注意事項(xiàng):
1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.
2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.
3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰;超出答題區(qū)書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效.
一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1. 由可以組成無重復(fù)數(shù)字三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 4B. 24C. 64D. 81
【答案】B
【解析】由題意，4個(gè)不同數(shù)字中取出3個(gè)，排成一列，共有個(gè)不同數(shù)字，
故選：B
2. 如圖，在某城市中兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，是道路網(wǎng)中的一個(gè)交匯處，小明要從道路網(wǎng)的處出發(fā)，途經(jīng)處到達(dá)處，則小明可以選擇的最短路徑條數(shù)為（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 18
【答案】B
【解析】依題意，從到的最短路徑是共行3段，向右2段向上1段，有種方法，
同理從處到達(dá)處有種方法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理得小明可以選擇的最短路徑條數(shù)為.
故選：B
3. 若隨機(jī)變量，，則（ ）
A. 0.15B. 0.3C. 0.35D. 0.7
【答案】A
【解析】由隨機(jī)變量，，
可知，
故選：A
4. 甲、乙兩人各自獨(dú)立射擊，甲射擊兩次，乙射擊一次．若甲每次射擊命中目標(biāo)的概率為，乙每次射擊命中目標(biāo)的概率為，甲、乙兩人每次射擊是否命中目標(biāo)互不影響．則在兩人三次射擊中至少命中目標(biāo)兩次的條件下，甲恰好命中目標(biāo)兩次的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)甲、乙兩人三次射擊中至少命中目標(biāo)兩次為事件，甲恰好命中目標(biāo)兩次為事件，則,
，
所以.
故選：C
5. 若能被8整除，則的值可能為（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 7
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以能被整除，故四個(gè)選項(xiàng)中只有D符合.故選：D
6. 已知隨機(jī)變量，若，且，則（ ）
A. B. C. 5D. 6
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以，即，解得，
所以，
又，所以.故選：C
7. 依次拋擲一枚質(zhì)地均勻且六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字的正六面體骰子兩次，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，“第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1”，“兩次的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次的點(diǎn)數(shù)之和為7”，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A. 與相互獨(dú)立B. 與相互獨(dú)立
C. 與相互獨(dú)立D. 與相互獨(dú)立
【答案】D
【解析】由題意，
當(dāng)兩次分別為或或時(shí)，兩次的點(diǎn)數(shù)之和為7，
所以，
對(duì)A，，所以，
即與相互獨(dú)立，故A正確；
對(duì)B，，，所以，故B正確；
對(duì)C，，
所以，故C正確；
對(duì)D，，，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：D
8. 排球比賽一般采用五局三勝制，第一局比賽用抽簽的方式，等可能地決定首先發(fā)球的球隊(duì)，在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，若甲隊(duì)發(fā)球，則甲隊(duì)贏得此球的概率為，若乙隊(duì)發(fā)球，則甲隊(duì)贏得此球的概率為．則在第一局比賽中，甲隊(duì)獲得第三個(gè)球的發(fā)球權(quán)的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】甲乙獲得發(fā)第一個(gè)球的概率均為，由甲獲得第三個(gè)球的發(fā)球權(quán)，得第二球甲必勝，
當(dāng)甲發(fā)第一個(gè)球時(shí)，有甲勝甲勝和乙勝甲勝兩種情況，概率為，
當(dāng)乙發(fā)第一個(gè)球時(shí)，有甲勝甲勝和乙勝甲勝兩種情況，概率為，
所以甲隊(duì)獲得第三個(gè)球的發(fā)球權(quán)的概率為.
故選：C
二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量取值越集中
B. 經(jīng)驗(yàn)回歸方程的決定系數(shù)越大，該模型的擬合效果越好
C. 回歸分析中，兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，它們的線性相關(guān)程度越強(qiáng)
D. 正態(tài)曲線是單峰的，其與軸圍成的面積是隨參數(shù)的變化而變化的
【答案】BC
【解析】離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量取值越分散，故A錯(cuò)誤；
經(jīng)驗(yàn)回歸方程的決定系數(shù)越大，模型的擬合效果越好，故B正確；
回歸分析中，兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，則線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故C正確；
正態(tài)曲線是單峰的，其與軸圍成的面積不隨參數(shù)的變化而變化，始終為1，故D錯(cuò)誤.故選：BC
10. 一個(gè)袋子中裝有個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中黃球占比．現(xiàn)從袋子中隨機(jī)摸出3個(gè)球，用分別表示采用不放回和有放回摸球方式取出的黃球個(gè)數(shù)．則（ ）
A.
