一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. 的相反數(shù)是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】相反數(shù)是，
故選：A．
2. 用一個平面截長方體，得到如圖的幾何體，它在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中被稱為“塹堵”．“塹堵”的俯視圖是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由圖可知：“塹堵”的俯視圖是圖C的矩形，
故選：C．
3. 下列運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】不是同類項，不能合并，故A錯誤，不符合題意；
，故B錯誤，不符合題意；
，故C錯誤，不符合題意；
，故D正確，符合題意；
故選：D
4. 2024年以來，我國快遞市場持續(xù)快速發(fā)展，月均業(yè)務(wù)量達(dá)到億件．當(dāng)前，我國已進(jìn)入年快遞業(yè)務(wù)量超千億件、業(yè)務(wù)收入超萬億元的新階段，建成了世界上最為通達(dá)、最為普惠、規(guī)模最大、受益人數(shù)最多的寄遞服務(wù)網(wǎng)絡(luò)．其中數(shù)據(jù)億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為億，所以億，
故選：C
5. 下列說法中正確的是（ ）
A. 為了解全市初中生每天完成作業(yè)的時間，采用全面調(diào)查的方式
B. “擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是3”是隨機事件
C. 一組數(shù)據(jù)2，4，5，5，6，7的中位數(shù)和平均數(shù)都是
D. 在抽樣調(diào)查過程中，樣本容量越小，對總體的估計就越準(zhǔn)確
【答案】B
【解析】全市初中生數(shù)量多，要了解全市初中生每天完成作業(yè)的時間，宜采抽樣調(diào)查；故A錯誤；
“擲一次骰子，向上一面的點數(shù)是3”是隨機事件，故B正確；
數(shù)據(jù)2，4，5，5，6，7的中位數(shù)是，平均數(shù)都是，故C錯誤；
在抽樣調(diào)查過程中，樣本容量越大，對總體的估計就越準(zhǔn)確；故D錯誤；
故選：B
6. 代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意得：，
解得：，
故選：B
7. 已知點，點在一次函數(shù)的圖象上，則下列式子正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】一次函數(shù)中，，
∴函數(shù)的值隨的增大而減小，
∵，
∴，
故選：A．
8. 如圖，點A，B，C在上，D是劣弧的中點．若，則的大小為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】連接，如圖所示：
由題意得：，
∵D是劣弧的中點．
∴，
故選：C
9. 如圖，在矩形紙片中，，點E為邊上的一點，將沿翻折，使點D恰好落在邊上的點F處，則的長為（ ）
A 7B. 8C. 8.6D. 9
【答案】B
【解析】∵四邊形是矩形，
∴，
由折疊得，，
在中，
故選：B.
10. 定義：如果一個三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么這樣的三角形叫作“妙角三角形”．若等腰是“妙角三角形”，且腰長為1，則其底角的余弦值為（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】設(shè)等腰的底角為，
當(dāng)頂角為時，有，
解得：；
此時，底角的余弦值為；
當(dāng)頂角為時，有，
解得：；
如圖所示：作平分，
則，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，解得：（舍負(fù)），
∴，
∴；
綜上所述：底角的余弦值為或；
故選：D．
二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）
11. 若分解因式：，則k的值為______．
【答案】3
【解析】∵，
而，
∴，
故答案為：3．
12. 在四邊形中，，則的大小為______．
【答案】
【解析】由題意得：，
∵，
∴，
故答案為：
13. 將點向左平移3個單位后得到點，則的坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】將點向左平移3個單位得到點，則點的坐標(biāo)為，即，
故答案為：．
14. 若是方程的解，則______．
【答案】4
【解析】，
去分母得，，
去括號得，，
移項得，，
合并得，，
故答案為：4．
