專題07 解析幾何（選填題）-【真題匯編】最近5年（20-24年）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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最近5年（20-24年）高考數(shù)學(xué)真題匯編
專題07 解析幾何（選填題）

\l "_Tc140394748" 考點(diǎn)01：直線和圓的綜合問題
1．（2024·全國甲卷）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點(diǎn)，從而可得當(dāng)時(shí)，的最小，結(jié)合勾股定理代入計(jì)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)橹本€，即，令，
則，所以直線過定點(diǎn)，設(shè)，
將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，
所以圓心，半徑，
當(dāng)時(shí)，的最小，
此時(shí).故選：C
2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意得，即，
其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選：D.
3．(2022高考北京卷)若直線是圓的一條對稱軸，則 ( )
A． B．C．1D．
【答案】A【解析】:由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選,A．
4．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷)過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則 ( )
A．1 B．C．D．
【答案】B【解析】：方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，
過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，
因?yàn)椋瑒t，
可得，
則，
，即為鈍角，所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，
可得，則，
因?yàn)?br>且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得．故選：B．

5．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷)已知⊙M：，直線：，為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為 ( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離．
依圓的知識可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，
當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)最?。?br>∴即，由解得，．
所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D．
6．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷)若過點(diǎn)(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】：由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，
則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，
設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
由題意可得，可得，解得或，
所以圓心的坐標(biāo)為或，
圓心到直線的距離均為；
圓心到直線的距離均為
圓心到直線的距離均為；
所以，圓心到直線的距離為．故選：B．
二填空題
7．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為．
【答案】/
【詳解】圓的圓心為，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直線即或，
故原點(diǎn)到直線的距離為，
故答案為：
8 (2022新高考全國I卷)寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．
【答案】或或
【解析】：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或．
9．(2022年全國乙卷)過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為____________．
【答案】
或或或；
【解析】：依題意設(shè)圓的方程為，
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
故答案為：或或或；
10．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理))若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．
【答案】
【解析】雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，
解得或(舍去)．故答案為：．
11．(2022新高考全國II卷)設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：
\l "_Tc140394749" 考點(diǎn)02：橢圓，雙曲線基本性質(zhì)
1．（2024·全國·高考Ⅱ卷）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【答案】A
【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，
又在圓上，
所以，即，
即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A
2．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.
【詳解】如下圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，
，由，求得，
因?yàn)椋?，求得，即?br>，由正弦定理可得：，
則由得，
由得，
則，
由雙曲線第一定義可得：，，
所以雙曲線的方程為.
故選：C
3．(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A．B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則( )．
A．B．C．D．
【答案】C【解析】：將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，
因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，
設(shè)到的距離到距離，易知，
則，，
，解得或(舍去)，
故選：C．
4．(2023年全國甲卷理科)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則( )
A．B．C．D．
【答案】B【解析】：方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．故選：B．
5．(2021年新高考Ⅰ卷)已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上則的最大值為( )
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】:由題，，則，
所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立)故選：C．
6 (2022年全國甲卷(理))橢圓的左頂點(diǎn)為A．點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A【解析】，設(shè)，則，
則，故，
又，則，所以，即，
所以橢圓的離心率．故選：A．
7．(2023年全國乙卷理科)設(shè)A．B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是( )
A．B．C．D．
【答案】D【解析】：設(shè)，則的中點(diǎn)，
可得，因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，所以．
對于選項(xiàng)A：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；
8 (2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷)設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=( )
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【解析】：，，根據(jù)雙曲線的定義可得，
，即，
，，
，即，解得，
故選：A．
9．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷)已知點(diǎn)O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．設(shè)點(diǎn)P滿足|PA．–|PB．=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點(diǎn)，則|OP|=( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】：因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，，即雙曲線的右支方程為，而點(diǎn)還在函數(shù)的圖象上，所以，
由，解得，即．故選：D．
10 (2021高考北京)若雙曲線離心率為，過點(diǎn)，則該雙曲線的方程為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】：，則，，則雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為．故選：B
二填空題
11．(2021年高考全國甲卷理科)已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．
【答案】【解析】：因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，
且，所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，
所以，
，即四邊形面積等于．故答案：．
12．(2022新高考全國II卷)已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為___________．
【答案】
【解析】：令的中點(diǎn)為，因?yàn)椋裕?br>設(shè)，，則，，
所以，即
所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或(舍去)，
又，即，解得或(舍去)，
所以直線，即；
故答案為：
13．(2022新高考全國I卷)已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長是________________．
【答案】13
【解析】：∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，
判別式，∴，∴ ，得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為故答案為：13．
14．(2023年北京卷)已知雙曲線C的焦點(diǎn)為和，離心率為，則C的方程為____________．
【答案】
【解析】：令雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，
由雙曲線的離心率為，得，解得，則，
所以雙曲線的方程為．故答案為：
15．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為________．
【答案】
【解析】：方法一：
依題意，設(shè)，則，
在中，，則，故或(舍去)，所以，，則，
故，所以在中，，整理得，故．
方法二:依題意，得，令，
因?yàn)?，所以，則，
又，所以，則，
又點(diǎn)在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，又，所以或(舍去)，故．故答案為：．
16．(2021年新高考全國Ⅱ卷)已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_______________
【答案】
【解析】:因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為．故答案為．
17．(2021年高考全國乙卷)已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．
【答案】4
【解析】：由漸近線方程化簡得，即，同時(shí)平方得，又雙曲線中，故，解得(舍去)，，故焦距故答案為：4
18．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷)已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為______________．
【答案】2
【解析】聯(lián)立，解得，所以．
依題可得，，，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為．故答案為：．
考點(diǎn)03：橢圓雙曲線的離心率
1（2024·全國·高考甲卷）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）
A．4B．3C．2D．
【答案】C
【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得，即可得離心率.
