一、高考真題匯編的意義。1、增強高考考生的復(fù)習(xí)動力和信心；2、提高高考考生的復(fù)習(xí)效率；3、加深考生對知識點的理解和掌握。
二、高考真題匯編的內(nèi)容。1、高考試題收錄，涵蓋了考試的各個學(xué)科；2、答案解析，加深知識點理解和掌握；3、復(fù)習(xí)指導(dǎo)，提高復(fù)習(xí)效率。
三、高考真題匯編的重要性。高考真題匯編不僅可以提高考生的復(fù)習(xí)動力和信心，增強考生的復(fù)習(xí)效率，為高考復(fù)習(xí)提供了有力的支持。
最近10年（15-24年）高考數(shù)學(xué)真題匯編
專題05 排列組合與二項式定理
考點01 排列組合綜合
1．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進行求解.
【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，
由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，
其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，
故所求概率.
解法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；
當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；
于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；
基本事件總數(shù)顯然是，
根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.
故選：B
2．（2023·全國甲卷·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
【答案】B
【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.
【詳解】不妨記五名志愿者為，
假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，
同理：連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有種方法，
所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有種.
故選：B.
3．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.
【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有，
所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為.
故選：D.
4．（2023·全國乙卷·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（ ）
A．30種B．60種C．120種D．240種
【答案】C
【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.
【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，
根據(jù)分步乘法公式則共有種，
故選：C.
5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（ ）．
A．種B．種
C．種D．種
【答案】D
【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.
【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.
故選：D.
6．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．12種B．24種C．36種D．48種
【答案】B
【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解
【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，
故選：B
7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.
【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，
若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，
故所求概率.
故選：D.
8．（2021·全國乙卷·高考真題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）
A．60種B．120種C．240種D．480種
【答案】C
【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.
【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，
故選：C.
【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.
9．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【詳解】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：
，
共10種排法，
其中2個0不相鄰的排列方法為：
，
共6種方法，
故2個0不相鄰的概率為，
故選：C.
10．（2021·全國甲卷·高考真題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，
若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，
所以2個0不相鄰的概率為.
故選：C.
11．（2020·海南·高考真題）要安排3名學(xué)生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）
A．2種B．3種C．6種D．8種
【答案】C
【分析】首先將3名學(xué)生分成兩個組，然后將2組學(xué)生安排到2個村即可.
【詳解】第一步，將3名學(xué)生分成兩個組，有種分法
第二步，將2組學(xué)生安排到2個村，有種安排方法
所以，不同的安排方法共有種
故選：C
【點睛】解答本類問題時一般采取先組后排的策略.
12．（2020·山東·高考真題）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）
A．120種B．90種
C．60種D．30種
【答案】C
【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.
【詳解】首先從名同學(xué)中選名去甲場館，方法數(shù)有；
然后從其余名同學(xué)中選名去乙場館，方法數(shù)有；
最后剩下的名同學(xué)去丙場館.
故不同的安排方法共有種.
故選：C
【點睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.
13．（2019·全國·高考真題）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．
【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．
【點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復(fù)元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．
14．（2017·全國·高考真題）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有
A．12種B．18種C．24種D．36種
【答案】D
【詳解】4項工作分成3組,可得：=6，
安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，
可得：種．
故選D.
15．（2016·全國·高考真題）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為
A．24B．18C．12D．9
【答案】B
【詳解】解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，
從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22＝6種走法．
同理從F到G，最短的走法，有C31C22＝3種走法．
∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3＝18種走法．
故選B．
【考點】計數(shù)原理、組合
【名師點睛】分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是相互獨立的；分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相互關(guān)聯(lián)的．
16．（2016·四川·高考真題）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為
A．24B．48
C．60D．72
【答案】D
【詳解】試題分析：由題意，要組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)，則個位數(shù)應(yīng)該為1或3或5，其他位置共有種排法，所以奇數(shù)的個數(shù)為，故選D.
【考點】排列、組合
【名師點睛】利用排列、組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注意整個事件的完成步驟．在本題中，個位是特殊位置，第一步應(yīng)先安排這個位置，第二步再安排其他四個位置．
17．（2016·全國·高考真題）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有
A．18個B．16個
C．14個D．12個
【答案】C
【詳解】試題分析：由題意，得必有，，則具體的排法列表如下：
,01010011;010101011,共14個
【點睛】求解計數(shù)問題時，如果遇到情況較為復(fù)雜，即分類較多，標(biāo)準(zhǔn)也較多，同時所求計數(shù)的結(jié)果不太大時，往往利用表格法、樹狀圖將其所有可能一一列舉出來，常常會達(dá)到出奇制勝的效果．
考點02 二項式定理綜合
1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.
【詳解】的二項展開式為，
令，解得，
故所求即為.
故選：A.
2．（2022·北京·高考真題）若，則（ ）
A．40B．41C．D．
【答案】B
【分析】利用賦值法可求的值.
