,y）,過點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.

（I）求直線AP斜率的取值范圍；
（II）求的最大值
5．（2016·北京·高考真題）已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.
6．（2016·全國(guó)·高考真題）（2016新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ文科）在直角坐標(biāo)系中，直線l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說明理由.
7．（2015·四川·高考真題）如圖，橢圓E：的離心率是，過點(diǎn)P（0,1）的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為.
（1）求橢圓E的方程；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
8．（2015·山東·高考真題）平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，以為圓心以3為半徑的圓與以為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓，為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).
（i）求的值；
（ⅱ）求面積的最大值.
考點(diǎn)07 其他綜合類求值或范圍綜合
1．（2024·上海·高考真題）已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).
(1)若離心率時(shí)，求的值．
(2)若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
(3)連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．
2．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．
3．（2020·北京·高考真題）已知橢圓過點(diǎn)，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．
4．（2020·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓，拋物線，點(diǎn)A是橢圓與拋物線的交點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交橢圓于點(diǎn)B，交拋物線于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．
5．（2019·全國(guó)·高考真題）已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若為等邊三角形，求C的離心率；
（2)如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.
6．（2016·四川·高考真題）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T．
（Ⅰ）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．
7．（2015·四川·高考真題）橢圓（）的離心率是，點(diǎn)在短軸上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由
考點(diǎn)08 定值定點(diǎn)定直線問題
1．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.
2．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
3．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．
4．（2020·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．
（1）求的方程：
（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．
5．（2020·全國(guó)·高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．
（1）求E的方程；
（2）證明：直線CD過定點(diǎn).
6．（2019·北京·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).
7．（2019·北京·高考真題）已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．
8．（2017·全國(guó)·高考真題）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).
9．（2017·北京·高考真題）已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1,1)．過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn)．
(1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
(2)求證：A為線段BM的中點(diǎn)．
10．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F.
11．（2016·北京·高考真題）已知橢圓：（）的離心率為，，，，的面積為1.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.
12．（2016·北京·高考真題）已知橢圓過點(diǎn)兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率；
（Ⅱ）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值．
13．（2015·陜西·高考真題）如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.
(I)求橢圓的方程；
(II)經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），
問：直線與的斜率之和是否為定值？若是，求出此定值；若否，說明理由．
14．（2015·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上
（1）求的方程
（2）直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.
考點(diǎn)09 其他證明綜合
1．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．
2．（2023·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．
3．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．
(1)求的方程；
(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．
4．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：
①M(fèi)在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
5．（2021·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．
6．（2019·全國(guó)·高考真題）
已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.
（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；
（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.
（i）證明：是直角三角形；
（ii）求面積的最大值.
7．（2018·北京·高考真題）已知拋物線C：=2px經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．
8．（2018·全國(guó)·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．
（1）證明：；
（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．
9．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)拋物線，點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；
（2）證明：．
10．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.
11．（2017·北京·高考真題）已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5．
12．（2017·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F.
13．（2016·四川·高考真題）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T．
（Ⅰ）求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線平行于，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且與直線交于點(diǎn)，證明：存在常數(shù)，使得，并求的值．
14．（2016·四川·高考真題）已知數(shù)列{}的首項(xiàng)為1，為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，，其中q>0，.
（Ⅰ）若成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.
15．（2016·江蘇·高考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：xy2=0，拋物線C：y2=2px（p＞0）.
（1）若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；
（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.
①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為；
②求p的取值范圍.
16．（2016·全國(guó)·高考真題）已知A是橢圓E：的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的面積
（Ⅱ） 當(dāng)時(shí)，證明：.
17．（2016·四川·高考真題）已知橢圓E：（a﹥b﹥0）的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
18．（2015·湖南·高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長(zhǎng)為.
（1）求的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且與同向
（?。┤?，求直線的斜率
（ⅱ）設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，證明：直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形
19．（2015·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上
（1）求的方程
（2）直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.
20．（2015·福建·高考真題）已知點(diǎn)為拋物線 的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線 上，且．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)，延長(zhǎng) 交拋物線于點(diǎn) ，證明：以點(diǎn)為圓心且與直線 相切的圓，必與直線相切．
考點(diǎn)10 圓錐曲線與其他知識(shí)點(diǎn)雜糅問題
1．（2024·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.
(1)若，求；
(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；
(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.
2．（2018·全國(guó)·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．
（1）證明：；
（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．
3．（2016·四川·高考真題）已知數(shù)列{}的首項(xiàng)為1，為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，，其中q>0，.
（Ⅰ）若成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：.
考點(diǎn)
十年考情（2015-2024）
命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 第二問求曲線方程
（10年6考）
2022·天津卷、2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷、2019·天津卷
2018·全國(guó)卷、2017·全國(guó)卷、2017·天津卷、2015·天津卷
2015·安徽卷
熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義及方程的求解，通常大題第一問考查方程求解
掌握軌跡方程的求解，近年該考點(diǎn)多次考查
熟練掌握直線方程的求解，會(huì)求斜率值或范圍
會(huì)弦長(zhǎng)等距離的求解，會(huì)定值定點(diǎn)定直線的求解及證明，該內(nèi)容也是高考命題熱點(diǎn)
考點(diǎn)2 求軌跡方程
（10年5考）
2023·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2019·全國(guó)卷
2017·全國(guó)卷、2015·湖北卷
考點(diǎn)3 求直線方程
（10年8考）
2024·全國(guó)新Ⅰ卷、2023·天津卷、2022·全國(guó)甲卷、2021·天津卷
2020·天津卷、2018·江蘇卷、2017·全國(guó)卷、2017·天津卷
2015·江蘇卷
考點(diǎn)4 求斜率值或范圍
（10年6考）
2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·全國(guó)乙卷、2019·天津卷
2018·天津卷、2018·天津卷、2017·天津卷、2017·山東卷
2016·山東卷、2016·上海卷、2016·天津卷、2016·全國(guó)卷
2016·上海卷、2016·天津卷、2015·天津卷、2015·北京卷
考點(diǎn)5 離心率求值或范圍綜合
（10年7考）
2024·北京卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2020·全國(guó)卷
2019·天津卷、2019·全國(guó)卷、2016·四川卷、2016·浙江卷
2015·重慶卷、2015·重慶卷
考點(diǎn)6 弦長(zhǎng)類求值或范圍綜合
（10年6考）
2022·浙江卷、2020·北京卷、2019·全國(guó)卷、2017·浙江卷
2016·北京卷、2016·全國(guó)卷、2015·四川卷、2015·山東卷
考點(diǎn)7 其他綜合類求值或范圍綜合
（10年5考）
2024·上海卷、2024·北京卷、2020·北京卷、2020·浙江卷
2019·全國(guó)卷、2016·四川卷、2015·四川卷
考點(diǎn)8 定值定點(diǎn)定直線問題
（10年7考）
2023·全國(guó)新Ⅱ卷、2023·全國(guó)乙卷、2022·全國(guó)乙卷
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