一、單項選擇題: 本大題共 8 小題， 每小題 5 分， 共 40 分. 在每小題給出的四個選項中， 只有 一項是符合題目要求的.
1. 若集合，，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因為，，
所以，.
故選：B
2. 在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于 （ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】D
【解析】因為，
則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點為，位于第四象限.
故選：D
3. 向量在向量上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為、，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：D
4. 函數(shù)的圖象如圖所示，其中 ，， 為了得到的圖象，可以將的圖象 （ ）
A. 向右平移個單位長度B. 向右平移個單位長度
C. 向左平移個單位長度D. 向左平移個單位長度
【答案】C
【解析】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)過、兩點，
設的最小正周期為，因為，所以有，而，因此，
即，因為，
所以，即，所以，因為，
所以，即，因此，
而，
所以將的圖象向左平移個單位長度得到的圖象.
故選：C
5. 如圖，四邊形中，，將三角形沿著對角線翻折，使得點至點，形成三棱錐，已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】依題意，在中，，則中點即為球的球心，
連接，則，即球的半徑為1，
所以球的表面積為.
故選：B
6. 已知角的終邊經(jīng)過點，，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，，
因為，，
所以，
又，所以，
所以，
所以
.
故選：A
7. 數(shù)列 對任意的有成立，若，則等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】依題意，，
則，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，
于是，而所以.
故選：C
8. 已知奇函數(shù)的定義域為，對任意均有，且當時，. 將的圖象向左平移個單位，在該過程中，的圖象恰好經(jīng)過點共次，則的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為為定義域為的奇函數(shù)，所以，
又對任意均有，所以，所以關于對稱，
所以，所以為周期為的周期函數(shù)，
又當時，，
所以的部分圖象如下所示：
因為將的圖象向左平移個單位，在該過程中，的圖象恰好經(jīng)過點共次，
所以的圖象在區(qū)間上與直線有個交點，又，結(jié)合圖象可知的取值集合為.
故選：C
二、多項選擇題: 本題共 3 小題， 每小題 6 分， 共 18 分. 在每小題給出的選項中， 有多項符合 題目要求. 全部選對的得 6 分， 部分選對的得部分分， 有選錯的得 0 分.
9. 一個袋子中有 10 個除顏色外完全相同的小球， 其中有 4 個黃球， 6 個白球， 分別采用有放回和不放回的方式，從袋子中隨機摸出 2 個球作為樣本，用 表示樣本中黃球的個數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A. 如果采用有放回地摸球，則兩次都摸到黃球的概率是
B. 如果采用不放回地摸球，第一次摸到黃球的條件下，則第二次也摸到黃球的概率為
C. 如果采用不放回地摸球，則第二次摸到黃球的概率為
D. 無論是采用有放回摸球還是不放回摸球，的均值都是一樣的
【答案】BCD
【解析】對于A，有放回地摸球，每次摸到黃球的概率為，且相互獨立，則兩次都摸到黃球的概率是，A錯誤；
對于BC，不放回地摸球，設” 第一次摸到黃球”，“第二次摸到黃球”，
則，，BC正確；
對于D，當分別采用有放回摸球和不放回摸球時，樣本中的黃球個數(shù)分別服從二項分布
和超幾何分布，其均值均為，D正確.
故選：BCD
10. 函數(shù) ，則下列說法正確的是 （ ）
A. 當 時， 的極小值為
B. 為奇函數(shù)
C. 當 時， 一定有三個零點
D. 若直線 與 有三個交點 ，則
【答案】BCD
【解析】對于A，當時，，求導得，
當時，，當時，，為極大值，A錯誤；
對于B，令，則，
函數(shù)是奇函數(shù)，B正確；
對于C，，當時，令的二根，
，當或時，；當時，，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，，
由三次函數(shù)的圖象特征知，函數(shù)的圖象與軸有3個交點，C正確；
對于D，由選項B知，函數(shù)的圖象關于點對稱，而直線關于點對稱，
因此函數(shù)的圖象與直線的3個交點關于點對稱，
其交點的橫坐標滿足，D正確.
故選：BCD
11. 已知為坐標原點，是拋物線的焦點， 是拋物線上的點，直線的斜率為1且滿足 ，則（ ）
A. B. 若 ，則
C. D.
【答案】ACD
【解析】依題意，，直線的斜率，
解得，數(shù)列是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，
則，
對于A，，A正確；
對于B，由，得，B錯誤；
對于C，，直線：與軸交于點，
因此的面積，C正確；
對于D，由對稱性知，要證，
即證，
即證，
而，
同理，
由數(shù)列是等差數(shù)列知，
因此，D正確.
故選：ACD
三、填空題: 本題共 3 小題， 每小題 5 分， 共 15 分.
12. 數(shù)列的前項和，則數(shù)列的通項公式是_____.
【答案】
【解析】當時，，
當時，，不滿足上式，
所以數(shù)列的通項公式是.
故答案：
13. 函數(shù)在處切線的方向向量與向量共線，則 _____.
【答案】1
【解析】函數(shù)，求導得，則函數(shù)的圖象在處切線斜率，
由切線的方向向量與向量共線，得切線斜率為2，
因此，所以.