【詳解】由題意，設(shè)、、，
則，，，
則，則.故選：C.
2．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷)設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則( )
A．B．C．D．
【答案】A【解析】：由，得，因此，而，所以．故選：A
3．(2021年高考全國乙卷)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】：設(shè)，由，因?yàn)?，，所?br>，
因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；
當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．
4．(2023年天津卷)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為( )
A．B．
C．D．
【答案】D【解析】：如圖，

因?yàn)椋环猎O(shè)漸近線方程為，即，
所以，所以．
設(shè)則，所以，所以．
因,所以，所以，所以，
所以，因?yàn)?，所以?br>所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D
5．(2021年全國甲卷)已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】：因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，
所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，
6．(2020高考Ⅱ卷)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，的焦距的最小值為( )
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【解析】：雙曲線的漸近線方程是
直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得
故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：
7．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理))雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的軸為直徑的圓記為D．過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，
若分別在左右支，因?yàn)?，且，所以在雙曲線的右支，又，，，
設(shè)，，在中，有，
故即，
所以，而，，，故，代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
8．(2021高考天津)已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A．B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C．D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為( )
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】：設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線為，
令，則，解得，所以,
又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，
所以，即，所以，所以雙曲線的離心率．故選：A．
二填空題
9．（2024·全國·高考Ⅰ卷）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為．
【答案】
【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.
【詳解】由題可知三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案為：
10．(2021年高考浙江卷)已知橢圓，焦點(diǎn)，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則該直線的斜率是___________，橢圓的離心率是___________．
【答案】 (1)． (2)．
【解析】:如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點(diǎn)為，
，
所以, 由，所以，，于是，即，所以．
故答案為；．
11．(2022年浙江省高考)已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是_________．
【答案】【解析】:過且斜率為的直線，漸近線，聯(lián)立，得，由，得而點(diǎn)在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率．故答案為：．
12．(2020北京高考)已知雙曲線，則的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_________；的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是_________．
【答案】(1)． (2)．
【解析】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，
所以，雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為．故答案為：；．
\l "_Tc140394751" 考點(diǎn)04：拋物線性質(zhì)及應(yīng)用
1．(2023年北京卷)已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若到直線的距離為5，則( )
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【解析】：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，
所以，故．故選：D．
2．(2021年新高考全國Ⅱ卷)拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則( )
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【解析】:拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去)，故選B．
3．(2020年高考Ⅰ卷)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=( )
A．2B．3C．6D．9
【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，即，解得．故選：C．
3．(2020年高考Ⅲ卷)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于，兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】：因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)，且，
根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，
代入拋物線方程，求得，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：B．
5．(2022年高考全國乙卷)設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則 ( )
A．2B．C．3D．
【答案】B【解析】：由題意得，，則，
即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以．故選：B
6．(2020北京高考)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線( )．
A．經(jīng)過點(diǎn) B．經(jīng)過點(diǎn) C．平行于直線 D．垂直于直線
【答案】B
【解析】如圖所示：．
因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)．故選：B．
二、填空題
7．(2023年全國乙卷理科)已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為______．
【答案】
【解析】：由題意可得：，則，拋物線的方程為，
準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為．故答案為：．
