專題09 三角函數(shù)的圖象與性質小題綜合--最近10年（15-24年）高考數(shù)學真題分類匯編（全國通用）-試卷下載-教習網

一、高考真題匯編的意義。1、增強高考考生的復習動力和信心；2、提高高考考生的復習效率；3、加深考生對知識點的理解和掌握。
二、高考真題匯編的內容。1、高考試題收錄，涵蓋了考試的各個學科；2、答案解析，加深知識點理解和掌握；3、復習指導，提高復習效率。
三、高考真題匯編的重要性。高考真題匯編不僅可以提高考生的復習動力和信心，增強考生的復習效率，為高考復習提供了有力的支持。
最近10年（15-24年）高考數(shù)學真題匯編
專題09 三角函數(shù)的圖象與性質小題綜合
考點01 任意角和弧度制及求扇形的弧長、面積計算
1．（2022·全國甲卷·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
因為是的中點，
所以，
又，所以三點共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
2．（2020·浙江·高考真題）已知圓錐的側面積（單位：）為2π，且它的側面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是．
【答案】
【分析】利用題目所給圓錐側面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.
【詳解】設圓錐底面半徑為，母線長為，則
，解得.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查圓錐側面展開圖有關計算，屬于基礎題.
3．（2015·山東·高考真題）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用終邊落在坐標軸上角的表示方法即可求解
【詳解】終邊在軸正半軸上的角的集合是
故選：A
考點02 任意角的三角函數(shù)
1．（2020·山東·高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結果.
【詳解】結合圖像易知，，，
則角是第四象限角，
故選：D.
2．（2020·全國·高考真題）若α為第四象限角，則（）
A．cs2α>0B．cs2α0D．sin2α0)兩個相鄰的極值點，則=
A．2B．
C．1D．
【答案】A
【分析】從極值點可得函數(shù)的周期，結合周期公式可得.
【詳解】由題意知，的周期，得．故選A．
【點睛】本題考查三角函數(shù)的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取公式法，利用方程思想解題．
13．（2019·全國·高考真題）設函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結論：
①在（）有且僅有3個極大值點
②在（）有且僅有2個極小值點
③在（）單調遞增
④的取值范圍是[)
其中所有正確結論的編號是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】本題為三角函數(shù)與零點結合問題，難度大，通過整體換元得，結合正弦函數(shù)的圖像分析得出答案．
【詳解】當時，，
∵f（x）在有且僅有5個零點，
∴，
∴，故④正確，
由，知時，
令時取得極大值，①正確；
極小值點不確定，可能是2個也可能是3個，②不正確；
因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案，
當時，，
若f（x）在單調遞增，
則，即，
∵，故③正確．
故選D．
【點睛】極小值點個數(shù)動態(tài)的，易錯，③正確性考查需認真計算，易出錯，本題主要考查了整體換元的思想解三角函數(shù)問題，屬于中檔題．
14．（2019·全國·高考真題）下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調遞增的是
A．f(x)=│cs 2x│B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cs│x│D．f(x)= sin│x│
【答案】A
【分析】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．
【詳解】因為圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調遞減，排除B，故選A．
【點睛】
利用二級結論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；
15．（2019·全國·高考真題）關于函數(shù)有下述四個結論：
①f(x)是偶函數(shù) ②f(x)在區(qū)間（,）單調遞增
③f(x)在有4個零點 ④f(x)的最大值為2
其中所有正確結論的編號是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
【答案】C
【分析】化簡函數(shù)，研究它的性質從而得出正確答案．
【詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當時，，它在區(qū)間單調遞減，故②錯誤．當時，，它有兩個零點：；當時，，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．當時，；當時，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④ 正確，故選C．
【點睛】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．
16．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)，則
A．的最小正周期為，最大值為
B．的最小正周期為，最大值為
C．的最小正周期為，最大值為
D．的最小正周期為，最大值為
【答案】B
【分析】首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進行化簡，將解析式化簡為，之后應用余弦型函數(shù)的性質得到相關的量，從而得到正確選項.
【詳解】根據(jù)題意有，
所以函數(shù)的最小正周期為，
且最大值為，故選B.
