命題：安慶市高考命題研究課題組
考試時間120分鐘，滿分150分
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡，再利用復(fù)數(shù)模的定義即可求得的值.
【詳解】因為，
所以.
故選：B.
2. 已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，然后利用列出方程即可得出答案.
【詳解】，
又，所以，得.
故選：C.
3. 若將函數(shù)圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于原點成中心對稱，則的最小正值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得圖象變換后的函數(shù)解析式，根據(jù)對稱性求得正確答案.
【詳解】，
將函數(shù)的圖象向右平移個單位得
，
由該函數(shù)為奇函數(shù)可知，
即，所以的最小正值為.
故選：A
4. 已知等比數(shù)列的前項和為，若，且與的等差中項為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得出的值，結(jié)合已知條件求出的值，可求出、的值，再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求得的值.
【詳解】因為等比數(shù)列的前項和為，設(shè)其公比為，
由已知，故，所以，，則，
故，所以，，故.
故選：D.
5. 已知平面向量，則“”是“在方向上的投影向量為”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)投影向量的定義，寫出在方向上的投影向量為，然后結(jié)合條件即可判定.
【詳解】由于在方向上的投影向量，
若，則，故，
若，則，
故選：C.
6. 函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線但又不與該直線相交，則（ ）
A. 函數(shù)不具有奇偶性
B.
C. 函數(shù)的值域為
D. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出，，然后利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】函數(shù)的定義域為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，A錯誤；
由函數(shù)的圖象過原點，有，即，所以，由于的圖象無限接近直線但又不與該直線相交，故，且，故，于是B，C錯誤；
由上面的分析得出函數(shù)，顯然的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D正確；
故選：D.
7. 設(shè)事件為兩個隨機事件，，且，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用條件概率公式得出，然后利用公式化簡得出結(jié)論.
【詳解】由可得，
又，
所以，
所以，即，
即，于是.
故選：B.
8. 已知曲線，直線，若與有三個交點，且一個交點平分另兩個交點連成的線段，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將直線與曲線聯(lián)立，得出方程，然后韋達定理得出，分類討論即可得出答案.
【詳解】顯然與交于點，由，得，得或，設(shè)另外兩個點為，則，不妨設(shè)，已知一個交點平分另兩個交點連成的線段，
當時，，此時，則，不合題意；
當時，，得，解得.
又，所以不成立，
故選：A.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 某市為了了解一季度居民的用水情況，隨機抽取了若干居民用戶的水費支出（單位：元）進行調(diào)查，將所得樣本數(shù)據(jù)分為4組：，整理得頻率分布直方圖如圖所示，則（ ）
A. 樣本中水費支出位于區(qū)間的頻率為0.03
B. 按分層抽樣，從水費支出位于區(qū)間和的用戶中共抽取16戶，則應(yīng)從水費支出在的用戶中抽4戶
C. 水費支出的中位數(shù)的估計值為45
D. 若從該市全體居民用戶中隨機抽取5戶，以事件發(fā)生的頻率作為概率，則水費支出位于區(qū)間的用戶數(shù)的估計值為3
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)頻率之和為1即可求解A,根據(jù)抽樣比即可求解B,根據(jù)中位數(shù)的計算即可求解C,根據(jù)二項分布的期望公式即可求解D.
【詳解】因，所以樣本中支出在的頻率為A錯誤；
，B正確：
因，中位數(shù)的估計值為，C錯誤；
記抽出的5戶中一季度水費支出位于區(qū)間的用戶數(shù)為，根據(jù)題意可知，D正確.
故選:BD.
10. 如圖，在正三棱柱中，，點為正三棱柱表面上異于點的點，則（ ）
A. 存在點，使得
B. 直線與平面所成的最大角為
C. 若不共面，則四面體的體積的最大值為
D. 若，則點的軌跡的長為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于A選項，當點為中點時，利用向量證明即可；對于B選項，當點位于點時，此時線面角為，大于；對于C選項，當點位于點（或棱上）時，體積最大，為；對于D選項，先判斷出點的軌跡為三段圓弧，然后求出長度即可.
【詳解】對于A選項，當點為中點時，所以，故A正確；
對于B選項，當點位于點時，為直線與平面所成角，故B錯誤；
對于C選項，當點位于點（或棱上）時，點到平面的距離最遠，
此時四面體的體積最大，以點為例，此時，故C正確；對于D選項，若，如圖，
在棱上取點，使，在棱上取點使，
則點的軌跡由圓弧構(gòu)成，且其所在圓的半徑依次為，
，圓心角依次為，
圓弧的長分別為，故點的軌跡的長為，故D正確；
故選：ACD.
