一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為，
又因為集合，
則.
故選：B.
2. 函數(shù)是（ ）
A. 最小正周期為的奇函數(shù)B. 最小正周期為的偶函
C. 最小正周期為的奇函數(shù)D. 最小正周期為的偶函數(shù)
【答案】D
【解析】因為函數(shù)，
所以函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)是偶函數(shù).
故選：D.
3. 已知向量滿足，則在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為向量滿足，
所以，解得，
所以在方向上的投影向量是，
故選：D
4. 設(shè)為正實數(shù)，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若，由函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以，令，則在區(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
所以在區(qū)間上恒成立，又與互為反函數(shù)，關(guān)于對稱，
所以當(dāng)時，，所以，
則，故“”是“”的充分條件，
反之，若，當(dāng)時，，
但，所以“”不是“”的必要條件，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A. 4B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】，
，
，
，
解得：，
，
故選：D．
6. 某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步恰好走完，則第二步走兩級臺階的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，
共種走法，
若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，
共，
所以第二步走兩級臺階的概率為.
故選：C
7. 正四棱臺側(cè)棱長為，上下底面邊長分別為和，所有頂點在同一球面上，則正四棱臺的外接球表面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如圖所示，，，
設(shè)為外接球球心，外接球半徑為，為上下底面的中心，易知，
又側(cè)棱長為，則，又易知，
設(shè)，則，，
故，解得：，
故，所以球的表面積為，
故選：B.
8. 已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與雙曲線左支交于，兩點，兩點關(guān)于軸對稱，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】連接，因為關(guān)于軸對稱，則，
設(shè)，，
則，又，得到，
所以，
又，則，，同理可得，
因為，所以，整理并化簡得到，
又因為，將代入，并化簡得，
所以，整理得到，所以
故選：B.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.
9. 下列說法中，正確的是（ ）
A. 數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為
B. 已知隨機(jī)變量，若，則
C. 樣本點的經(jīng)驗回歸方程為，若樣本點與的殘差相等，則
D. ，，，和，，，的方差分別為和，若且，則
【答案】BC
【解析】對于選項A，將數(shù)據(jù)從小排到大得到，
又，數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故選項A錯誤，
對于選項B，因為，則，所以選項B正確，
對于選項C，由題知，得到，所以選項C正確，
對于選項D，設(shè)，，，的平均數(shù)為，，，，的平均數(shù)為，
因為，則，又，
所以，故選D錯誤，
故選：BC.
10. 已知方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個根，且這n個根在復(fù)平面上對應(yīng)的點將單位圓n等分.下列復(fù)數(shù)是方程的根的是（ ）
A. 1B. iC. D.
【答案】ACD
【解析】由題意得，方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有個根，根據(jù)三角函數(shù)定義得這個根在復(fù)平面上對應(yīng)的點坐標(biāo)為，
∴在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為.
A.當(dāng)時，，故是方程的根，A正確.
B.，由得，不是整數(shù)，B錯誤.
C.，由得，符合要求，C正確.
D.當(dāng)時，，故是方程的根，D正確.
故選：ACD.
11. 已知函數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A. 是的極大值
B. 當(dāng)時，
C. 當(dāng)時，有且僅有一個零點，且
D. 若存在極小值點，且，其中，則
【答案】ACD
【解析】對于選項A，因為，則，
當(dāng)時，令，得到或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以是的極大值點，極大值為，是極小值點，極小值為，
當(dāng)時，，由極值的定義知，的極大值為，無極小值，
當(dāng)時，令，得到或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以是的極大值點，極大值為，是極小值點，極小值為，
綜上，是的極大值，所以選項A正確，
對于選項B，因為，由選項A知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，則，，所以，故選項B錯誤，
對于選項C，當(dāng)時，，由選項A知，的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，
當(dāng)時，，，，
由零點存在性原理知，當(dāng)時，有且僅有一個零點，且，所以選項C正確，
對于選項D，因為存在極小值點，由選項A知，，得到，
因為，則，整理得到，
即，又，所以，故選項D正確，
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知直線與圓相交，則實數(shù)k的取值范圍為________．
【答案】
【解析】，即，直線方程，
直線與圓相交，則，解得．
故答案為：．
13. 若函數(shù)在上恰有2個零點，則符合條件的a為_______.