【點睛】該題考查的是有關化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦型函數(shù)的相關性質得到函數(shù)的性質，在解題的過程中，要注意應用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結果.
17．（2018·全國·高考真題）若在是減函數(shù)，則的最大值是
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為，
所以由得
因此，從而的最大值為，故選：A.
18．（2017·全國·高考真題）設函數(shù)f(x)=cs(x+)，則下列結論錯誤的是
A．f(x)的一個周期為?2πB．y=f(x)的圖像關于直線x=對稱
C．f(x+π)的一個零點為x=D．f(x)在(,π)單調遞減
【答案】D
【詳解】f(x)的最小正周期為2π，易知A正確；
f＝cs＝cs3π＝－1，為f(x)的最小值，故B正確；
∵f(x＋π)＝cs＝－cs，∴f＝－cs＝－cs＝0，故C正確；
由于f＝cs＝csπ＝－1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調，故D錯誤．
故選D.
19．（2017·全國·高考真題）函數(shù)f(x)=sin(x+)+cs(x?)的最大值為
A．B．1C．D．
【答案】A
【詳解】由誘導公式可得，
則,
函數(shù)的最大值為.
所以選A.
【名師點睛】三角恒等變換的綜合應用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質相結合，通過變換把函數(shù)化為的形式，再借助三角函數(shù)的圖像研究性質，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結構等特征．
20．（2016·全國·高考真題）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【詳解】試題分析：由題圖知，，最小正周期，所以，所以.因為圖象過點，所以，所以，所以，令，得，所以，故選A.
【考點】三角函數(shù)的圖象與性質
【名師點睛】根據(jù)圖象求解析式問題的一般方法是：先根據(jù)函數(shù)圖象的最高點、最低點確定A，h的值，由函數(shù)的周期確定ω的值，再根據(jù)函數(shù)圖象上的一個特殊點確定φ值．
21．（2016·全國·高考真題）函數(shù)的最大值為
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【詳解】試題分析：因為，而，所以當時，取得最大值5，選B.
【考點】正弦函數(shù)的性質、二次函數(shù)的性質
【名師點睛】求解本題易出現(xiàn)的錯誤是認為當時，函數(shù)取得最大值.
22．（2016·山東·高考真題）函數(shù)的最小正周期是（）
A．B．πC．D．2π
【答案】B
【分析】因為，根據(jù)輔助角公式可化簡為，根據(jù)正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.
【詳解】
,
故最小正周期,
故選：B.
【點睛】本題主要考查和差倍半的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質.此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當經典.解答本題，關鍵在于能利用三角公式化簡函數(shù)、進一步討論函數(shù)的性質，本題較易，能較好地考查考生的運算求解能力及對復雜式子的變形能力等.
23．（2016·浙江·高考真題）設函數(shù)，則的最小正周期
A．與b有關，且與c有關
B．與b有關，但與c無關
C．與b無關，且與c無關
D．與b無關，但與c有關
【答案】B
【詳解】試題分析：，其中當時，，此時周期是；當時，周期為，而不影響周期．故選B．
【考點】降冪公式，三角函數(shù)的最小正周期．
【思路點睛】先利用三角恒等變換（降冪公式）化簡函數(shù)，再判斷和的取值是否影響函數(shù)的最小正周期．
24．（2015·四川·高考真題）下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關于原點對稱的函數(shù)是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可．
【詳解】解：y＝cs（2x）＝﹣sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：π，滿足題意，所以A正確
y＝sin（2x）＝cs2x，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；
y＝sin2x+cs2xsin（2x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為π，所以C不正確；
y＝sinx+csxsin（x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2π，所以D不正確；
故選A．
考點：三角函數(shù)的性質.
