一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知向量a=(?2,n)，b=(3,?7)，若a→/\!/b→，則n的值為( )．
A. 143B. 4C. 112D. ?4
2.若z=7+i3+4i，則z等于( )．
A. 2B. 5C. 2D. 5
3.在?ABC中，若AB?AC=?4.5，則?ABC的形狀一定是( )．
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 銳角三角形D. 鈍角三角形
4.在復(fù)平面內(nèi)，若i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z與21+i3關(guān)于虛軸對稱，則z=( )
A. 1+iB. ?1?iC. ?1+iD. 1?i
5.已知△ABC的外接圓圓心為O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，則向量BA在向量BC上的投影向量為( )
A. 14BCB. 34BCC. ?14BCD. ? 34BC
6.如圖，下邊長方體中由上邊的平面圖形圍成的是
A. B.
C. D.
7.若2+2ai1+i=x+yi(a,x,y∈R)，且xy>1，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. (?∞,? 2)∪( 2,+∞)B. (?∞,?2)∪(2,+∞)
C. ( 2,+∞)D. (2,+∞)
8.ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且(2b?c)csA=acsC,b=2 3，若邊BC的中線等于3，則ΔABC的面積為( )
A. 9?3B. 9?32C. 3?3D. 3?32
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.如圖，?A′B′C′是水平放置的?ABC的直觀圖，A′B′=2,A′C′=B′C′= 5，則在原平面圖形?ABC中，有( )
A. AC=BCB. AB=2C. AC=2 5D. S?ABC=4 2
10.下列命題中，正確的有( )
A. 有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱
B. 有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐
C. 平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形
D. 有兩個面互相平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺
11.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(a+b)：(a+c)：(b+c)=9：10：11，則下列結(jié)論正確的是( )
A. sinA：sinB：sinC=4：5：6
B. △ABC是鈍角三角形
C. △ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍
D. 若c=6，則△ABC外接圓半徑為8 77
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=2AA1=2，N為A1C1的中點，M為線段AA1上的點.則|MN|+|MB|的最小值為 .
13.?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知csC=23，a=3，b=4，則csB= ．
14.如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，DE=2EC，若P為線段BE上的動點，則AP?DP的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知向量a=(1,3)，b=(m,2)，c=(3,4)，且a?3b⊥c．
(1)求實數(shù)m的值；
(2)求3b?c；
(3)求向量a與b的夾角 θ ．
16.(本小題15分)
已知a,b,c為ΔABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且acsC+ 3asinC?b?c=0．
(1)求A；
(2)若a=2，ΔABC的面積為 3，求b,c．
17.(本小題15分)
已知m∈R，復(fù)數(shù)z=2m+3+(m?1)i．
(1)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，求m的取值范圍；
(2)若z滿足z+3z=n+4i，n∈R，求|n+mi3+4i|的值．
18.(本小題17分)
如圖，P是邊長為2的正三角形?ABC所在平面上一點(點A、B、C、P逆時針排列)，且滿足CP=CA，記∠CAP=θ．
(1)若θ=π3，求PB的長；
(2)用θ表示PA的長度；
(3)求?PAB的面積S的取值范圍．
19.(本小題17分)
在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，對任意兩個向量m=x1,y1,n=x2,y2.作：OM=m，ON=n當(dāng)m,n不共線時，記以O(shè)M，ON為鄰邊的平行四邊形的面積為S(m,n)=x1y2?x2y1;當(dāng)m,n共線時，規(guī)定S(m,n)=0．
(1)分別根據(jù)下列已知條件求S(m,n)；
①m=(2,1),n=(?1,2)；
②m=(1,2),n=(2,4)；
(2)若向量p=λm+μnλ,μ∈R,λ2+μ2≠0，求證：S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(3)記OA=a,OB=b,OC=c，且滿足c=λa+μb(λμ>0,λ,μ∈R),a⊥b,|a|=|b|=|c|=1，求S(c,a)+S(c,b)的最大值．
參考答案
1.A
2.C
3.D
4.C
5.A
6.D
7.A
8.C
9.BD
10.BC
11.ACD
12. 10
13.19
14.278
15.【詳解】(1)由題意可知a?3b=(1?3m,?3)，
又c=(3,4)，a?3b⊥c可得a?3b?c=3(1?3m)?3×4=0，
解得m=?1
(2)由(1)可知b=(?1,2)，
可得3b?c=(?6,2)，
因此3b?c= (?6)2+22=2 10；
(3)易知csa,b=a?bab=?1+6 12+32 (?1)2+22=55 2= 22，
又a,b∈0,π，可得a,b=π4．
所以向量a與b的夾角 θ =π4．

16.解：(1)∵在△ABC中，acsC+ 3asinC?b?c=0，
利用正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入上式并約去2R得：
sinAcsC+ 3sinAsinC=sinB+sinC，
而sinB+sinC=sin(A+C)+sinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∴sinAcsC+ 3sinAsinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC，
∴ 3sinAsinC=sinCcsA+sinC，
∵C為三角形內(nèi)角，∴0°

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