8．(2021年新高考Ⅰ卷)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為______．
【答案】
【解析】:不妨設(shè)
因?yàn)椋缘臏?zhǔn)線方程為,故答案為．
9．(2020年新高考全國Ⅰ卷)斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=________．
【答案】
【解析】：∵拋物線的方程為，∴拋物線焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，
又∵直線AB過焦點(diǎn)F且斜率為，∴直線AB的方程為：
代入拋物線方程消去y并化簡得，
解得，所以
10．(2020年新高考全國卷Ⅱ)斜率為直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則=________．
【答案】
【解析】：∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，
又∵直線AB過焦點(diǎn)F且斜率為，∴直線AB的方程為：
代入拋物線方程消去y并化簡得，
解法一：解得所以
解法二：設(shè)，則,
過分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示．
故答案為：
11．(2021高考北京)已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，垂直軸與于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______；的面積為_______．
【答案】 ①． 5 ②．
【解析】：因?yàn)閽佄锞€的方程為，故且．
因?yàn)椋?，解得，故?br>所以，故答案為：5；．
\l "_Tc140394752" 考點(diǎn)05：圓錐曲線的綜合問題
1(2023年全國甲卷)已知雙曲線的離心率為，C的一
條漸近線與圓交于A．B兩點(diǎn)，則 ( )
A B． C． D．
【答案】D【解析】：由，則，
解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，
則圓心到漸近線的距離，
所以弦長．故選：D
2．(2021年高考浙江卷)已知，函數(shù)．若成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)的軌跡是( )
A．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線
【答案】C
【解析】:由題意得，即，
對其進(jìn)行整理變形：
，
，，
，所以或，其中為雙曲線，為直線,故選C．
二多選題
3．（2024·全國·高考Ⅰ卷）設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O.且C上的點(diǎn)滿足:橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則（）
A． B．點(diǎn)在C上
C．C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1D．當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，
【答案】ABD
【詳解】對于A：設(shè)曲線上的動點(diǎn)，則且，
因?yàn)榍€過坐標(biāo)原點(diǎn)，故，解得，故A正確.
對于B：又曲線方程為，而，
故.
當(dāng)時(shí)，，
故在曲線上，故B正確.
對于C：由曲線的方程可得，取，
則，而，故此時(shí)，
故在第一象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1，故C錯(cuò)誤.
對于D：當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，由C的分析可得，
故，故D正確.故選：ABD.
2．（2024·全國·高考Ⅱ卷）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（）
A．l與相切
B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)
【答案】ABD
【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，
的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，
故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，即，則的縱坐標(biāo)，
由，得到，故，
此時(shí)切線長，B選項(xiàng)正確；
C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故或，
當(dāng)時(shí)，，，，
不滿足；
當(dāng)時(shí)，，，，
不滿足；于是不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化
根據(jù)拋物線的定義，，這里，
于是時(shí)點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成時(shí)點(diǎn)的存在性問題，
，中點(diǎn)，中垂線的斜率為，
于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，
，即的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
即存在兩個(gè)點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.
方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）
設(shè)，由可得，又，又，
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，
，則關(guān)于的方程有兩個(gè)解，
即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD
二填空題：
3．(2023年天津卷)過原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為_________．
【答案】
【解析】：易知圓和曲線關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．
當(dāng)時(shí)，同理可得．故答案為：．
4（2023·全國·乙卷）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為 .
【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離即可.
【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，
準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為考點(diǎn)
五年考情（2020-2024）
命題趨勢
\l "_Tc140394748" 考點(diǎn)01：直線和圓的綜合問題
2024 甲卷北京卷天津卷
2022 北京乙卷甲卷ⅠⅡ卷
2020 ⅠⅡ卷
直線與圓的性質(zhì)應(yīng)用在高考考考查趨勢是主要考查圓的一些基本性質(zhì)，一般難度較小
\l "_Tc140394749" 考點(diǎn)02 橢圓，雙曲線基本性質(zhì)
2024 天津 Ⅱ卷
2023 甲卷乙卷北京Ⅰ Ⅱ
2022甲ⅠⅡⅢ
2021 北京甲卷乙卷Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2020 浙江 Ⅰ卷
橢圓與雙曲線的基本性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)中的必考點(diǎn)也是高頻考點(diǎn)，一般考查的基本內(nèi)容一些性質(zhì)的綜合應(yīng)用
考點(diǎn)03 橢圓雙曲線的離心率
2024甲卷 Ⅰ卷
2023 天津
2022浙江乙卷
2020 北京Ⅱ卷
求橢圓雙曲線的離心率及離心率的取值范圍是高考的高頻考點(diǎn)。
\l "_Tc140394751" 考點(diǎn)04 拋物線性質(zhì)及應(yīng)用
2023 北京乙卷
2022 乙卷
2021 Ⅰ Ⅱ 北京卷
2020Ⅰ Ⅲ 北京卷
拋物線在高考中小題中考查非常普遍，重點(diǎn)考查有關(guān)拋物線的p的有關(guān)問題
考點(diǎn)05 圓錐曲線的綜合問題
2024 ⅠⅡ卷
2023 甲乙天津
2021 浙江
圓錐曲線的綜合應(yīng)用一般作為選填壓軸題目出現(xiàn)，是對圓錐曲線綜合能力的考查

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