25．（2015·安徽·高考真題）已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當時，函數(shù)取得最小值，則下列結論正確的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依題意可求ω＝2，又當x時，函數(shù)f（x）取得最小值，可解得φ，從而可求解析式f（x）＝Asin（2x），利用正弦函數(shù)的圖象和性質及誘導公式即可比較大小．
【詳解】解：依題意得，函數(shù)f（x）的周期為π，
∵ω＞0，
∴ω2．
又∵當x時，函數(shù)f（x）取得最小值，
∴2φ＝2kπ，k∈Z，可解得：φ＝2kπ，k∈Z，
∴f（x）＝Asin（2x+2kπ）＝Asin（2x）．
∴f（﹣2）＝Asin（﹣4）＝Asin（4+2π）＞0．
f（2）＝Asin（4）＜0，
f（0）＝AsinAsin0，
又∵4+2π，而f（x）＝Asinx在區(qū)間（，）是單調遞減的，
∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．
故選A．
考點：1.三角函數(shù)的圖象與應用；2.函數(shù)值的大小比較.
26．（2015·北京·高考真題）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義，
A選項為奇函數(shù);B選項為偶函數(shù)；
C選項定義域為不具有奇偶性；
D選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).
故選：B.
二、多選題
27．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（）
A．與有相同的零點B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期D．與的圖象有相同的對稱軸
【答案】BC
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.
【詳解】A選項，令，解得，即為零點，
令，解得，即為零點，
顯然零點不同，A選項錯誤；
B選項，顯然，B選項正確；
C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；
D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質的對稱軸滿足，
的對稱軸滿足，
顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.
故選：BC
28．（2020·山東·高考真題）下圖是函數(shù)y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)= （）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導公式可得正確結果.
【詳解】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,
不妨令,
當時，，
解得：，
即函數(shù)的解析式為：
.
而
故選：BC.
【點睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：
(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或對φ的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.
三、填空題
29．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】令，得有3個根，從而結合余弦函數(shù)的圖像性質即可得解.
【詳解】因為，所以，
令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
結合余弦函數(shù)的圖像性質可得，故，
故答案為：.
30．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則．

【答案】
【分析】設，依題可得，，結合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進而求得．
【詳解】設，由可得，
由可知，或，，由圖可知，
，即，．
因為，所以，即，．
所以，
所以或，
又因為，所以，．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關性質，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵．
31．（2021·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則 .
【答案】
【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.
【詳解】由題意可得：，
當時，，
令可得：，
據(jù)此有：.
故答案為：.
【點睛】已知f(x)＝Acs(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：
(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或對φ的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.
32．（2020·全國·高考真題）關于函數(shù)f（x）=有如下四個命題：
①f（x）的圖象關于y軸對稱．
②f（x）的圖象關于原點對稱．
③f（x）的圖象關于直線x=對稱．
④f（x）的最小值為2．
其中所有真命題的序號是．
【答案】②③
【分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對稱性的定義可判斷命題③的正誤；取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結論.
【詳解】對于命題①，，，則，
所以，函數(shù)的圖象不關于軸對稱，命題①錯誤；
對于命題②，函數(shù)的定義域為，定義域關于原點對稱，
，
所以，函數(shù)的圖象關于原點對稱，命題②正確；
對于命題③，，
，則，
所以，函數(shù)的圖象關于直線對稱，命題③正確；
對于命題④，當時，，則，
命題④錯誤.
故答案為：②③.
【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.
33．（2019·全國·高考真題）函數(shù)的最小值為．
【答案】.
【分析】本題首先應用誘導公式，轉化得到二倍角的余弦，進一步應用二倍角的余弦公式，得到關于的二次函數(shù)，從而得解.
【詳解】，
，當時，，
故函數(shù)的最小值為．
【點睛】解答本題的過程中，部分考生易忽視的限制，而簡單應用二次函數(shù)的性質，出現(xiàn)運算錯誤．
34．（2018·江蘇·高考真題）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值是．
【答案】.
【詳解】分析：由對稱軸得，再根據(jù)限制范圍求結果.
詳解：由題意可得，所以，因為，所以
點睛：函數(shù)（A>0,ω>0）的性質：(1)；
(2)最小正周期；(3)由求對稱軸；(4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間.
35．（2018·北京·高考真題）設函數(shù)，若對任意的實數(shù)都成立，則的最小值為．
【答案】
【分析】根據(jù)題意取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得的表達式，進而確定其最小值.
【詳解】因為對任意的實數(shù)x都成立，所以取最大值，
所以，
因為，所以當時，取最小值為.
【點睛】函數(shù)的性質
（1）.