B. 若，則
C. 若，則
D.
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A，分別服從超幾何分布和二項(xiàng)分布，而摸到黃球的概率為，
則，A正確；
對(duì)于B，，，B正確；
對(duì)于C，，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，
，因此，D正確.
故選：ABD
11. 甲、乙兩人進(jìn)行趣味籃球?qū)官悾s定比賽規(guī)則如下：每局比賽獲勝的一方積1分，負(fù)者積0分，無平局，積分首先達(dá)到3分的一方獲得最終勝利，比賽結(jié)束．若甲每局比賽獲勝的概率為，且每局比賽相互獨(dú)立，表示比賽結(jié)束時(shí)兩人的積分之和，則（ ）
A. 服從二項(xiàng)分布
B.
C. 比賽結(jié)束時(shí)，甲、乙的積分之比為的概率為
D. 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為
【答案】BCD
【解析】對(duì)于A，的可能取值為，而二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量取值是從0開始的連續(xù)自然數(shù)，
因此不服從二項(xiàng)分布，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，表示比賽結(jié)束時(shí)，賽了3局，要么是甲勝3局，要么是乙勝3局，
因此，B正確；
對(duì)于C，比賽結(jié)束時(shí)，甲、乙的積分之比為，則甲乙共賽4局，第4局甲勝，前3局甲輸1局，
概率為，C正確；
對(duì)于D，，，
，，D正確.
故選：BCD
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知的展開式中的系數(shù)為21，則實(shí)數(shù)的值為______．
【答案】3
【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，
因此展開式中項(xiàng)為，
則，解得，
所以實(shí)數(shù)的值為3.
故答案為：3
13. 甲、乙、丙、丁等6名同學(xué)站成一排照相，若要求甲與乙、丙均相鄰，丁不站在兩端，則不同的站法種數(shù)為______．（用數(shù)字作答）
【答案】24
【解析】甲、乙、丙均相鄰，則甲在乙、丙之間，
乙丙的排列有種，把甲、乙、丙視為一個(gè)整體，與余下3個(gè)人共4個(gè)位置，
丁只能在中間兩個(gè)位置之一，不同的排法種數(shù)是種，
故答案：24.
14. 如果是離散型隨機(jī)變量，則在條件下的期望滿足，其中是所有可能取值的集合．現(xiàn)甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．若表示“甲第一次獲勝時(shí)已進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)”，表示“甲恰好第二次獲勝時(shí)已進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)”，則______；______．（兩空均用數(shù)字作答．）
【答案】；
【解析】由題意，時(shí)甲恰好第二次獲勝時(shí)已進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為5，即前4局甲獲勝1局，
所以
當(dāng)時(shí)，的可能取值為，
所以，
，
，
，
所以
.
故答案為：；
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知二項(xiàng)式的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等．
（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）若，求的值．
解：（1）二項(xiàng)式的展開式中的第項(xiàng)為，
由題得，解得，
所以展開式中共9項(xiàng)，第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，
第5項(xiàng).
（2）由（1）知，，
所以，
令得，
令得，
所以.
16. 乒乓球是我國的國球，是一種世界流行的球類體育項(xiàng)目．某學(xué)校為了解學(xué)生是否喜歡“乒乓球運(yùn)動(dòng)”，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理如下：男生喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)比女生喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)多20人，設(shè)事件“喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)”，“學(xué)生為男生”，，．
（1）完成如圖列聯(lián)表；
（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？
參考公式：，其中．．
解：（1）設(shè)抽取100名學(xué)生中男生有人，則女生人，
因?yàn)椋?br>所以女生中喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的有人，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的共有人，
所以，
解得，
所以抽取100名學(xué)生中男生55人，女生45人，其中喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)女生為20人，不喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的女生為25人，喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的男生為40人，不喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的男生為15人，所以列聯(lián)表為：
（2）零假設(shè)為：是否喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)聯(lián).
根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，
即認(rèn)為是否喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián).