11. 若實數(shù)滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】設(shè)函數(shù)，利用其為增函數(shù)，有一個零點得到，即可判斷A；由已知可得，可得，即可判斷B；由及，可得，即可判斷C；由B選項可得，進而得，即可判斷D.
【詳解】設(shè)函數(shù)，顯然為增函數(shù)，
，由已知，故，故A正確；
由，有，故，
則，故，故B正確；
由，得，故，故C錯誤；
由得，則，
由于，得，故D正確.
故選：ABD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知圓與圓相交于兩點，則四邊形的面積等于__________.
【答案】9
【解析】
【分析】法一：準確畫圖，可得四邊形是邊長為3正方形，進而求得其面積；
法二：將兩圓方程做差求相交弦方程，再應(yīng)用弦心距、半徑與弦長關(guān)系即可求得，利用兩點間距離公式求得，進而求得四邊形的面積.
【詳解】由已知，圓，圓，
圓心，半徑，圓心，半徑，
法一：如圖，準確畫圖，容易發(fā)現(xiàn)四邊形是邊長為3正方形，其面積為9；
法二：將兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程為：
到距離為，所以，即，
又，
所以，四邊形的面積.
故答案為：9.
13. 數(shù)列滿足，則使得的最小正整數(shù)的值為__________.
【答案】6
【解析】
【分析】將條件變形，然后取對數(shù)，得出為以為首項，2為公比的等比數(shù)列，然后得出，即可得出答案.
【詳解】因為，所以，則，
又，所以為以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，則使得，
計算得最小正整數(shù)值為6，
故答案為：6.
14. 將3個1，3個2，3個3共9個數(shù)分別填入如圖方格中，使得每行、每列的和都是3的倍數(shù)的概率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】古典概型求概率，先求所有情況共有種，而每行，每列的和為3的倍數(shù)有兩種可能，即每行每列數(shù)字相同或1，2，3各一個，利用排列組合知識求出種類數(shù)即可.
【詳解】將3個1，3個2，3個3共9個數(shù)填入一共有種方法.
每行，每列的和為3的倍數(shù)有兩種可能：
①每行或每列的數(shù)字相同，有種方法，
②每行或每列的數(shù)字1，2，3各一個，有種方法.
所以每行，每列的和都是3的倍數(shù)的概率為.
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. Deepseek席卷全球引發(fā)了AI浪潮.某中學(xué)為豐富學(xué)生個性化學(xué)習(xí)生活，組織成立Deepseek應(yīng)用學(xué)生社團組織，成立數(shù)據(jù)運用、模型設(shè)計、場景分析、遷移學(xué)習(xí)等四個學(xué)生社團并計劃招募成員，由于報名人數(shù)超過計劃數(shù)，將采用隨機抽取的方法確定最終成員.下表記錄了四個社團的招募計劃人數(shù)及報名人數(shù).
甲同學(xué)報名參加這四個學(xué)生社團，記為甲同學(xué)最終被招募的社團個數(shù)，已知，.
（1）求甲同學(xué)至多獲得三個社團招募的概率；
（2）求甲同學(xué)最終被招募的社團個數(shù)的期望.
【答案】（1）
（2）2.3
【解析】
【分析】（1）由于事件“甲同學(xué)至多獲得三個社團招募”與事件“”是對立的，通過對立事件概率公式求解即可；
（2）根據(jù)，，列出關(guān)于和方程，求出和，然后求出的分布列或者事件間的關(guān)系直接求解.
【小問1詳解】
由于事件“甲同學(xué)至多獲得三個社團招募”與事件“”是對立的，
所以甲同學(xué)至多獲得三個社團招莫的概率是
【小問2詳解】
解法1：設(shè)甲同學(xué)被數(shù)據(jù)運用，模型設(shè)計，場景分析，遷移學(xué)習(xí)等各社團招?依次記作事件.由題意可知，
，
，
又，解得，則
,
，
，
所以的分布列為：
.
解法2：設(shè)甲同學(xué)被數(shù)據(jù)運用，模型設(shè)計，場景分析，遷移學(xué)習(xí)等各社團招募依次記作事件.由題意可知，
，
，
又，解得.
設(shè)甲同學(xué)報名數(shù)據(jù)運用，模型設(shè)計，場景分析3個社團，最終被招募的社團個數(shù)，由于其被招募的概率均為，所以服從二項分布，故；甲同學(xué)被遷移學(xué)習(xí)社團招募的概率為，最終被遷移學(xué)習(xí)社團招募的個數(shù)為，則也服從二項分布，，從而，
故.
16. 在中，角所對的邊分別為，且.
