浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷 含解析

這是一份浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試卷 含解析，共25頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考試時(shí)間120分鐘，本次考試不得使用計(jì)算器，請(qǐng)考生將所有題目都做在答題卷上.
一、單選題:本大題共8小題，毎小題5分，共40分.
1. 設(shè)集合，則的子集個(gè)數(shù)是（ ）
A. 3B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)集合，求出判斷子集個(gè)數(shù).
【詳解】，，
，所以的子集個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：C.
2. 已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位)，若且，則 （ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.
【詳解】由且，得，解得，
則.
故選：B.
3. 已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，是上一點(diǎn)且，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意得，由三點(diǎn)共線求得，利用向量數(shù)量積運(yùn)算求解.
【詳解】，，且，
而三點(diǎn)共線，，即，
，
所以.
故選：A.
4. 已知數(shù)列滿足點(diǎn)在直線上，的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出，從而可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合即可求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足點(diǎn)在直線上，
所以.
因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，
則.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又，，
所以，即的最小值為.
故選:C.
5. 已知棱長(zhǎng)為1的正方體分別是AB和BC的中點(diǎn)，則MN到平面的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，由幾何關(guān)系證明MN到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，再由等體積法求出結(jié)果即可；
【詳解】
延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，
因?yàn)榉謩e是AB和BC的中點(diǎn)，則，
由正方體的性質(zhì)可得，所以，
又平面，平面，所以平面，
所以MN到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為，
則，
因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，
所以，，，
所以，即，
故選：C.
6. 已知函數(shù)的最小值為，則（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】先由二倍角的余弦公式，輔助角公式化簡(jiǎn)，再由與相交的兩個(gè)交點(diǎn)的最近距離為，結(jié)合解出即可.
【詳解】，
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值分別為，
所以與相交的兩個(gè)交點(diǎn)的最近距離為，
又的最小值為，
所以，
即，
故選：A.
7. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A，B在上，直線傾斜角為，且，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由橢圓焦半徑公式求出，結(jié)合條件列式運(yùn)算得解.
【詳解】根據(jù)題意，，所以直線的傾斜角為，
由橢圓焦半徑公式得，，
，，即，
化簡(jiǎn)得，.
故選：D.
8. 己知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明，代入可比較大小，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷的大小，從而可求解.
【詳解】設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以，即，
所以，即，
所以，即.
由，可得，即，即，
所以，即.
綜上所述，.
故選:B.
二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分.
9. 下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A. 若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1
B. 在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高
C. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則
D. 若數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2
【答案】BD
【解析】
【分析】由線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得A錯(cuò)誤；由殘差圖的意義可得B正確；由正態(tài)分布的對(duì)稱性可得C錯(cuò)誤；利用方差的性質(zhì)可得D正確；
【詳解】A：若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1，故A錯(cuò)誤；
B：在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高，故B正確；
C：由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，
所以根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，故C錯(cuò)誤；
D：設(shè)數(shù)據(jù)的方差為，
因?yàn)閿?shù)據(jù)的方差為8，
所以，解得，故D正確；
故選：BD.
10. 設(shè)拋物線，弦AB過(guò)焦點(diǎn)，過(guò)A，B分別作拋物線的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A. 存在點(diǎn)，使得B. 的最小值為2
C. D. 面積的最小值為4
【答案】BCD
【解析】
【分析】設(shè),聯(lián)立直線和拋物線的方程，得,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的方程，可得，，再逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】易知，準(zhǔn)線方程為，設(shè),
由，消去可得,
，則.
不妨設(shè)在第一象限，因?yàn)?，則,
則
則的方程為，即，
即，即，即.
同理可得的方程為.
聯(lián)立，可得，即,
則在拋物線的準(zhǔn)線上.
又，所以，即.
對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以，即，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，
因?yàn)樵趻佄锞€的準(zhǔn)線上，
所以，即的最小值為2，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>所以∽，
所以，即，故C正確；
對(duì)于D，.
設(shè)到直線的距離為,則,
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
故面積的最小值為4，故D正確.
故選:BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
已知切點(diǎn)和拋物線，則拋物線在處的切線方程為；
已知切點(diǎn)和拋物線，則拋物線在處的切線方程為.
11. 已知數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若存在常數(shù)，對(duì)任意的，恒有，則稱為數(shù)列.則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則為數(shù)列
B. 若為數(shù)列，則也為數(shù)列
C. 若為數(shù)列，則也為數(shù)列
D. 若均為數(shù)列，則也為數(shù)列
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)A，根據(jù)題意可得，利用數(shù)列的定義求解判斷；對(duì)B，舉反例不合題意；對(duì)C，根據(jù)條件得，結(jié)合數(shù)列的定義和絕對(duì)值三角不等式可判斷；對(duì)D，由數(shù)列是數(shù)列，可得，，結(jié)合絕對(duì)值三角不等式可證，得解.
