1．下列二次根式中，為最簡(jiǎn)二次根式的是
A．B．C．D．
2．中，、、的對(duì)邊分別為、、，下列條件中，不能判定是直角三角形的是
A．B．
C．D．
3．如圖，四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，不能判斷四邊形是平行四邊形的是
A．，B．，C．，D．，
4．下列運(yùn)算正確的是
A．
B．
C．
D．
5．下列命題的逆命題中，是真命題的個(gè)數(shù)有
①如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；
②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；
③對(duì)頂角相等；
④平行四邊形的對(duì)角線互相平分
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
6．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，為△的高，則的長(zhǎng)為
A．B．C．D．
7．2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)徽取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示：如果大正方形的面積是7，小正方形的面積是2，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為，較長(zhǎng)直角邊為，那么的值為
A．B．C．D．
8．如圖，在正方形中，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的射線，分別交，于點(diǎn)，，且，，交于點(diǎn)，則下面結(jié)論：①圖形中全等的三角形只有三對(duì)；②△是等腰直角三角形；③正方形的面積等于四邊形面積的4倍；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
二、填空題（本大題共8小題，9-14題每小題2分；15、16題每小題2分，共18分．本題要求把正確結(jié)果填在規(guī)定的橫線上，不需要解答過(guò)程）
9．若使代數(shù)式有意義，則的取值范圍是 ．
10．在中，比大，則的度數(shù)為 ．
11．有一塊長(zhǎng)方形木板，木工師傅采用如圖所示的方式，在木板上截出兩塊面積分別為和的兩塊正方形木板，剩余木板的面積為 ．
12．如圖，四邊形中，，分別以，，，為直徑作半圓，已知各半圓面積為，，，則 ．
13．如圖，菱形的周長(zhǎng)為8，，為的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，則的最小值為 ．
14．如圖，在△中，，于點(diǎn)，是斜邊的中點(diǎn)，已知，，則△的面積為 ．
15．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為8，16的矩形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則折痕的長(zhǎng)為 ．
16．已知一個(gè)平行四邊形的一條對(duì)角線將其分為全等的兩個(gè)等腰直角三角形，且這條對(duì)角線的長(zhǎng)為，則另一條對(duì)角線的長(zhǎng)為 ．
三、解答題（本大題共7小題，共64分。解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、計(jì)算過(guò)程或演算步驟）
17．（16分）計(jì)算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）已知，，求的值．
18．如圖所示，是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，，．
（1）求證：．
（2）若，，求矩形的面積．
19．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．
（1）在圖（1）中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)出一個(gè)面積為13的正方形；
（2）在圖（2）中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形，使三角形三邊長(zhǎng)分別為2，，，并計(jì)算該三角形的面積．
20．（1）已知，求代數(shù)式的值；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：已知．求代數(shù)式的值．
21．2023年呼和浩特努力創(chuàng)造“宜居，宜業(yè)，宜學(xué)，宜養(yǎng)，宜游”的“五宜城市”．在大黑河，千畝花海成為網(wǎng)紅打卡地．某校八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組周末去打卡大黑河花海，如圖，四邊形為同學(xué)們看到的花海區(qū)域，為了計(jì)算這片花海的面積，該小組進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量，他們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)果：①該四邊形區(qū)域每個(gè)頂點(diǎn)都有一棵小樹(shù)，他們統(tǒng)計(jì)了各頂點(diǎn)之間小樹(shù)的數(shù)量，、兩點(diǎn)間有9棵，、兩點(diǎn)間有9棵，、兩點(diǎn)間有7棵，、兩點(diǎn)間有5棵（已知該區(qū)域的四條邊中，每相鄰跨河大橋的兩棵樹(shù)之間距離相等，都為2米）；②跨河大橋與大黑河之間的夾角為．
根據(jù)以上信息，請(qǐng)你幫他們計(jì)算該區(qū)域的面積為多少？
22．如圖，四邊形中，點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，
（1）求證：中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；
（2）如圖2，點(diǎn)是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，，點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形的形狀，并證明你的猜想．