（2）周期
（3）由求對稱軸，最大值對應自變量滿足，最小值對應自變量滿足，
（4）由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.
36．（2017·全國·高考真題）函數(shù)（）的最大值是．
【答案】1
【詳解】化簡三角函數(shù)的解析式，
可得
，
由，可得，
當時，函數(shù)取得最大值1．
37．（2017·全國·高考真題）函數(shù)的最大值為 .
【答案】
【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，通過正弦函數(shù)的有界性求解即可．
【詳解】解：函數(shù)f（x）＝2csx+sinx（csxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，
可知函數(shù)的最大值為：．
故答案為．
【點睛】通過配角公式把三角函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結構等特征．一般可利用求最值．
38．（2016·上?！じ呖颊骖}）方程在區(qū)間上的解為．
【答案】
【詳解】試題分析：
化簡得：，所以，解得或（舍去），又，所以.
【考點】二倍角公式及三角函數(shù)求值
【名師點睛】已知三角函數(shù)值求角，基本思路是通過化簡，得到角的某種三角函數(shù)值，結合角的范圍求解. 本題難度不大，能較好地考查考生的邏輯推理能力、基本計算能力等.
39．（2015·浙江·高考真題）函數(shù)的最小正周期是，單調遞增區(qū)間是 .
【答案】，
【分析】直接利用三角函數(shù)關系式的恒等變換，把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的周期和單調區(qū)間．
【詳解】解：函數(shù)f（x）＝sin2x+sinxcsx+1，
則：，
則函數(shù)的最小正周期T，
令：（k∈Z），
解得：（k∈Z），
單點遞增區(qū)間為：[]（k∈Z），
故答案為π；[]（k∈Z），
【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質的應用．
40．（2015·湖南·高考真題）已知>0,在函數(shù)y=2sinx與y=2csx的圖像的交點中，距離最短的兩個交點的距離為2，則 = .
【答案】
【詳解】由題根據(jù)三角函數(shù)圖像與性質可得距離最短的交點坐標可以為
, .
考點：三角函數(shù)圖像與性質
【名師點睛】正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形. 應把三角函數(shù)的對稱性與奇偶性結合，體會二者的統(tǒng)一.這樣就能理解條件“距離最短的兩個交點” 一定在同一個周期內，本題也可從五點作圖法上理解.
考點07 三角函數(shù)的圖象與性質（壓軸）
1．（2017·天津·高考真題）設函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【詳解】由題意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故選A．
【考點】求三角函數(shù)的解析式
【名師點睛】有關問題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點或最低點確定，再根據(jù)周期或周期或周期求出，最后再利用最高點或最低點坐標滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點，如對稱軸或曲線經過的點的坐標，根據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.
2．（2017·上?！じ呖颊骖}）設、，且，則的最小值等于
【答案】
【詳解】由三角函數(shù)的性質可知，，
所以，即，
所以，
所以.
3．（2016·天津·高考真題）已知函數(shù)，.若在區(qū)間內沒有零點，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先把化成，求出的零點的一般形式為，根據(jù)在區(qū)間內沒有零點可得關于的不等式組，結合為整數(shù)可得其相應的取值，從而得到所求的取值范圍.
【詳解】由題設有，
令，則有即.
因為在區(qū)間內沒有零點，
故存在整數(shù)，使得，
即，因為，所以且，故或，
所以或，
故選：D.
【點睛】本題考查三角函數(shù)在給定范圍上的零點的存在性問題，此類問題可轉化為不等式組的整數(shù)解問題，本題屬于難題.
4．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù)為的零點，為圖象的對稱軸，且在單調，則的最大值為
A．11B．9
C．7D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)已知可得ω為正奇數(shù)，且ω≤12，結合x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結合f（x）在（，）上單調，可得ω的最大值．
【詳解】∵x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，
∴，即，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω為正奇數(shù)，
∵f（x）在（，）上單調，則，
即T，解得：ω≤12，
當ω＝11時，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此時f（x）在（，）不單調，不滿足題意；
當ω＝9時，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此時f（x）在（，）單調，滿足題意；
故ω的最大值為9，
故選B．
【點睛】本題將三角函數(shù)的單調性與對稱性結合在一起進行考查,題目新穎,是一道考查能力的好題.注意本題求解中用到的兩個結論：①的單調區(qū)間長度是最小正周期的一半;②若的圖像關于直線對稱,則或.
