1.Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a5+a6=12，S9=45，則該等差數(shù)列的公差d=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.橢圓x225+y29=1與橢圓x225?k+y29?k=1k1)，且PM=PF1，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為( )
A. (x+ 5)2+y2=6B. (x? 5)2+y2=6
C. (x+ 5)2+y2=24D. (x? 5)2+y2=24
7.在正三棱錐P?ABC中，AB= 2PA= 2，且該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則mn=( )
A. 33B. 3C. 2 33D. 3
8.已知拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)為F，在拋物線C上存在四個(gè)點(diǎn)P，M，Q，N，若弦PQ與弦MN的交點(diǎn)恰好為F，且PQ⊥MN，則1PQ+1MN=( )
A. 22B. 1C. 2D. 2
二、多選題：本大題共3小題，共18分。
9.已知α∈[0,π]，則方程x2+y2csα=1表示的曲線的形狀可以是( )
A. 兩條直線B. 圓
C. 焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D. 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線
10.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，S1=4，S2=8，4Sn=Sn+1+4Sn?1n≥2，則下列說法正確的是( )
A. S4=32B. an+1?2an是等比數(shù)列
C. an=4,n=12n+1?4,n≥2D. an=4,n=12n,n≥2
11.如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°,AB=AA1=2,P為CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足DQ=λDC+μDD1λ∈0,1,μ∈0,1，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 若λ+μ=13，則四面體A1BPQ的體積為定值
B. 若?A1BQ的外心為O，則A1B?A1O為定值2
C. 若A1Q= 5，則點(diǎn)Q的軌跡長度為 2π4
D. 若λ=1且μ=12，則存在點(diǎn)E∈A1B，使得AE+EQ的最小值為 9+2 10
三、填空題：本大題共3小題，共15分。
12.雙曲線x2+my2=1的兩條漸近線互相垂直，則m= ．
13.如圖，在三棱錐A?BCD中，E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AE上，且EF=2FA.設(shè)BC=a，BD=b，BA=c，則AE= ，BF= ．
14.在數(shù)列an中，a1=1且anan+1=n，當(dāng)n≥20時(shí)，1a2+1a3+???+1an≤an+an+1?2λ，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.如圖，已知直線與拋物線y2=2pxp>0交于A,B兩點(diǎn)，且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為2,1，求p的值．
16.隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，其中差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具.對(duì)于數(shù)列an，規(guī)定Δan為數(shù)列an的一階差分?jǐn)?shù)列，其中Δan=an+1?ann∈N?，已知數(shù)列Δan為常數(shù)列，且a2=5,S4=24．
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列bn滿足bn=1anan+1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn．
17.蓮花山位于鄂州市洋瀾湖畔．蓮花山，山連九峰，狀若金色蓮初開，獨(dú)展靈秀，故而得名．這里三面環(huán)湖，通匯長江，山巒疊翠，煙波浩渺．旅游區(qū)管委會(huì)計(jì)劃在山上建設(shè)別致涼亭供游客歇腳，如圖①為該涼亭的實(shí)景效果圖，圖②為設(shè)計(jì)圖，該涼亭的支撐柱高為3 3m，頂部為底面邊長為2的正六棱錐，且側(cè)面與底面所成的角都是45°．
(1)求該涼亭及其內(nèi)部所占空間的大小；
(2)在直線PC上是否存在點(diǎn)M，使得直線MA與平面BD1F1所成角的正弦值為 33？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
18.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+λnλ∈R，且a3=6，正項(xiàng)等比數(shù)列bn滿足：b1=a1，b2+b3=a2+a4．
(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；
(2)若cn=bn?2021，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn．
19.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國源遠(yuǎn)流長.某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙(如圖)

步驟1：設(shè)圓心是E，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為F；
步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)F；
步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；
步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕．
現(xiàn)對(duì)這些折痕所圍成的圖形進(jìn)行建模研究.若取半徑為6的圓形紙片，如圖，設(shè)定點(diǎn)F到圓心E的距離為4，按上述方法折紙.以點(diǎn)F,E所在的直線為x軸，線段EF中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)若已研究出折痕所圍成的圖形即是折痕與線段AE交點(diǎn)的軌跡，求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)記(1)問所得圖形為曲線C，若過點(diǎn)Q1,0且不與y軸垂直的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，在x軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)Tt,0，使得直線TM,TN斜率之積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
參考答案
1.B
2.D
3.B
4.A
5.D
6.D
7.B
8.B
9.ABD
10.AD
11.ACD
12.?1
13.a+b?2c2 ； a+b+4c6
14.?∞,1
15.【詳解】∵D2,1，∴kOD=12，
∵OD⊥AB，∴kAB=?2，則直線AB的方程為：y?1=?2x?2，即y=?2x+5，
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ax1,y1,Bx2,y2，
聯(lián)立y2=2pxy=?2x+5，消x得：y2+py?5p=0，
∴y1y2=?5p，
∵OA⊥OB，∴OA?OB=x1x2+y1y2=y122p?y222p+y1y2=254?5p=0，
∴p=54．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.解決直線與拋物線的位置關(guān)系，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系，采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法．