23．如圖，已知正方形中，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，、分別為、的中點(diǎn)，連交于，交，于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）過(guò)作于點(diǎn)，連，則的值．
參考答案
一．選擇題（共8小題）
一、選擇題（本大題共8小題，1-6題每小題2分；7、8題每小題2分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1．下列二次根式中，為最簡(jiǎn)二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義進(jìn)行判斷即可．
解：、的被開(kāi)方數(shù)是小數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故該項(xiàng)不符合題意；
、的被開(kāi)方數(shù)是分?jǐn)?shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故該項(xiàng)不符合題意；
、是最簡(jiǎn)二次根式，故該項(xiàng)符合題意；
、是整數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故該項(xiàng)不符合題意；
故選：．
2．中，、、的對(duì)邊分別為、、，下列條件中，不能判定是直角三角形的是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷、；如果三角形的三邊長(zhǎng)，，，滿足或或，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，據(jù)此可判斷、．
解：、，，
，，，
不是直角三角形，符合題意；
、，
，
，
是直角三角形，不符合題意；
、，且，
，
是直角三角形，不符合題意；
、，
設(shè)，，，且，
即，
是直角三角形，不符合題意；
故選：．
3．如圖，四邊形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，不能判斷四邊形是平行四邊形的是
A．，B．，C．，D．，
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法一一判斷即可．
解：、由，，無(wú)法判斷四邊形是平行四邊形，可能是等腰梯形；本選項(xiàng)符合題意；
、由，，能判定四邊形是平行四邊形，本選項(xiàng)不符合題意；
、由，，能判定四邊形是平行四邊形，本選項(xiàng)不符合題意；
、由，，能判定四邊形是平行四邊形，本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
4．下列運(yùn)算正確的是
A．
B．
C．
D．
【分析】把各項(xiàng)的值分別計(jì)算出來(lái)，即可作出判斷．
解：．原式不能合并，不符合題意；
．，計(jì)算正確，符合題意；
．，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
．，原式錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：．
5．下列命題的逆命題中，是真命題的個(gè)數(shù)有
①如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等；
②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；
③對(duì)頂角相等；
④平行四邊形的對(duì)角線互相平分
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【分析】寫(xiě)出各個(gè)命題的逆命題，再進(jìn)行判斷是否是真命題．
解：①的逆命題：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)相等．這是假命題．
②的逆命題：對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等．這是假命題．
③的逆命題：相等的角是對(duì)頂角．這是假命題．
④的逆命題：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．這是真命題．
所以各命題的逆命題是真命題的共有1個(gè)．
故選：．
6．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，為△的高，則的長(zhǎng)為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意利用割補(bǔ)法求得△的面積，利用勾股定理算出的長(zhǎng)，再利用等面積法即可求得的長(zhǎng)．
解：由題可得：
，
，
，
解得：，
故選：．
7．2002年8月在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)徽取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示：如果大正方形的面積是7，小正方形的面積是2，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為，較長(zhǎng)直角邊為，那么的值為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)大正方形的面積即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面積即可求得的值，根據(jù)即可求解．
解：大正方形的面積是7，如圖，
，
，
直角三角形的面積是，
直角三角形的面積是，
，
，
，
故選：．
8．如圖，在正方形中，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的射線，分別交，于點(diǎn)，，且，，交于點(diǎn)，則下面結(jié)論：①圖形中全等的三角形只有三對(duì)；②△是等腰直角三角形；③正方形的面積等于四邊形面積的4倍；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求出全等三角形為：△△，△△，△△，△△；根據(jù)△△，則；四邊形的面積；根據(jù)△△，則，得，即可得解．