17. 某小微企業(yè)對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)的年投入金額（單位：萬元）與其年銷售量（單位：萬件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：
（1）公司擬分別用①和②兩種模型作為年銷售量關(guān)于年投入金額的回歸分析模型，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，分別求出兩種模型的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
（2）統(tǒng)計(jì)學(xué)中常通過殘差的平方和比較兩個(gè)模型的擬合效果，若模型①和②的殘差的平方和分別為9.9和4.2，請(qǐng)?jiān)冖俸廷谥羞x擇擬合效果更好的模型，并估計(jì)當(dāng)年投入金額為10萬元時(shí)的年銷售量．
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：．
參考數(shù)據(jù)：，，．
解：（1）由題知，
所以，
所以，，
所以模型①的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，
由，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得，即，
所以，，
所以模型②的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為
（2）因?yàn)椋储诘臍埐钇椒胶洼^小，所以，模型②的擬合效果更好.
所以當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)年投入金額為10萬元時(shí)的年銷售量的估計(jì)值為11.94萬件.
18. 某校為了解本校學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)并繪制了如下的頻率分布直方圖：
（1）估計(jì)這100名學(xué)生的平均體育活動(dòng)時(shí)間；
（2）從這100名學(xué)生中按照分層抽樣的方式在體育活動(dòng)時(shí)間位于和的兩組學(xué)生中抽取12名學(xué)生，再從這12名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用表示這3人中屬于的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）以這100名學(xué)生體育活動(dòng)時(shí)間的頻率估計(jì)該校學(xué)生體育活動(dòng)時(shí)間的概率，若從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取且名學(xué)生，求當(dāng)為何值時(shí)，“抽取的名學(xué)生中恰有5人每天的體育活動(dòng)時(shí)間不低于40分鐘”的概率最大？
解：（1）這100名學(xué)生的平均活動(dòng)時(shí)間
分鐘.
（2）因?yàn)轶w育活動(dòng)時(shí)間位于和的頻率分別為和，
所以抽取的12名學(xué)生中位于的有人，
位于的有人，
所以隨機(jī)變量所有可能取值為，且服從超幾何分布，
故，，
，
所以的分布列為：
所以.
（3）由頻率分布直方圖可知，每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于40分鐘的頻率為：
.
設(shè)“抽取的名學(xué)生中每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于40分鐘的人數(shù)”為，則，
，
設(shè)，
則當(dāng)“抽取的名學(xué)生中恰有5人每天的體育活動(dòng)時(shí)間不低于40分鐘”的概率最大時(shí)，
有，即，
化簡得，解得，
因?yàn)榍遥?
19. 已知編號(hào)為的三個(gè)袋子中裝有除標(biāo)號(hào)外完全相同的小球，其中1號(hào)袋子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)袋子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)袋子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球．現(xiàn)按照如下規(guī)則連續(xù)摸球兩次；第一次先從1號(hào)袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，并將摸出的球放入與球編號(hào)相同的袋子中，第二次從剛放入球的袋子中再隨機(jī)摸出1個(gè)球．
（1）若第二次摸到的是3號(hào)球，計(jì)算此3號(hào)球在第二次摸球過程中分別來自號(hào)袋子的概率；
（2）設(shè)是樣本空間上的兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，則稱是上的二維離散型隨機(jī)變量．設(shè)的一切可能取值為，記表示在中出現(xiàn)的概率，其中．若表示第一次摸出的是號(hào)球，表示第二次摸出的是號(hào)球．
①求；
②證明：．
解：（1）設(shè)第一次摸到球的事件為，第二次摸到的是3號(hào)球的事件為，
第二次在第號(hào)袋子里摸到的是3號(hào)球的事件為，，
，
于是
，
所以第二次摸到的是3號(hào)球，它來自1號(hào)袋子的概率；
第二次摸到的是3號(hào)球，它來自2號(hào)袋子的概率；
第二次摸到的是3號(hào)球，它來自3號(hào)袋子的概率.
（2）①依題意，，即第一次摸出1號(hào)球，并放入1號(hào)袋子，第二次從該袋子摸出2號(hào)球的概率，
所以.
②由定義及全概率公式知，
，
所以.喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)
不喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
100
喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)
不喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)
合計(jì)
男生
40
15
55
女生
20
25
45
合計(jì)
60
40
100
1
5
7
8
9
2
3
6
8
11
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0
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