1.已知集合A={x|x2?2x?3=0}，B={x||x|≤3}，則A∩B=( )
A. {?1,?3}B. {1,?3}C. {1,3}D. {?1,3}
2.已知向量a=( 3,3),b=(1,? 3)，則a與b的夾角為( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
3.圓C：x2+y2+2x?4y=0關(guān)于x軸對稱的圓的圓心坐標(biāo)為( )
A. (?1,?2)B. (1,2)C. (?1,2)D. (1,?2)
4.已知隨機(jī)變量X～B(4,p)，且P(X≥1)=1516，則P(X=3)=( )
A. 12B. 14C. 18D. 34
5.已知函數(shù)f(x)=2x,x0,|φ|b>0)的左右焦點(diǎn)，直線l：x+y=m與C相切于點(diǎn)P(點(diǎn)P在第一象限)，過F1，F(xiàn)2作F1P1⊥l，F(xiàn)2P2⊥l，垂足分別為P1，P2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|OP1|=|P1P2|=2，則|F1F2|= ______，C的方程為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
為調(diào)查居民購車傾向與性別的關(guān)系，對某地區(qū)隨機(jī)抽查了200名居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下表格：
(1)求s，t；
(2)根據(jù)小概率值α=0.050的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為居民的購車傾向與性別有關(guān)？
(3)從傾向燃油車的90人中按性別分層抽樣抽取5人，再從這5人中任選2人，求選中男性的人數(shù)的分布列和期望．
附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)，
16.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=(lnx+2)2?ln(x+1)．
(1)求f(x)在x=1處的切線方程；
(2)證明：當(dāng)x>1時，2lnx?xx+1+4>0；
(3)若f(x)在[1ea,+∞)上單調(diào)遞增，求整數(shù)n的最大值．
17.(本小題15分)
記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，an=Snn2,a2=16．
(1)求a1；
(2)求證：數(shù)列{n(n+1)an}是常數(shù)列；
(3)設(shè)bn=2nnan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
18.(本小題17分)
如圖，在三棱錐P?ABC，點(diǎn)G是邊長為2 3的等邊△ABC的重心，PA=PC=3，PB= 3，點(diǎn)D在棱PC上，且CD=2PD，E是BC的中點(diǎn)．
(1)求證：DG//平面PAB；
(2)設(shè)過點(diǎn)G，D，E的平面為α，α與此三棱錐的面相交，交線圍成一個多邊形．
(i)請在圖中畫出這個多邊形(不必說出畫法和理由)，并求出α將三棱錐分成兩部分的幾何體體積之比；
(ii)求α與平面PAC所成角的正弦值．
19.(本小題17分)
記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線y2=2px(p>0)上，A在第一象限，B，C兩點(diǎn)位于y軸上，已知圓M：(x?p)2+y2=4經(jīng)過點(diǎn)O，且圓M內(nèi)切于△ABC．
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；
(2)若∠ABC=120°，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及AC的長；
(3)求△ABC面積的最小值．
參考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.C
6.A
7.A
8.B
9.BD
10.BCD
11.ACD
12.1
13.15
14.2 2 x24+y22=1
15.解：(1)由表格數(shù)據(jù)可算得s=64+46=110，t=46+54=100；
(2)零假設(shè)H0：居民的購車傾向與性別無關(guān)聯(lián)，
計算可得χ2=200×(64×54?36×46)2110×90×100×100≈6.545>3.841，
根據(jù)小概率值α=0.050的獨(dú)立性檢驗，可知零假設(shè)不成立，
即可以認(rèn)為居民的購車傾向與性別有關(guān)；
(3)從傾向燃油車的90人中按性別分層抽樣抽取5人，則男性有5×3690=2人，
女性有5×5490=3人，設(shè)選中男性的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為0，1，2，
所以P(X=0)=C32C52=310，P(X=1)=C21C31C52=35，P(X=2)=C22C52=110，
則隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：
所以E(X)=0×310+1×35+2×110=45．
16.解：(1)因為f(x)=(lnx+2)2?ln(x+1)，
則f′(x)=2(lnx+2)x?1x+1，
所以f(x)在x=1處的切線的斜率為f′(1)=72，且f(1)=4?ln2，
則f(x)在x=1處的切線方程為y?4+ln2=72(x?1)，即7x?2y+1?2ln2=0；
(2)證明：因為2lnx?xx+1+4=2lnx+1x+1+3(x>1)，
令g(x)=2lnx+1x+1+3(x>1)，
g′(x)=2x?1(x+1)2=2x2+3x+2x(x+1)2=2(x+34)2+78x(x+1)2>0在(1,+∞)上恒成立，
即g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(1)=72>0，
即x>1時，2lnx?xx+1+4>0成立；
(3)由f′(x)=1x[2(lnx+2)?xx+1]=1x(2lnx+1x+1+3)，
由(2)可知，當(dāng)x∈(0,+∞)時，g′(x)>0，則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，
g(1e)=1+ee+1>0,g(1e2)=e2e2+1?10)，則p=2，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1．
(2)
因為∠ABC=120°，由題意可知，點(diǎn)B位于點(diǎn)C的上方，則直線AB的傾斜角為30°，
設(shè)AB與圓M切于點(diǎn)N，所以由直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半可得AB與x軸的交點(diǎn)為(?2,0)，
設(shè)AB：x= 3y?2聯(lián)立y2=4x，得y2?4 3y+8=0，則y=2 3+2或y=2 3?2(舍)，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4+2 3,2 3+2)，
過點(diǎn)A作AD⊥x軸，垂足為D，|OM|=2，所以△ADM是等腰直角三角形，
則∠AMD=45°，所以∠BAM=15°，所以∠BAC=30°，且有|AC|= 3|AB|= 3|BC|，
S△ABC=12×|AB|×|BC|×sin∠ABC=12×(|AB|+|AC|+|BC|)×2，
所以 3|AB|=4(2+ 3)，即|AC|=8+4 3．
(3)設(shè)A(x0,y0)(x0>4)，B(0,b)，C(0,c)，不妨設(shè)b?c>0，
直線AB：y=y0?bx0x+b，圓心M(2,0)到直線AB的距離為2，|2(y0?b)x0+b| (y0?bx0)2+1=2，整理得(x0?4)b2+4y0b?4x0=0，
同理直線AC：y=y0?cx0x+c，得(x0?4)c2+4y0c?4x0=0，
所以b，c是方程(x0?4)x2+4y0x?4x0=0的兩個根，則有b+c=?4y0x0?4,bc=?4x0x0?4，
則(b?c)2=(b+c)2?4bc=(4y0x0?4)2+16x0x0?4=16x02(x0?4)2，所以b?c=4x0x0?4，
所以△ABC面積S=12×(b?c)×x0=2x02x0?4，
令x0?4=t(t>0)，x0=t+4，
所以S=2(t+4)2t=2(t+16t+8)≥2(2 t×16t+8)=32，
當(dāng)且僅當(dāng)t=16t，即t=4，x0=8時，等號成立，
所以當(dāng)x0=8時，△ABC面積的最小值為32．
購買傾向
合計
新能源車
燃油車
男
64
36
100
女性
46
54
t
合計
s
90
200
P(χ2≥k0)
0.05
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P
310
35
110

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