5．（2015·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)，若存在滿足，且（，），則的最小值為．
【答案】
【詳解】因為，所以，因此要使得滿足條件的最小，須取
即
考點：三角函數(shù)性質
考點08 三角函數(shù)的伸縮平移變換
1．（2023·全國甲卷·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關系，從而精確圖像，由此得解.
【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，
而顯然過與兩點，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關系，
當時，，；
當時，，；
當時，，；
所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.
故選：C.
2．（2022·天津·高考真題）已知，關于該函數(shù)有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質，以及變換法則即可判斷各說法的真假．
【詳解】因為，所以的最小正周期為，①不正確；
令，而在上遞增，所以在上單調遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；
由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．
故選：A．
3．（2022·浙江·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）
A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．
【詳解】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．
故選：D.
4．（2022·全國甲卷·高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結合對稱性得，即可求出的最小值.
【詳解】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，
解得，又，故當時，的最小值為.
故選：C.
5．（2021·全國乙卷·高考真題）把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；
解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向實施各步變換，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.
【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當?shù)玫降膱D象，
根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，
令,則,
所以,所以；
解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，
第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，
第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，
即為的圖象，所以.
故選：B.
6．（2020·天津·高考真題）已知函數(shù)．給出下列結論：
①的最小正周期為；
②是的最大值；
③把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．
其中所有正確結論的序號是（）
A．①B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【分析】對所給選項結合正弦型函數(shù)的性質逐一判斷即可.
【詳解】因為，所以周期，故①正確；
，故②不正確；
將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，
故③正確.
故選：B.
【點晴】本題主要考查正弦型函數(shù)的性質及圖象的平移，考查學生的數(shù)學運算能力，邏輯分析那能力，是一道容易題.
7．（2020·江蘇·高考真題）將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是 .
【答案】/
【分析】先根據(jù)圖象變換得解析式，再求對稱軸方程，最后確定結果.
【詳解】
當時
故答案為：
【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、正弦函數(shù)對稱軸，考查基本分析求解能力，屬基礎題.
8．（2019·天津·高考真題）已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖像對應的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】只需根據(jù)函數(shù)性質逐步得出值即可．
【詳解】因為為奇函數(shù)，∴；
又
，，又
∴，
故選C．
【點睛】本題考查函數(shù)的性質和函數(shù)的求值問題，解題關鍵是求出函數(shù)．
9．（2018·天津·高考真題）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)
A．在區(qū)間上單調遞增B．在區(qū)間上單調遞減
C．在區(qū)間上單調遞增D．在區(qū)間上單調遞減
【答案】A
【分析】由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調區(qū)間即可.
【詳解】由函數(shù)圖象平移變換的性質可知：
將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：
.
則函數(shù)的單調遞增區(qū)間滿足：，
即，
令可得一個單調遞增區(qū)間為：.
函數(shù)的單調遞減區(qū)間滿足：，
即，
令可得一個單調遞減區(qū)間為：，本題選擇A選項.
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調區(qū)間的判斷等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
10．（2018·天津·高考真題）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)
A．在區(qū)間上單調遞增B．在區(qū)間上單調遞減
C．在區(qū)間上單調遞增D．在區(qū)間上單調遞減
【答案】A
【詳解】分析：首先確定平移之后的對應函數(shù)的解析式，然后逐一考查所給的選項是否符合題意即可.
詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質可知：
將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：
.
則函數(shù)的單調遞增區(qū)間滿足：，
即，
令可得函數(shù)的一個單調遞增區(qū)間為，選項A正確，B錯誤；
函數(shù)的單調遞減區(qū)間滿足：，
即，
令可得函數(shù)的一個單調遞減區(qū)間為，選項C，D錯誤；
本題選擇A選項.
點睛：本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調區(qū)間等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
11．（2017·全國·高考真題）已知曲線C1：y=cs x，C2：y=sin (2x+)，則下面結論正確的是
A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
【答案】D
【詳解】把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=cs2x圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=cs2（x+）=cs（2x+）=sin（2x+）的圖象，即曲線C2，
故選D．
點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言. 函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).