解：四邊形是正方形，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，
，，，
在△和△中，
，
△△；
在△和△中，
，
△△；
，
，，，
，
，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△；
同理：，
△△，
全等三角形有4對(duì)，
①不正確；
△△，
，
△是等腰直角三角形；
②正確；
△△，
四邊形的面積，
③正確；
△△，
，
，
，
，
，
④正確．
正確的選項(xiàng)為：②③④，共3個(gè)．
故選：．
二、填空題（本大題共8小題，9-14題每小題2分；15、16題每小題2分，共18分．本題要求把正確結(jié)果填在規(guī)定的橫線上，不需要解答過(guò)程）
9．若使代數(shù)式有意義，則的取值范圍是 且 ．
【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．
解：由題意得：且，
解得：且，
故答案為：且．
10．在中，比大，則的度數(shù)為 ．
【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角之和為，即可求出該平行四邊形各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．
解：畫(huà)出圖形如下所示：
則，
又，
，，
．
故答案為：．
11．有一塊長(zhǎng)方形木板，木工師傅采用如圖所示的方式，在木板上截出兩塊面積分別為和的兩塊正方形木板，剩余木板的面積為 15 ．
【分析】先求出正方形的邊長(zhǎng)，即可求出剩余木板的面積．
解：由題意得兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，，
剩余木板的面積為，
故答案為：15．
12．如圖，四邊形中，，分別以，，，為直徑作半圓，已知各半圓面積為，，，則 3 ．
【分析】根據(jù)圓的面積公式得到，，根據(jù)勾股定理得到，，計(jì)算即可．
解：連接，如圖，
由題意得，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
故答案為：3．
13．如圖，菱形的周長(zhǎng)為8，，為的中點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，則的最小值為 ．
【分析】找出點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，此時(shí)最小，且就是的最小值，求出即可．
解：連接交于，連接，，
四邊形是菱形，
線段、互相垂直平分，
、關(guān)于對(duì)稱，則，
，
即就是的最小值．
，，
是等邊三角形，
，
．
在中，，
，
的最小值為．
故答案為：．
14．如圖，在△中，，于點(diǎn)，是斜邊的中點(diǎn)，已知，，則△的面積為 ．
【分析】根據(jù)已知條件得，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，求得，得到，于是求得結(jié)論．
解：，，
，，
，
，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
故答案為：．
15．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為8，16的矩形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則折痕的長(zhǎng)為 ．
【分析】作于點(diǎn)，由四邊形是矩形，所以，而，由折疊得，由勾股定理得，求得，則，所以，求得，于是得到問(wèn)題的答案．
解：作于點(diǎn)，
四邊形是矩形，
，，
四邊形是矩形，，
，，
，
由折疊得，，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
故答案為：．
16．已知一個(gè)平行四邊形的一條對(duì)角線將其分為全等的兩個(gè)等腰直角三角形，且這條對(duì)角線的長(zhǎng)為，則另一條對(duì)角線的長(zhǎng)為 或 ．
【分析】分兩種情形：①這個(gè)平行四邊形是正方形，②這個(gè)平行四邊形的四個(gè)角分別為，，，，結(jié)合題意分別求解即可．
解：①當(dāng)這個(gè)平行四邊形是正方形時(shí)，如圖，
一條對(duì)角線的長(zhǎng)為，
另一條對(duì)角線長(zhǎng)為．
②當(dāng)這個(gè)平行四邊形的四個(gè)角分別為，，，時(shí)，如圖，
此時(shí)，
，
過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，
，
，
．
綜上所述，另一條對(duì)角線長(zhǎng)為或．
故答案為：或．
三、解答題（本大題共7小題，共64分。解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、計(jì)算過(guò)程或演算步驟）
17．（16分）計(jì)算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）已知，，求的值．
【分析】（1）先化簡(jiǎn)再合并同類二次根式即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算，再合并即可求解；
（3）先化簡(jiǎn)再合并同類二次根式即可求解；
（4）利用完全平方公式變式，再整體代入即可求解．
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18．如圖所示，是矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，，．
（1）求證：．
（2）若，，求矩形的面積．
【分析】（1）由題意可證四邊形是平行四邊形，通過(guò)證明四邊形是菱形，可得；
（2）由題意可得，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，，根據(jù)矩形的面積公式可求矩形的面積．
【解答】（1）證明：