16.【詳解】(1)由于數(shù)列Δan為常數(shù)列，且Δan=an+1?ann∈N?，可知an為等差數(shù)列．
又a2=5,S4=24.知道a1+d=5,4a1+4×32d=24，解得a1=3,d=2．
故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a1+(n?1)d=2n+1．
(2)bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1?12n+3)，則
Tn=12(13?15)+12(15?17)+?+12(12n+1?12n+3)=12(13?12n+3)=n6n+9

17.【詳解】(1)結(jié)合圖②易得涼亭的頂是正六棱錐，側(cè)面與水平面成45°，取A1F1的中點(diǎn)G，連接O1G，PG，則O1G⊥A1F1，PG⊥A1F1，故∠PGO1=45°，易求O1G= 3，所以PO1= 3，
所以該涼亭的體積分為兩部分，上半部分為正六棱錐，其體積為
V1=13×6× 34×22× 3=6m3，下半部分為正六棱柱，
其體積V2=6× 34×23×3 3=54m3，
所以該涼亭及內(nèi)部所占空間為60m3，
(2)取AB的中點(diǎn)H，以O(shè)H、FC、OP所在直線分別為x，y，z軸，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，如圖所示．
假設(shè)在直線PC上存在點(diǎn)M，使得直線MA與平面BD1F1所成角的正弦值為 33，
則A 3,?1,0，B 3,1,0，D1? 3,1,3 3，F(xiàn)10,?2,3 3,P0,0,4 3，C0,0,2
設(shè)PM=tPC=0,2t,?4 3t(t>0)則M(0,2t,4 3?4 3t)，平面BD1F1的一個(gè)法向量n=x1,y1,z1，
則AM=(? 3,2t+1,4 3(1?t))，BD1=(?2 3,0,3 3)，BF1=(? 3,?3,3 3)，
則，即?2 3x+3 3z=0? 3x?3y+3 3z=0，令x=3，解得y= 3，z=2，所以平面BD1F1的一個(gè)法向量n=3, 3,2，
設(shè)直線MA與平面BD1F1所成角為θ，則
sinθ=cs?AM,n?=?3 3+ 32t+1+8 31?t 9+3+4? 3+2t+12+4 31?t2= 33，化簡得
127t2?206t+127=0，Δ=?2062?4×1272=2062?25420)，則b1=a1=2,b2+b3=a2+a4=2q+q2=12，
所以q2+q?6=0，解得q=2或q=?3(舍)，
所以bn=2n．
(2)cn=bn?2021=2021?2n,n≤102n?2021,n≥11,
所以當(dāng)n≤10時(shí)，Tn=2021n?21+22+?+2n=2021n?2×1?2n1?2=2021n?2n+1+2，
當(dāng)n≥11時(shí)，Tn=?2021n?2n+1+2+2T10=?2021n+2n+1?2+40420?212+4=2n+1?2021n+40422?212，
即Tn=?2n+1+2021n+2,n≤102n+1?2021n+40422?212,n≥11.

19.【詳解】(1)如圖，以EF所在的直線為x軸，EF的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)M(x,y)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知|MF|+|ME|=|AE|=6>|EF|=4，
∴點(diǎn)M的軌跡點(diǎn)E,F為焦點(diǎn)，長軸2a=|MF|+|ME|=6的橢圓，
∵2a=6，2c=4，∴a=3,c=2，
∴b2=a2?c2=5，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y25=1，

(2)設(shè)直線l的方程為x=my+1，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立x29+y25=1x=my+1,
消去x得5m2+9y2+10my?40=0，
其中Δ=100m2+1605m2+9=2045m2+72>0，
設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2，y1+y2=?10m5m2+9,y1y2=?405m2+9，
則kTM?kTN=y1x1?t?y2x2?t=y1y2my1+1?tmy2+1?t
=y1y2m2y1y2+m(1?t)y1+y2+(1?t)2，
消去y1+y2和y1?y2可得kTM?kTN=?405t2?9m2+9(1?t)2，
要使kTM?kTN為定值，則t2?9=0，
∵t>0，∴t=3，此時(shí)kTM?kTN=?109，
∴存在點(diǎn)T3,0使得kTM和kTN之積為?109．

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