【詳解】令，則，
令，則，
故，
故選：B.
3．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（ ）．
A．B．5C．D．10
【答案】C
【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結(jié)合通項公式確定的系數(shù)即可.
【詳解】展開式的通項公式為：，
令可得：，則的系數(shù)為：.
故選：C.
【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．
4．（2020·全國·高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（ ）
A．5B．10
C．15D．20
【答案】C
【分析】求得展開式的通項公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.
【詳解】展開式的通項公式為（且）
所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：
和
在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，
在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為
所以的系數(shù)為
故選：C
【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題.
5．（2019·全國·高考真題）（1+2x2 ）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為
A．12B．16C．20D．24
【答案】A
【分析】本題利用二項展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)．
【詳解】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．
【點睛】本題主要考查二項式定理，利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)．
6．（2018·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為
A．10B．20C．40D．80
【答案】C
【詳解】分析：寫出，然后可得結(jié)果
詳解：由題可得
令,則
所以
故選C.
點睛：本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題．
7．（2017·全國·高考真題）(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為
A．-80B．-40C．40D．80
【答案】C
【詳解】，
由展開式的通項公式可得：
當(dāng)時，展開式中的系數(shù)為；
當(dāng)時，展開式中的系數(shù)為，
則的系數(shù)為.
故選C.
【名師點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項.
（2）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解.
8．（2017·全國·高考真題）展開式中的系數(shù)為
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】化簡已知代數(shù)式，利用二項式展開式的通項公式可以求出展開式中的系數(shù)．
【詳解】因為，則展開式中含的項為；展開式中含的項為，故的系數(shù)為，
故選：C．
9．（2016·四川·高考真題）設(shè)i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為( )
A．－15x4B．15x4C．－20ix4D．20ix4
【答案】A
【詳解】試題分析：二項式的展開式的通項為，令，則，故展開式中含的項為，故選A.
【考點】二項展開式，復(fù)數(shù)的運算
【名師點睛】本題考查二項式定理及復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考的內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運算即可．二項式可以寫為，則其通項為，則含的項為．
10．（2015·全國·高考真題）的展開式中，的系數(shù)為
A．10B．20
C．30D．60
【答案】C
【詳解】在的5個因式中，2個取因式中剩余的3個因式中1個取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30，故選 C.
考點：本題主要考查利用排列組合知識計算二項式展開式某一項的系數(shù).
【名師點睛】本題利用排列組合求多項展開式式某一項的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題，求多項展開式式某一項的系數(shù)問題，先分析該項的構(gòu)成，結(jié)合所給多項式，分析如何得到該項，再利用排列組知識求解.
11．（2015·陜西·高考真題）二項式的展開式中項的系數(shù)為，則
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【詳解】二項式的展開式的通項是，令得的系數(shù)是，因為的系數(shù)為，所以，即，解得：或，因為，所以，故選C．
【考點定位】二項式定理．
12．（2015·湖南·高考真題）已知的展開式中含的項的系數(shù)為，則等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】，令，
可得解得.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了二項式定理的運用，屬于容易題.
13．（2015·湖北·高考真題）已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，
所以二項式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為．
考點：二項式系數(shù)，二項式系數(shù)和．考點
十年考情（2015-2024）
命題趨勢
考點1 排列組合綜合
（10年8考）
2024·全國甲卷、2023·全國甲卷、2023·全國甲卷、
2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國乙卷、2021·全國甲卷、
2021·全國甲卷、2020·海南卷、2020·山東卷、
2019·全國卷、2017·全國卷、2016·全國卷、
2016·四川卷、2016·全國卷
理解、掌握排列與組合的定義，會計算排列數(shù)與組合數(shù)，熟練掌握排列組合的解題方法
排列組合是新高考卷的常考內(nèi)容，一般會和分類加法原理與分步乘法原理結(jié)合在小題中考查，需重點復(fù)習(xí)
理解、掌握二項式定理的通項公式，會相關(guān)基本量的求解，會三項式、乘積式的相關(guān)計算
二項式定理是新高考卷的?？純?nèi)容，一般考查二項式系數(shù)和、系數(shù)和、求給定項的二項式系數(shù)或系數(shù)及相關(guān)最大（?。╉椨嬎?，需重點強化復(fù)習(xí)
考點2 二項式定理綜合
（10年8考）
2024·北京卷、2022·北京卷、2020·北京卷、
2020·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷、
2017·全國卷、2017·全國卷、2016·四川卷、
2015·全國卷、2015·陜西卷、2015·湖南卷、
2015·湖北卷

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這是一份專題11 平面向量-【真題匯編】最近5年（20-24年）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國通用），文件包含專題11平面向量-真題匯編最近5年20-24年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編全國通用原卷版docx、專題11平面向量-真題匯編最近5年20-24年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編全國通用解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共16頁， 歡迎下載使用。

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