（滿分120分，考試時間100分鐘）
一、選擇題（每小題3分，共30分．下列各小題均有四個選項(xiàng)，其中只有一個是正確的）
1．用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)，其中與原點(diǎn)距離最近的是（ ）
A．B．1C．2D．3
2．據(jù)2024年4月18日《天津日報》報道，天津市組織開展了第43屆“愛鳥周”大型主題宣傳活動．據(jù)統(tǒng)計(jì)，今春過境我市的候鳥總數(shù)已超過800000只．將數(shù)據(jù)800000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A．B．C．D．
3．斗拱是中國古典建筑上的重要部件．如圖是一種斗形構(gòu)件“三才升”的示意圖及其主視圖，則它的左視圖為（ ）
A．B．C．D．
4．下列不等式中，與組成的不等式組無解的是（ ）
A．B．C．D．
5．在同一平面內(nèi)，將直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如圖方式擺放，若，則的大小為（ ）
A．B．C．D．
6．已知點(diǎn)，都在正比例函數(shù)的圖象上，若，則與的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
7．不透明袋子中僅有紅、黃小球各一個，兩個小球除顏色外無其他差別．從中隨機(jī)摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機(jī)摸出一個小球，則兩次摸出的都是紅球的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使得，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，小好同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(diǎn)中心對稱．若點(diǎn)，，，?，，都在函數(shù)圖象上，這20個點(diǎn)的橫坐標(biāo)從0.1開始依次增加0.1，則的值是（ ）
A．B．C．0D．1
10．如圖（1），點(diǎn)在正方形的邊上，且，點(diǎn)沿從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)，設(shè)，兩點(diǎn)間的距離為，，圖（2）是點(diǎn)運(yùn)動時隨變化的圖象，若圖象的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值為（ ）

A．6B．C．D．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．若多項(xiàng)式是一個完全平方式，則正數(shù)________．
12．某校為了解九年級1000名學(xué)生一分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩測試，獲得了他們跳繩的數(shù)據(jù)（單位：個），數(shù)據(jù)整理如下：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)九年級1000名學(xué)生中跳繩的個數(shù)不低于175個的人數(shù)________人．
13．若一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形和正方形的頂點(diǎn)，，均在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，在反比例函的圖象上．若，則的值為________．
15．如圖，在中，，，，為邊的中點(diǎn)，為邊上的一動點(diǎn)，將沿翻折得，連接，．則點(diǎn)到的距離為________，面積的最小值為________．
三、解答題（本大題共8個小題，共75分）
16．（10分）（1）計(jì)算：．
（2）下面是某同學(xué)計(jì)算的解題過程：
解：①
②
③
上述解題過程從第幾步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出完整的正確解題過程．
17．（9分）為慶祝中華人民共和國成立75周年，某校舉行了“中國近現(xiàn)代史”知識競賽（百分制），為了解七、八年級學(xué)生的答題情況，從中各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的成績（單位：分），并對數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息：
a．七年級學(xué)生競賽成績的頻數(shù)分布表：
b.八年級學(xué)生競賽成績的扇形統(tǒng)計(jì)圖：
c．八年級學(xué)生競賽成績在這一組的數(shù)據(jù)是：80，80，82，83，83，84，86，86，87，88，88，89，89，89．
d．七、八年級學(xué)生競賽成績的中位數(shù)如下：
根據(jù)以上信息，回答下列問題：
（1）寫出表中，的值，________，________．
（2）此次競賽中，若抽取的一名學(xué)生的成績?yōu)?3分，在他所在的年級，他的成績超過了一半以上被抽取的學(xué)生的成績，他是哪個年級的學(xué)生？請說明理由．
18．（9分）如圖，點(diǎn)，為上的兩點(diǎn)，連接，，（）．
（1）請用無刻度的直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)作的平行線（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）若（1）中所作的平行線與交于點(diǎn)，連接，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
19．（9分）如圖（1），塑像在底座上，點(diǎn)是人眼所在的位置．當(dāng)點(diǎn)高于人的水平視線時，由遠(yuǎn)及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)經(jīng)過，兩點(diǎn)的圓與水平視線相切時（如圖（2）），在切點(diǎn)處感覺看到的塑像最大，此時為最大視角．
（1）請僅就圖（2）的情形證明
（2）經(jīng)測量，最大視角為，在點(diǎn)處看塑像頂部點(diǎn)的仰角為，點(diǎn)到塑像的水平距離為．求塑像的高（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）．
20．（9分）我們學(xué)習(xí)過光的反射定律：反射光線和入射光線、法線在同一平面上，反射光線和入射光線分居法線兩側(cè)，反射角等于入射角．在平面直角坐標(biāo)系中，放置一平面鏡（點(diǎn)在軸上），從點(diǎn)處發(fā)射的光線照射到平面鏡上的點(diǎn)處時，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，如圖所示．