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形，
，
四邊形是菱形，
，
（2），且四邊形是菱形
，
，
，且
，
19．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．
（1）在圖（1）中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)出一個(gè)面積為13的正方形；
（2）在圖（2）中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)三角形，使三角形三邊長(zhǎng)分別為2，，，并計(jì)算該三角形的面積．
【分析】（1）利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格得出符合題意的圖形；
（2）利用勾股定理結(jié)合網(wǎng)格得出符合題意的圖形．
解：（1）如下圖即為所求：
面積為13的正方形的邊長(zhǎng)為，
，
如圖所示的四邊形即為所求；
（2）如下圖即為所求
，，
如圖所示的三角形即為所求；
．
20．（1）已知，求代數(shù)式的值；
（2）先化簡(jiǎn)，再求值：已知．求代數(shù)式的值．
【分析】（1）根據(jù)已知和二次根式的性質(zhì)求出、的值，把、的值代入計(jì)算即可；
（2）先把所給式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把的值代入化簡(jiǎn)結(jié)果中求值即可．
解：（1），
，
，則
；
（2）
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，
原式．
21．2023年呼和浩特努力創(chuàng)造“宜居，宜業(yè)，宜學(xué)，宜養(yǎng)，宜游”的“五宜城市”．在大黑河，千畝花海成為網(wǎng)紅打卡地．某校八年級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組周末去打卡大黑河花海，如圖，四邊形為同學(xué)們看到的花海區(qū)域，為了計(jì)算這片花海的面積，該小組進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量，他們發(fā)現(xiàn)如下結(jié)果：①該四邊形區(qū)域每個(gè)頂點(diǎn)都有一棵小樹(shù)，他們統(tǒng)計(jì)了各頂點(diǎn)之間小樹(shù)的數(shù)量，、兩點(diǎn)間有9棵，、兩點(diǎn)間有9棵，、兩點(diǎn)間有7棵，、兩點(diǎn)間有5棵（已知該區(qū)域的四條邊中，每相鄰跨河大橋的兩棵樹(shù)之間距離相等，都為2米）；②跨河大橋與大黑河之間的夾角為．
根據(jù)以上信息，請(qǐng)你幫他們計(jì)算該區(qū)域的面積為多少？
【分析】先證明△為等邊三角形，米，得出△為直角三角形，過(guò)作于，求出米，進(jìn)而求出面積．
解：連接，
由題意得：米，米，米，，
，，
△為等邊三角形，
米，
在△中，，即，
△為直角三角形，
（平方米），
過(guò)作于，
△中，米，米，
米，
（平方米），
該區(qū)域面積為（平方米）．
22．如圖，四邊形中，點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，
（1）求證：中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；
（2）如圖2，點(diǎn)是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，，點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形的形狀，并證明你的猜想．
【分析】（1）連接、由點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，同理知、，據(jù)此可得、，即可得證；
（2）連接、，證得，由，知，結(jié)合四邊形是平行四邊形即可得證．
【解答】（1）證明：如圖1中，連接．
點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，
，，
點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，
，，
，，
中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；
（2）解：四邊形是菱形，理由如下：
如圖2，連接、，
，
，即，
在和中，
，
，
，
點(diǎn)，，分別為邊，，的中點(diǎn)，
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形．
23．如圖，已知正方形中，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，、分別為、的中點(diǎn)，連交于，交，于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）過(guò)作于點(diǎn)，連，則的值．
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)至，且使，連接，則，由證明，得出，證出為的中位線，得出，得出，即可得出；
（3）過(guò)點(diǎn)作交于，由證明，得出，，證出是等腰直角三角形，由勾股定理得出，即可得出答案；
【解答】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
，，
，
，
，
；
（2）證明：延長(zhǎng)至，且使，連接，如圖1所示：
則，
四邊形是矩形，
，，，
在和中，，
，
，
，，
為的中點(diǎn)，
為的中位線，
，
；
（3）解：過(guò)點(diǎn)作交于，如圖2所示：
則，
，
，
，
，
，，
由角的互余關(guān)系得：，
，
在和中，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
題號(hào)
1
2
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答案
C
A
A
B
B
D
A
D

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