【詳解】對(duì)于A，，于是，
，故A正確；
對(duì)于B，若，顯然數(shù)列是數(shù)列，，
但，所以數(shù)列不是數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)閿?shù)列是數(shù)列，
所以存在正數(shù)，對(duì)于任意的，
有，即，
所以
，所以數(shù)列是數(shù)列，故C正確；
對(duì)于D，若數(shù)列是數(shù)列，
則存在正數(shù)，對(duì)任意的，有
，，
因?yàn)?br>，
同理可得，記，，
則有
，所以數(shù)列也是數(shù)列，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是新定義問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是理解新定義，將新定義問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解.
三、填空題:本大題共3小題，每題5分，共15分.答案填在題中的橫線上.
12. 已知雙曲線的離心率，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)___________.
【答案】
【解析】
【分析】由雙曲線的離心率可得到，再由焦點(diǎn)在軸上的漸近線方程為求出即可.
【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率，
所以，
又雙曲線，
所以漸近線方程為，
故答案為：.
13. 已知圓錐的軸截面面積為，則該圓錐的外接球半徑的最小值為_(kāi)___________.
【答案】2
【解析】
【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，可得，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最值.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，
設(shè)圓錐的外接球的半徑為，則無(wú)論球心在圓錐內(nèi)還是圓錐外，都有，則，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故答案為：2.
14. 面積為1的滿足為的內(nèi)角平分線且D在線段上，當(dāng)邊的長(zhǎng)度最?時(shí)，的值是____________.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)，，由得，且，進(jìn)而，在中，由余弦定理結(jié)合基本不等式求得的最小值時(shí)，，從而得到答案.
詳解】設(shè)，，則，從而，
因?yàn)椋?br>又，
所以，且，
從而，
在中，由余弦定理得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)取最小值時(shí)，，此時(shí)，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用余弦定理求出的表達(dá)式，并結(jié)合條件和基本不等式得到的最小值時(shí)的條件.
四、解答題:本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明.證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性;
（2）若對(duì)任意的恒成立，求的范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)后分和討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可；
（2）當(dāng)時(shí)，代入函數(shù)求出，當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后再次構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)分析單調(diào)性，最終求出即可；
【小問(wèn)1詳解】
，
當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，符合題意，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹愠闪?，即恒成立?br>令，則，
再令，則恒成立，
則在單調(diào)遞增，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以
16. 在空間四邊形ABCD中，.
（1）求證:平面平面ABC;
（2）對(duì)角線BD上是否存在一點(diǎn)，使得直線AD與平面ACE所成角為.若存在求出的值，若不存在說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連,可證明，，根據(jù)線面垂直與面面垂直的判定定理即可證明；
（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出與平面法向量的坐標(biāo)，根據(jù)即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
取的中點(diǎn)，連,
因?yàn)?，所以，?
又，則，且.
又，則，則.
因?yàn)槠矫?，所以平?
因?yàn)槠矫?，所以平面平?
【小問(wèn)2詳解】
易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則,,
則.
設(shè)，則.
則.
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，即.
又,所以，
即，即，解得或（舍去），
因?yàn)?，所?所以，
所以.
故.
17. 鎮(zhèn)海中學(xué)籃球訓(xùn)練營(yíng)有一項(xiàng)三人間的傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，
（1）寫(xiě)出，，的值;
（2）求與的關(guān)系式，并求;
（3）第1次仍由甲將球傳出，若首次出現(xiàn)連續(xù)兩次球沒(méi)在甲手中，則傳球結(jié)束，記此時(shí)的傳球次數(shù)為，求的期望.
【答案】（1），，；
（2），；
（3）4
【解析】
【分析】（1）分析傳球的情況，寫(xiě)出，，的值；
（2）分析傳球次時(shí)的情況，得到與的關(guān)系式，利用待定系數(shù)法，構(gòu)造新數(shù)列，求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)公式；
（3）分析傳球兩次結(jié)束的情況，以及傳球兩次后求回到甲手中的情況，列出關(guān)系式，求出.
【小問(wèn)1詳解】
傳球一次，球一定不在甲手中，所以；
傳球兩次，球在甲手中時(shí)，有兩種情況，甲乙甲，甲丙甲，
所以；
傳球三次，球在甲手中，說(shuō)明傳球兩次時(shí)球不在甲手中，概率為，此時(shí)傳給甲的概率為，所以.