12．（2016·四川·高考真題）為了得到函數(shù)y=sin的圖象，只需把函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點
A．向左平行移動個單位長度
B．向右平行移動個單位長度
C．向上平行移動個單位長度
D．向下平行移動個單位長度
【答案】A
【詳解】試題分析：為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，故選A.
【考點】三角函數(shù)圖象的平移
【名師點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得的圖象，而函數(shù)的圖象向上平移個單位長度得的圖象．左、右平移涉及的是的變化，上、下平移涉及的是函數(shù)值的變化．
13．（2016·全國·高考真題）若將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖像的對稱軸為
A．x=（k∈Z）
B．x=（k∈Z）
C．x=（k∈Z）
D．x=（k∈Z）
【答案】B
【詳解】試題分析：由題意得，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，由，得，即平移后的函數(shù)的對稱軸方程為，故選B．
考點：三角函數(shù)的圖象與性質．
【方法點晴】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質，著重考查了三角函數(shù)的圖象變換及三角函數(shù)的對稱軸方程的求解，通過將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的解析式，即可求解三角函數(shù)的性質，同時考查了學生分析問題和解答問題的能力以及推理與運算能力．
14．（2016·北京·高考真題）將函數(shù)圖象上的點向左平移（）個單位長度得到點，若位于函數(shù)的圖象上，則（）
A．，的最小值為B．，的最小值為
C．，的最小值為D．，的最小值為
【答案】A
【詳解】由題意得，，
可得，
因為位于函數(shù)的圖象上
所以，
可得，
s的最小值為，故選A.
【名師點睛】三角函數(shù)圖象的變換，有兩種選擇：一是先伸縮再平移，二是先平移再伸縮．特別注意：①平移變換時，當自變量x的系數(shù)不為1時，要將系數(shù)先提出；②翻折變換要注意翻折的方向；③三角函數(shù)名不同的圖象變換問題，應先將三角函數(shù)名統(tǒng)一，再進行變換.
15．（2016·全國·高考真題）函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象至少向右平移個單位長度得到．
【答案】
【詳解】試題分析：,故應至少向右平移個單位.
考點：1、三角恒等變換；2、圖象的平移.
16．（2016·四川·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點
A．向左平行移動個單位長度
B．向右平行移動個單位長度
C．向左平行移動個單位長度
D．向右平行移動個單位長度
【答案】D
【詳解】試題分析：由題意，為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，故選D.
【考點】三角函數(shù)圖象的平移
【名師點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移，在函數(shù)的圖象平移變換中要注意“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個單位得的圖象，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得的圖象，再向左平移個單位得的圖象．
17．（2016·全國·高考真題）若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】試題分析：由題意得，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，由，得，即平移后的函數(shù)的對稱軸方程為，故選C．
18．（2016·全國·高考真題）將函數(shù)的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數(shù)為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】函數(shù)的周期為，
將函數(shù)的圖象向右平移個周期即個單位，
所得圖象對應的函數(shù)為，
故選D.
19．（2015·山東·高考真題）要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象
A．向左平移個單位
B．向右平移個單位
C．向左平移個單位
D．向右平移個單位
【答案】B
【詳解】因為函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象向右平移個單位．
本題選擇B選項.
點睛：三角函數(shù)圖象進行平移變換時注意提取x的系數(shù)，進行周期變換時，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼摩乇?，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同．
20．（2015·山東·高考真題）要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象
A．向左平移個單位
B．向右平移個單位
C．向左平移個單位
D．向右平移個單位
【答案】B
【詳解】因為函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象向右平移個單位．
本題選擇B選項.
點睛：三角函數(shù)圖象進行平移變換時注意提取x的系數(shù)，進行周期變換時，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼摩乇?，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同．
21．（2015·湖南·高考真題）將函數(shù)的圖像向右平移個單位后得到函數(shù)的圖像，若對滿足的，，有，則
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】試題分析：向右平移個單位后，得到，又∵，∴不妨
，，∴，又∵，
∴，故選D.
考點：三角函數(shù)的圖象和性質.