（1）證明：；
（2）若角為銳角，且的面積為，求邊長的大小.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角轉(zhuǎn)化可得，由此可得.
（2）根據(jù)條件結(jié)合邊角轉(zhuǎn)化可得，分析可得為等腰直角三角形，根據(jù)可得結(jié)果.
【小問1詳解】
證法1：由正弦定理得，.
∵
，
∴，即，
∵，∴，故，
∵，∴，
∴或，
∴或（舍），故.
證法2：由正弦定理得，，
由余弦定理得，，
∴，即，
∴，
∴.
∵，∴，即，
∵，∴，
∴或，
∴或（舍），故.
【小問2詳解】
由，得，即，
∴，
∵，∴，故，
∵，∴，即，故，
∴，即，故，，
∴為等腰直角三角形，
∵，∴.
17. 如圖，在矩形中，為中點，在邊上，且，將沿翻折至，得到五棱錐為中點.

（1）求證：平面：
（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）如圖，取中點，連接，然后通過證明平面平面，進而證明平面；
（2）取中點，連接，然后建立空間直角坐標系，利用空間向量求解.
【小問1詳解】
證明：如圖，取中點，連接，

因為在矩形中，，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又，所以，
因為平面，所以平面，
在中，分別為的中點，
所以，
因為平面，所以平面，
因為平面平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；
【小問2詳解】
取中點，連接，如圖所示，

因為在矩形中，，
所以在中，，且，
因為平面平面，且平面平面，
所以平面，
以為坐標原點，所在直線為軸，并過點分別作與平行直線為軸，與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)題意可得：
，
所以，
設(shè)平面的法向量為，有
，所以，
取，得平面的一個法向量為
又，設(shè)直線與平面所成角的，
則
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
18. 已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，過的直線交于兩點.
（1）求拋物線的方程：
（2）求證：拋物線在兩點處的切線互相垂直；
（3）設(shè)為線段的中點，以線段為直徑的圓交拋物線在處的切線于點，試判斷是否為定值，并證明你的結(jié)論.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）為定值，證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線和橢圓焦點坐標的求法列出方程求解；
（2）設(shè)直線的方程和，然與拋物線聯(lián)立，韋達定理，得出.然后求二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切線的斜率表示出來即可得出答案；
（3）得出兩條切線方程，然后結(jié)合題意和幾何性質(zhì)將需要求解的代數(shù)式表達出來，即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
易知，拋物線開口向上，且焦點坐標為，
所以橢圓的焦點也在軸上，則
由，解得：，
所以拋物線的方程為.
【小問2詳解】
因為直線與拋物線有兩個交點，所以其斜率必存在，
設(shè)直線的方程為
由，則
對求導(dǎo)得，
設(shè)拋物線在兩點處的切線斜率分別為，
則，
即拋物線在兩點處的切線互相垂直.
【小問3詳解】
解法1：由（2）可知即，
則與軸的交點坐標為，
于是
于是，
所以為定值.
解法2：設(shè)拋物線在兩點的切線，切線交點為，
故，
聯(lián)立解得點坐標為，
由（2）知點坐標為，且，所以，
故，即，
因為，所以
，
即，故在中，，
所以，即，
所以為定值.
解法3：因為，
故
，
又，所以，
，
即，
由（2）知，所以，
故，即，
所以為定值.
19. 定義在同一數(shù)集上的函數(shù)，按一定順序排成一列，稱為數(shù)集上的函數(shù)列，記為的導(dǎo)函數(shù)為.
（1）若滿足，證明：為等比數(shù)列：
（2）定義在上的函數(shù)列滿足，且.
①若，設(shè)，證明：：
②若，證明：.
【答案】（1）證明見解析
（2）①證明見解析；②證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，然后利用等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）①構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，結(jié)合條件判斷其單調(diào)性，得出，然后錯位相減法即可完成證明；
②利用①構(gòu)造的函數(shù)得出，然后證明即可.
【小問1詳解】
由，得，顯然，
又，故為首項為1，公比為2的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
① 設(shè)，則，
因為時，所以在恒成立，
故上單調(diào)遞增，
當，
得，故，
令，
則，
故，由于，
得；
②當時，左邊右邊都等于0，顯然成立；
當時，由于在上單調(diào)遞增，
若，則，即，
此時，由①得，所以，
若，則，即，
此時，所以，故，
下證：當，且時，，令，
即證明：.
令，故在上單調(diào)遞減，
故時，，即，
時，，即，
從而，
故.
社團
計劃人數(shù)
報名人數(shù)
數(shù)據(jù)運用
50
100
模型設(shè)計
60
場景分析
160
遷移學(xué)習(xí)
160
200
0
1
2
3
4

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