【答案】1
【解析】令，則或，
由，
當(dāng)時，在上沒有零點，
則在上應(yīng)有2個零點，
因為，所以，即，
與聯(lián)立得，因為，所以a無解；
當(dāng)時，在上有1個零點，
而在上有1個零點，滿足題意；
綜上得符合條件的為1．
故答案為：1．
14. 若存在實數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍為________.
【答案】
【解析】因為
，
設(shè)，，，令，
則，
又易知，點在圓上，如圖所示，
則，又，故的最大值為，
因為存在實數(shù)使得
所以 ，即 ，
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)棱與底面成的角，．底面是邊長為2的正三角形，其重心為G點，E是線段上一點，且．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的正切值．
（1）證明：延長交于點，連接，，
，且，
，
點為的中點，
為的重心，
、、三點共線，且，
，
又側(cè)面，側(cè)面，
側(cè)面；
（2）解：在側(cè)面內(nèi)，過作，垂足為，
側(cè)面底面，，側(cè)面，
底面，因為底面，所以，
又側(cè)棱與底面成的角，，
，，，
在底面內(nèi)，過作交的延長線于點，連接，
，平面，
平面，又平面，，
平面與底面的交線為，
為所求二面角的平面角，
，，
，
在中，，
故平面與底面成銳二面角的正切值為．
16. 已知，，，.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，曲線的任意一條切線，都存在曲線的某條切線與它垂直，求實數(shù)b的取值范圍.
解：（1）由題意得，函數(shù)定義域為.
∵，∴.
若，則，在上單調(diào)遞減.
若，令得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時，，
∵，∴，
∴曲線上任意一點處的切線斜率為，曲線上的任意一點處的切線斜率為.
由題意得，對任意的，總存在，使得等式成立，
將等式變形為，則函數(shù)的值域是函數(shù)值域的子集.
由得，，故函數(shù)的值域為，
∴.
∵，
∴，解得或，
∴實數(shù)b的取值范圍是.
17. 在列聯(lián)表（表一）的卡方獨立性檢驗中，，其中為第i行第j列的實際頻數(shù)，如，而第i行的行頻率第j列的列頻率總頻數(shù)，為第i行第j列的理論頻數(shù)，如.
（1）求表二列聯(lián)表值；
（2）求證：題干中與課本公式等價，其中.
（1）解：由題意得，
所以；
（2）證明：列聯(lián)表如下：
則，
所以
同理
所以
18. 已知拋物線，為的焦點，為的準(zhǔn)線是上兩點，且（O為坐標(biāo)原點），過作，垂足為D，點D的坐標(biāo)為.
（1）求C的方程；
（2）在C上是否存在點，使得過F的任意直線交C于S，T兩點，交l于M，直線的斜率均成等差數(shù)列？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
解：（1）由題意可得：，所以，
所以直線的方程為：，
設(shè)，
聯(lián)立拋物線方程消去得：，
所以，
所以，
因為，所以，
即，解得：，
所以拋物線方程為：
（2）
由（1）得，假設(shè)存在滿足題意，
過點得動直線方程為，
聯(lián)立，解得則，設(shè)，
聯(lián)立，消去得：，
所以，
直線得斜率為，直線得斜率為，
直線的斜率為，
因為直線的斜率均成等差數(shù)列，
所以，
整理得：，對任意恒成立，
所以，解得：或，此時，
即存在或滿足題意；
19. 已知N為偶數(shù)，給定數(shù)列，，…，，記為，對作如下變換：
①將中的奇數(shù)項取出，按原順序構(gòu)成新數(shù)列的前項；
②將中的偶數(shù)項取出，按原順序構(gòu)成新數(shù)列的第項到第N項.
稱上述操作為T變換，構(gòu)成的新數(shù)列為，記，定義為操作k次后得到的新數(shù)列，即，，其中表示數(shù)列中的第i項.
（1）若，求，，；
（2）令，，其中數(shù)列的各項互不相同，記，規(guī)定為集合C的元素個數(shù)：
（i）求；
（ii）求不超過10的最大正整數(shù)m，滿足.
解：（1），，；
（2）（i）當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
記滿足，若 ，則，有
當(dāng)時，；
，為以2為首項以2為公比的等比數(shù)列，，
此時有，可知，
當(dāng)時，，故，
此時有，因此為周期數(shù)列，；
（ii）因為，若，則不斷操作下去，
有，且對于任意，要么，要么，
于是有，所以，
經(jīng)檢驗，不超過10的最大正整數(shù)，此時，
，以此類推，符合條件.a
b
c
d
10
20
30
40
（表一）
（表二）
a
b
c
d

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