數(shù)學(xué)試卷
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生先將自己的姓名?班級(jí)?考場(chǎng)/座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 把化成弧度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)角度與弧度換算關(guān)系即可得答案.
【詳解】由角度與弧度換算公式有.
故選：B
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)交集定義計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：A
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.
【詳解】.
故選：C
4. 設(shè)，則的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.
【詳解】由，則.
故選：A
5. 已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍.
【詳解】由題意.
故選：B
6. 華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績(jī)?cè)鐬槭廊怂瞥?他曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來(lái)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑.如圖是函數(shù)且的大致圖象，則函數(shù)的大致圖象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象得到、的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)平移及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】由函數(shù)且的圖象可知，，
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
而函數(shù)的圖象是由的圖象向下平移個(gè)單位得到的，結(jié)合選項(xiàng)可知只有C選項(xiàng)符合題意.
故選：C
7. 某公司2020年全年投入某項(xiàng)技術(shù)的研發(fā)資金為120萬(wàn)元，并且計(jì)劃以后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)，則該公司全年投入該項(xiàng)技術(shù)的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（ ）
參考數(shù)據(jù).
A. 2028年B. 2029年C. 2030年D. 2031年
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)第年投入元（2020年為第年），則，令，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)第年投入元（2020年為第年），則，
令，即，
所以，
則，
則第年該公司全年投入該項(xiàng)技術(shù)的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，
即年該公司全年投入該項(xiàng)技術(shù)的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元.
故選：D
8. 已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意可求得fx為偶函數(shù)，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而對(duì)于不等式恒成立，可得得，即，從而對(duì)分情況討論即可求解.
【詳解】由題意可知函數(shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>且，所以fx為偶函數(shù)，
對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，，可得其在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，由復(fù)合函數(shù)定義及偶函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
所以，則得，即，
當(dāng)x=0時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，
所以，得，故A正確.
故選：A.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 為鈍角B.
C. D. 點(diǎn)在第四象限
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)終邊所過(guò)的點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的定義及任意角定義、誘導(dǎo)公式判斷各項(xiàng)正誤.
【詳解】由題設(shè)，為第二象限角，但不一定是鈍角，A錯(cuò)；
，B對(duì)；
，C錯(cuò)；
由，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)為在第四象限，D對(duì).
故選：BD
10. 設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 的最大值為1B. 的最大值為4
C. 的最小值為2D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及“1”的代換求各項(xiàng)代數(shù)式的最值.
【詳解】由，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，A對(duì)；
由，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即最小值為4，B錯(cuò)；
由，當(dāng)時(shí)有最小值為2，C對(duì)；
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，D對(duì).
故選：ACD
11. 已知函數(shù),令函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)
B. 函數(shù)不可能有1個(gè)零點(diǎn)
C. 若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.
D. 方程有5個(gè)根
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出的圖象，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即y=fx與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可判斷A、B，由圖可知，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算得到，即可判斷C，由方程得到或，再數(shù)形結(jié)合即可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，則，
畫出的圖象如下所示：
函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即y=fx與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，由圖可知與y=fx有個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，故A正確；
當(dāng)時(shí)與y=fx有個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則，
由圖可知，且，即，所以，
則，
所以的取值范圍為，故C正確；
由，即，
即或，
由圖可得有個(gè)實(shí)數(shù)根，有個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以方程有5個(gè)根，故D正確
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.
【詳解】由，可得，，
由不等式的基本性質(zhì)可得.
因此，的取值范圍是.
故答案為：.
13. 已知，則__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)關(guān)系，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式求目標(biāo)式的值.
【詳解】由題設(shè)，，
所以.
故答案為：1
14. 如圖，在中，是以為圓心，為半徑的圓落在內(nèi)部的部分（其中在上），若的面積與扇形的面積之比為，記，則__________.
【答案】##0.6
【解析】
【分析】利用三角形、扇形面積公式及已知有，即可求結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)，，
所以.
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 化簡(jiǎn)求值：
（1）；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用有理數(shù)指數(shù)冪、根式與指數(shù)冪關(guān)系化簡(jiǎn)求值；
（2）根據(jù)齊次式，由弦化切求值即可.
【小問(wèn)1詳解】
【小問(wèn)2詳解】
16. 已知冪函數(shù)是偶函數(shù).
（1）求的解析式；
（2）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義得到方程，求出的值，再代入檢驗(yàn)即可；
（2）首先得到當(dāng)時(shí)的解析式，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出時(shí)的解析式，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，
解得或，
當(dāng)時(shí)，為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意；
綜上可得；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，所以，
又是定義在上的奇函數(shù)，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
綜上可得.
17. 已知集合，.
（1）若“”是“”充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，由題意可知，?，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）分、兩種情況討論，根據(jù)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，?br>因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以，集合是集合的真子集，
所以，，解得.
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，?，合乎題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，?，合乎題意.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【小問(wèn)2詳解】
分以下兩種情況討論：
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，解得，
因?yàn)?，則或，解得或，
此時(shí)，或.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
18. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，并且滿足下列條件：①不恒為零；②對(duì)任意，都有；③當(dāng)時(shí)，；④.
（1）證明：為奇函數(shù)；
（2）證明：在上單調(diào)遞減；
（3）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）證明見(jiàn)解析； （3）
【解析】
【分析】（1）令、，結(jié)合奇偶性定義證明結(jié)論；
（2）應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明結(jié)論；
（3）根據(jù)已知及函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性質(zhì)，將問(wèn)題化為在上恒成立，應(yīng)用換元法，及指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求左側(cè)最大值，即可得參數(shù)范圍.
【小問(wèn)1詳解】
令，則，
令，則，可得，
所以為奇函數(shù).
【小問(wèn)2詳解】
令，則，且，
所以，故在R上單調(diào)遞減；
【小問(wèn)3詳解】
由，則，
所以在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，則在上恒成立，
由，則時(shí)最大值，
所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍.
19. 設(shè)函數(shù).
（1）若，
（i）求的值；
（ii）若，求的值.
（2）已知當(dāng)時(shí)，.設(shè)函數(shù)的最小值為，求的表達(dá)式及的最大值.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2），的最大值為
【解析】
【分析】（1）（i）令，即可得到，從而求出的值，再根據(jù)平方關(guān)系計(jì)算可得；（ii）由（i）知，即可求出、，從而得解；
（2）令，，分、、三種情況討論，分別求出，即可得解
【小問(wèn)1詳解】
（i）令，則，
因?yàn)?，所以，解得?br>所以；
（ii）由（i）知，所以或，
又，所以，則，所以；
【小問(wèn)2詳解】
令，則，
所以，
令，，
當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，由，則，所以；
當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，因?yàn)?，所以，所以?br>綜上可得，且的最大值為.

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