【小問(wèn)2詳解】
傳球次時(shí)球在甲手中，說(shuō)明傳球次時(shí)球不在甲手中，概率為，
此時(shí)，傳球給甲的概率為，所以有，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
，
故與的關(guān)系式為，.
【小問(wèn)3詳解】
的最小取值為2，表示傳球2次后，球連續(xù)兩次不在甲手中，
有兩種情況，甲乙丙，甲丙乙，
所以，
若傳球2次后，球在甲手中，則回到了最初的狀態(tài)，
所以有，
即，解得，
所以的期望為4.
18. 已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線交于另外一點(diǎn)交于另外一點(diǎn).
（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）已知是定值，求該定值;
（3）求面積的范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意可得點(diǎn)的恒縱坐標(biāo)的關(guān)系，即可得到曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線和直線的方程，然后與橢圓的方程聯(lián)立，即可得到的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而可得為定值；
（3）由題意可得的比值，由題意可得面積的表達(dá)式，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
令且，因?yàn)?，所以?br>整理可得，
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，，
設(shè)直線和直線的方程分別為，，
聯(lián)立直線與橢圓方程，整理可得，
則，，
聯(lián)立直線與橢圓方程，整理可得，
可得，，
又因?yàn)?，?br>所以，
所以，即，
同理可得，，即，
所以.
設(shè)，，，
設(shè)，則有，
又，
可得，
同理可得，
所以.
【小問(wèn)3詳解】

不妨設(shè)，于是，
因此，
又因?yàn)?，所以?br>設(shè)，，
則，，
，
所以在單調(diào)遞增，則.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓中的定值問(wèn)題與橢圓中的三角形面積問(wèn)題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，表示出三角形面積公式，代入計(jì)算.
19. 已知無(wú)窮數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列滿足，滿足，，滿足，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，，，，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列.
（1）已知為二階等差數(shù)列，且，，，求的通項(xiàng)公式；
（2）若為階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列，證明：為階等比數(shù)列；
（3）已知，令的前項(xiàng)和為，，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析 （3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求解；
（2）先確定是階等差數(shù)列的充分必要條件，再對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；
（3）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，再利用該結(jié)果證明結(jié)論；或者先用導(dǎo)數(shù)方法證明，再利用該結(jié)果證明結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
由知，故可設(shè).
所以，故.
從而，代入，可得，所以.
故的通項(xiàng)公式為：.
【小問(wèn)2詳解】
先證明2個(gè)引理.
引理1：對(duì)任意非負(fù)整數(shù)，存在，使得對(duì)任意正整數(shù)成立，這里約定.
證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.
當(dāng)時(shí)，有，取即可，故結(jié)論成立；
假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，則
.
故可設(shè)，這就得到
.
所以取，，即可，這得到結(jié)論對(duì)成立.
由數(shù)學(xué)歸納法即知引理1成立.
引理2：是階等差數(shù)列的充分必要條件是能夠表示為關(guān)于的至多次的多項(xiàng)式形式，即.
證明：我們對(duì)使用數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；
對(duì)，假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，考慮的情形：
一方面，如果，則有
.
故由于結(jié)論對(duì)成立，知是階等差數(shù)列，所以是階等差數(shù)列；
另一方面，如果是階等差數(shù)列，則是階等差數(shù)列.
故由于結(jié)論對(duì)成立，知的通項(xiàng)公式具有形式.
故.
據(jù)引理1可知，每個(gè)都可以表示為的形式，故
.
綜上，結(jié)論對(duì)成立.
由數(shù)學(xué)歸納法知引理2成立.
回到原題.
由于為一階等比數(shù)列，故恒為常值，設(shè)，則.
為使有意義，必有不為零.
所以.
由于為階等差數(shù)列，故由引理2，可設(shè).
取就有，，所以由引理2可知和都是階等差數(shù)列.
設(shè)，，，，則和都是常值.
而歸納即知，故是常值，從而為階等比數(shù)列.
【小問(wèn)3詳解】
方法一：
用數(shù)學(xué)歸納法證明：.
當(dāng)時(shí)，由知結(jié)論成立；
對(duì)，假設(shè)結(jié)論已對(duì)成立，即，則
.
所以結(jié)論對(duì)也成立.
綜上，對(duì)任意的正整數(shù)，都有.
故.
這就得到
.
方法二：
對(duì)正整數(shù)，根據(jù)等比數(shù)列求和公式有.
兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得.
所以.
再次求導(dǎo)，得.
所以.
從而當(dāng)時(shí)，分別由上面的式子可以得到：
；
；
.
所以
.
故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于基于等差數(shù)列和等比數(shù)列的新定義，理解新定義的本質(zhì)方可解決問(wèn)題.