15. 如圖，已知線段的坐標(biāo)分別為，要使反比例函數(shù)圖象的一支與此線段有公共點，則k的取值范圍是______．
【答案】，
【解析】∵，
∴當(dāng)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點A時，，此時k的值最?。?br>∴當(dāng)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點B時，，此時k的值最大；
∴反比例函數(shù)圖象的一支與此線段有公共點，則k的取值范圍是，
故答案為：，
16. 如圖是某傳送帶的部分示意圖，M是上的一點，的半徑為15厘米，當(dāng)點M轉(zhuǎn)動的度數(shù)為時，則傳送帶上的物體向右移動的距離為______厘米．（結(jié)果保留）
【答案】
【解析】由弧長計算公式可得M運動的距離為：（厘米），
故答案為：．
17. 古代有“偃矩以望高”的測高方法，圖1是測量工具“矩”，小亮同學(xué)利用“矩”測量某物體的高度（如圖2）．通過調(diào)整自己的姿勢和“矩”的擺放位置，使保持水平，且A，C，E三點在同一直線上，，米，若點B恰為線段的中點，則此物體的高度為______米．
【答案】0.4
【解析】∵點B恰為線段的中點，
∴,
∵,，
∴，
∴，
∴，
解得，米，
故答案為：0.4．
18. 如圖，線段表示水池的寬，米，以邊緣點O為原點，所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，在O處安裝一根帶噴頭A的水管（噴泉裝置的粗細(xì)忽略不計），從A噴出的水注可抽象為二次函數(shù)，且水注的形狀大小與噴頭的高度無關(guān)．已知水注在與點O水平距離1米處達(dá)到最高，要使水注落點C不超出水池外，則噴頭A的最大高度為______米．
【答案】4
【解析】∵二次函數(shù)的對稱軸為，解得：，
∴，
當(dāng)時，，即噴頭A的高度為c，
∵米，
∴，
∴當(dāng)拋物線過點時，噴頭A的高度最大，
∴，解得：，
∴噴頭A的最大高度為4米．
故答案為4．
三、解答題（本大題共8個小題，第19、20題每小題6分，第21、22題每小題8分，第23、24題每小題9分，第25、26題每小題10分，共66分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
19. 計算：．
解：原式
.
20. 先化簡，再求值：，其中．
解：
；
當(dāng)時，原式.
21. 如圖，四邊形是菱形，過點C的直線分別與的延長線交于點E，F(xiàn)，且．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）連接，若，求的長度．
（1）證明：由題意得：，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵四邊形是菱形，
∴平分，，
∴，
∵是等腰三角形；
∴，
∴
22. 某中學(xué)對部分學(xué)生就心理健康知識的了解程度，采用隨機抽樣調(diào)查的方式，并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計，繪制了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖．
根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：
（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生中共有______人，條形統(tǒng)計圖中m的值為______；
（2）求扇形統(tǒng)計圖中“了解很少”所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)；
（3）若從對心理健康知識達(dá)到“非常了解”程度的1名男生和3名女生中隨機抽取2人參加心理健康知識競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
解：（1）接受問卷調(diào)查的學(xué)生中共有：人，
，
故答案為：，
（2）“了解很少”對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為：；
（3）畫出樹狀圖如下：
一共有種等可能的情況，抽到1名男生和1名女生的情況有種，
∴抽到1名男生和1名女生的概率是：，
23. 某數(shù)學(xué)興趣小組利用假期在南湖公園進(jìn)行實踐活動，將“測量南湖公園的湖中小島D與岸邊碼頭C之間的距離”作為一項活動課題，并設(shè)計了如下的測量方案，并嘗試解決．
請根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問題：
（1）求碼頭C到沿湖風(fēng)光人行道的距離；
（2）求湖中小島D與碼頭C之間的距離．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：）