【名師點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題，高考題對于三角函數(shù)的考查，多以
為背景來考查其性質，解決此類問題的關鍵：一是會化簡，熟悉三角恒等變形，對三
角函數(shù)進行化簡；二是會用性質，熟悉正弦函數(shù)的單調性，周期性，對稱性，奇偶性等.
考點
十年考情（2015-2024）
命題趨勢
考點1 任意角和弧度制及求扇形的弧長、面積計算
（10年3考）
2022·全國甲卷、2020·浙江卷、2015·山東卷
了解任意角和弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化，借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，并能利用三角函數(shù)的定義解決相關問題，理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關系式（平方關系+商數(shù)關系），夠利用公式化簡求值，能借助單位圓的對稱性利用三角函數(shù)定義推導出誘導公式，能夠運用誘導公式解決相關問題，該內容是新高考卷的必考內容，一般會考查三角函數(shù)化簡求值或特殊角求三角函數(shù)值，需加強復習備考
能用五點作圖法作出正弦、余弦和正切函數(shù)圖象，并掌握圖象及性質，能用五點作圖法作出正弦型、余弦型和正切型函數(shù)圖象，并掌握圖象及性質
會求參數(shù)及函數(shù)解析式
該內容是新高考卷的必考內容，一般會綜合考查三角函數(shù)的圖象與性質的綜合應用，需加強復習備考
理解并掌握三角函數(shù)的圖象與性質，會先平移后伸縮或先伸縮后平移來綜合解決三角函數(shù)的伸縮平移變換，該內容是新高考卷的載體內容，一般會結合三角函數(shù)的圖象與性質綜合考查三角函數(shù)的伸縮平移變換，需加強復習備考
考點2 任意角的三角函數(shù)
（10年3考）
2020·山東卷、2020·全國卷、2018·北京卷
考點3 同角三角函數(shù)的基本關系（含弦切互化）
（10年8考）
2024·全國甲卷、2023·全國乙卷、2021·全國甲卷
2021·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2019·江蘇卷
2018·全國卷、2018·全國卷、2016·全國卷
2016·全國卷、2015·重慶卷、2015·福建卷
2015·四川卷
考點4 誘導公式及其化簡求值
（10年3考）
2023·全國甲卷、2022·浙江卷
2017·全國卷、2017·北京卷
考點5 三角函數(shù)的圖象與性質（基礎）
（10年6考）
2024·全國甲卷、2024·天津卷、2024·上海卷
2024·北京卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷
2022·天津卷、2021·北京卷、2021·全國甲卷
2021·全國乙卷、2019·北京卷、2018·全國卷
2017·山東卷、2017·全國卷
考點6 三角函數(shù)的圖象與性質（拔高）
（10年10考）
2024·天津卷、2024·全國新Ⅰ卷、2024·全國新Ⅱ卷
2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2023·天津卷、2023·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅱ卷
2022·全國甲卷、2022·北京卷、2022·全國新Ⅰ卷
2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷
2020·山東卷、2020·全國卷、2019·全國卷
2019·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷
2019·全國卷、2018·江蘇卷、2018·全國卷
2018·全國卷、2018·北京卷、2017·全國卷
2017·全國卷、2017·全國卷、2017·全國卷
2016·全國卷、2016·全國卷、2016·山東卷
2016·浙江卷、2016·上海、2015·四川卷、
2015·安徽卷、2015·北京卷、2015·浙江卷
2015·湖南卷
考點7 三角函數(shù)的圖象與性質（壓軸）
（10年3考）
2017·天津卷、2017·上海卷、2016·天津卷
2016·全國卷、2015·上海卷
考點8 三角函數(shù)的伸縮平移變換
（10年9考）
2023·全國甲卷、2022·天津卷、2022·浙江卷
2022·全國甲卷、2021·全國乙卷、2020·天津卷
2020·江蘇卷、2019·天津卷、2018·天津卷
2018·天津卷、2017·全國卷、2016·四川卷
2016·全國卷、2016·北京卷、2016·全國卷
2016·四川卷、2016·全國卷、2016·全國卷
2015·山東卷、2015·山東卷、2015·湖南卷

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