故答案為：1
14. 為激勵高三學子的學習熱情， 數(shù)學老師開發(fā)了一款小游戲程序， 同學們表現(xiàn)優(yōu)秀時可參與一次. 游戲規(guī)則如下:
第一步， 在圖①所示的棋盤內(nèi)， 學生點擊搖獎， 程序會隨機放上 7 枚黑棋;
第二步， 學生自行選擇空格放上 2 枚白棋;
最終， 每當有 4 枚棋子在同一行、列或?qū)蔷€上時， 稱為連成一條線. 若未連成線， 則獲安慰獎；連成一、二、三條線，分別獲三、二、一等獎，圖②就是一種獲一等獎的情況. 現(xiàn)在小明和小紅都可參與一次游戲. 小明點擊搖獎后， 出現(xiàn)了圖③的情況， 若他隨機地放上白棋，則他獲二等獎的概率是_____；已知小紅放上白棋時總能保證獎勵最大化，則在“點擊搖獎后，7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的條件下，她獲一等獎的概率是_____.
【答案】①. ②.
【解析】對于小明，在圖③的情況下，再放2枚白棋形成兩條線的不同情況有4種，
而樣本空間共有種不同情況，所以小明獲二等獎的概率是；
對于小紅，9枚棋子形成三條線的形狀（簡稱“三線”）必然由一行、一列、一對角線構(gòu)成，
由于第一列已經(jīng)確定，則當?shù)谝换虻谒男羞B上時，對角線還有1種情況；當?shù)诙谢蛉羞B上時，
對角線還有2種情況，因此“三線”共有種，由于小紅總能保證獎勵最大化，
則只需隨機出來的形狀恰好是“三線”去掉2枚棋子（簡稱“準三線”）即可，
于是從第一列外的5枚棋子中去掉2枚棋子形成的“準三線”共種，
但是，有一些“準三線”可以由多個“三線”得到：
第一列和某一對角線形成的“準三線”，可以由3個不同的“三線”得到，重復計算的“準三線”有次；
第一列和第二行或三行形成“準三線”，可以由2個不同的“三線”得到，重復計算的“準三線”有次，
因此，“準三線”實際上只有種，第一列之外隨機放上3枚棋子的所有情況為種，
所以小紅獲得一等獎的概率.
故答案為：；
四、解答題: 本題共 5 小題， 共 77 分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 銳角中，角，，所對應的邊分別為，，，，.
（1）若，求;
（2）求的取值范圍.
解：（1）由正弦定理，即，解得，
又為銳角三角形，所以，
所以
.
（2）由正弦定理可得，
又為銳角三角形，所以，所以，則，
所以，即，
由余弦定理，則，
所以.
16. 已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且過點.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）設過點的直線與雙曲線交于兩點，是否存在直線使得 (為原點)，若存在，求直線的方程，若不存在，請說明理由.
解：（1）設雙曲線的方程為，由離心率為，得，
解得，于是雙曲線過點，則，解得，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）依題意，直線不垂直于，且與雙曲線的漸近線不平行，設其方程為，
由消去得：，設，
則，，
若，則，整理得，無解，
所以不存在這樣的直線.
17. 如圖，長方體中，，點分別在上，.過的平面截該長方體，所得的截面為正方形，平面與棱的交點分別為.
（1）求三棱錐的體積；
（2）點為與的交點，求二面角的余弦值.
解：（1）在長方體中，由，得四邊形為矩形，
平面平面，平面平面，
平面平面，則，同理，
又平面，，則平面，而平面，
于是，為為矩形，而截面為正方形，
因此，，則，
所以.
（2）在長方體中，點是中點，取的中點，連接，
則，平面即平面，而平面，則平面，
平面，于是，是二面角的平面角，
中，，
則，
所以二面角的余弦值為.
18. 已知.
（1）當 時，求的單調(diào)區(qū)間;
（2）若當時，不等式恒成立，求的取值范圍.
解：（1）當時，定義域為，
則 ，
所以在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）因為，
因為不等式恒成立，所以在處取得最小值，即為極小值，所以，
即，所以，
所以，
若，則當時，當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，符合題意，
又，，所以，解得；
若，則當或時，當時，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
要使在處取得最小，在處取得最大值，所以應符合，
即，解得，
同時，
令，考慮的解，
因為，所以當時，
即當時單調(diào)遞增，而，
所以當時恒成立，
所以，所以；
若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不可能為最小值，故舍去；
若，則時，所以在上單調(diào)遞增，所以不可能為最小值，故舍去；
綜上可得，的取值范圍為.
19. 一種特殊的單細胞生物在一個生命周期后有的概率分裂為兩個新細胞，的概率分裂為一個新細胞，隨后自身消亡. 新細胞按相同的方式分裂，并且每個細胞的分裂情況相互獨立， 如此繁衍下去. 某實驗人員開始觀察一個該種單細胞生物經(jīng)過個生命周期的分裂情況，將第個生命周期后的活細胞總數(shù)記為隨機變量.
（1）若，
（i）求隨機變量的分布列和期望;
（ii）求事件 “” 的概率;
（2）已知在的條件下，的期望稱為條件期望，其定義為，試求條件期望和的期望.
解：（1）（i）依題意，的所有可能取值為1，2，3，4，
，，
，，
所以的分布列為：
的數(shù)學期望為
（ii）事件，即細胞在個生命周期中只有一次分裂為2個新細胞，
且之前與之后的所有細胞都分裂為1個新細胞，
記事件表示“細胞只在第個周期分裂為2個新細胞”，
則兩兩互斥，，
而，
因此，
所以事件 “” 的概率為.
（2）在的條件下，的可能取值為，
則，
，
因此
，
（），
由全概率公式得，
于是的期望
，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
又，所以，即的期望為.1
2
3
4

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