（1）求光線所在直線的表達(dá)式．
（2）若從點(diǎn)處發(fā)射的光線，經(jīng)過平面鏡反射后恰好經(jīng)過點(diǎn)，求此時在平面鏡上入射點(diǎn)的坐標(biāo)．
21．（9分）為響應(yīng)新農(nóng)村建設(shè)，改善農(nóng)村居住環(huán)境，某村村委會準(zhǔn)備購買，兩種桶裝環(huán)保漆，對村里古建筑民居進(jìn)行粉刷，已知種環(huán)保漆每桶價格比種環(huán)保漆多20元，購買3桶種環(huán)保漆和5桶種環(huán)保漆共需1340元．
（1）求，兩種環(huán)保漆每桶價格分別是多少元．
（2）已知種環(huán)保漆每桶可粉刷的面積，種環(huán)保漆每桶可粉刷的面積．村委會計(jì)劃用46000元的專項(xiàng)資金購買200桶，兩種環(huán)保漆，并支付粉刷工人的工資，且粉刷工人的工資不少于專項(xiàng)資金的，求這200桶環(huán)保漆可粉刷的最大面積．
22．（10分）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以為原點(diǎn)，以直線為軸，以橋塔所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點(diǎn)到的距離．（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）
（1）求纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)在纜索上，，且，，求的長．
23．（10分）綜合與探究
問題情境：如圖（1），四邊形是菱形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
猜想證明：（1）判斷四邊形的形狀，并說明理由；
深入探究：
（2）將圖（1）中的繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，
①如圖（2），當(dāng)線段經(jīng)過點(diǎn)時，所在直線分別與線段，交于點(diǎn)，．猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
②當(dāng)直線與直線垂直時，直線分別與直線，交于點(diǎn)，，直線與線段交于點(diǎn)．若，，直接寫出四邊形的面積．
參考答案
一、選擇題
1．答案：B
解析：，，，，，所以與原點(diǎn)距離最近的是1。
2．答案：C
解析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為，其中，為整數(shù)。確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同。當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)絕對值時，是負(fù)數(shù)。。
3．C
4．答案：A
解析：解不等式得。與沒有公共部分，所以不等式組無解。
5．答案：C
解析：因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋浴?br>6．答案：B
解析：對于正比例函數(shù)，，隨的增大而增大，因?yàn)椋浴?br>7．答案：A
解析：列表如下：
|第一次摸球|第二次摸球|
|----|----|
|紅|紅|
|紅|黃|
|黃|紅|
|黃|黃|
共有4種等可能的結(jié)果，兩次摸出的都是紅球的結(jié)果有1種，所以兩次摸出的都是紅球的概率是。
8．答案：B
解析：因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以是等邊三角形，所以，因?yàn)椋裕浴?br>9．答案：C
解析：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以與，與，，與都關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，，，，又因?yàn)?，與關(guān)于點(diǎn)對稱，所以。
10．答案：C
解析：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時最小，即最小，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以與重合，設(shè)正方形的邊長為，則，，在中，，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，解得，所以正方形的邊長為3，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，所以最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值為。
二、填空題
11．答案：4
解析：因?yàn)槎囗?xiàng)式是一個完全平方式，所以，所以，又因?yàn)槭钦龜?shù)，所以。
12．答案：600
解析：50名學(xué)生中跳繩的個數(shù)不低于175個的人數(shù)為人，所以估計(jì)九年級1000名學(xué)生中跳繩的個數(shù)不低于175個的人數(shù)為人。
13．答案：
解析：對于一元二次方程，，因?yàn)榉匠虩o實(shí)數(shù)根，所以，即，解得。
14．答案：2
解析：因?yàn)?，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，所以，設(shè)，則，所以，，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，所以，解得或（舍去），所以。
15．答案：；
解析：過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，在中，，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，當(dāng)時，的面積最小，最小值為。
三、解答題
16．（1）答案：
解析。
（2）答案：從第②步開始出現(xiàn)錯誤；正確解題過程為。
解析：同分母分式相減，分母不變，分子相減，而原答案在第②步去掉了分母，所以錯誤。
17．（1）答案：；
解析：；八年級40名學(xué)生成績從小到大排列后，第20、21個數(shù)都在這一組，這一組的數(shù)據(jù)從小到大排列為80，80，82，83，83，84，86，86，87，88，88，89，89，89，第20、21個數(shù)分別是84，86，所以中位數(shù)。
（2）答案：他是七年級的學(xué)生；理由：七年級的中位數(shù)是81，八年級的中位數(shù)是85，83>81，83

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