解：（1）根據(jù)題意得，米，，，
∴米，
答：碼頭C到沿湖風(fēng)光人行道的距離的長為120米；
（2）在中，米，米，，
∴米，
∵
∴
根據(jù)題意得，
∴四邊形是平行四邊形，
∴米，
答：湖中小島D與碼頭C之間的距離為208米．
24. 截至2024年9月底，全國登記在冊的批發(fā)零售業(yè)和住宿餐飲業(yè)共計915萬戶，批發(fā)零售業(yè)比住宿餐飲業(yè)多490.4萬戶．
（1）求批發(fā)零售業(yè)和住宿餐飲業(yè)各有多少戶？
（2）為促進(jìn)就業(yè)，鼓勵消費，若2025年上半年新增批發(fā)零售業(yè)和住宿餐飲業(yè)共120萬戶，且新增批發(fā)零售業(yè)戶數(shù)不超過新增住宿餐飲業(yè)戶數(shù)的2倍，問：住宿餐飲業(yè)至少要新增多少戶？
解：（1）設(shè)批發(fā)零售業(yè)有萬戶，住宿餐飲業(yè)有萬戶，根據(jù)題意得：
，
解得，，
答：批發(fā)零售業(yè)有702.7萬戶，住宿餐飲業(yè)有212.3萬戶
（2）設(shè)住宿餐飲業(yè)要新增m萬戶，新增批發(fā)零售業(yè)萬戶，根據(jù)題意得，
，
解得，，
所以，住宿餐飲業(yè)至少要新增40萬戶．
25. 如圖，以點為圓心，以6個單位長為半徑作，與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于C，D兩點．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A，B，C三點．
（1）求c的值；
（2）連接和，求證：四邊形為菱形；
（3）如果橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)點稱為整點．已知位于x軸下方的拋物線上有兩個整點R，T，連接，那么在x軸下方的二次函數(shù)的圖象上，是否存在點P，使？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
（1）解：∵以點為圓心，以6個單位長為半徑作，
∴，
∴，
∴，
將代入可得：，解得：．
（2）證明：∵以點為圓心，以6個單位長為半徑作，
∴，
∴，即，
又∵是直徑，，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
又∵，
∴四邊形為菱形．
（3）解：由（1）可知拋物線解析式為：，
當(dāng)時，有，
解得：，
∴，，
∵位于x軸下方的拋物線上有兩個整點R，T，連接，
∴點R，T的橫坐標(biāo)在和之間，
由整點的定義以及拋物線解析式可知：，即，
∵，
∴如圖：點P在以為弦的圓上，且圓心角，
∵，
∴軸，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴點P在以為圓心，以為半徑的圓上，即點P到點H的距離為，
∴，即，
聯(lián)立，
解得：或或（舍棄）或舍棄），
∴點P的坐標(biāo)為或．
26. 綜合與實踐
【初步感知】如圖1，點E，F(xiàn)是的對角線上兩點，且，連接，．則與的數(shù)量關(guān)系是______；
【嘗試探索】如圖2，在中，E，F(xiàn)是斜邊上兩個動點，且，連接，，若．求的最小值；
【拓展應(yīng)用】如圖3，在中（其中），，點M，N為對角線上的兩個動點，連接，．若，求的最小值．
解：初步感知：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
嘗試探索：過作，過作交于，連接，，
∵中，，斜邊，
∴，，
∴四邊形為矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，
∴當(dāng)在上時，最??；
拓展應(yīng)用：如圖，取中點，過作于，，取中點，過作，，連接交于，過作于，交于，連接；
∵中點為，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
∵，，
∴，四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∵中點為，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)、、三點共線，且與重合時，最小，
∵，，，
∴四邊形為矩形，
∴，，
在中，，，
則，，，
在中，，，則，，，
∴，
∴的最小值為．活動課題
測量南湖公園的湖中小島與岸邊碼頭之間的距離
工具
測距儀、測角儀
示意圖
說明
如圖，湖中小島D在岸邊碼頭C的正北方向，是一段南北走向的沿湖風(fēng)光人行道，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．
測量數(shù)據(jù)
米，點C在點A的北偏西方向；在人行道上選取點E，使點C恰好在點E的正西方向（即），點D在點E的北偏西方向．

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