（時量：120分鐘 滿分：150分）
命題人：毛水
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由一元二次不等式與一元一次不等式，求得集合，利用交集，可得答案.
【詳解】由題意可得，
則.
故選：C.
2. 以為漸近線的雙曲線可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用漸近線的求法，直接求出各個選項的漸近線方程，即可求解.
【詳解】對于A，由得漸近線方程為，故A錯誤；
對于B，由得漸近線方程為，故B正確；
對于C，由得漸近線方程為，故C錯誤；
對于D，由得漸近線方程為，故D錯誤.
故選：B.
3. 已知平面向量，則（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用數(shù)量積的坐標運算即可求得.
【詳解】.
故選：D.
4. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由同角三角函數(shù)的商式與正弦函數(shù)的和角公式，根據(jù)方程思想，利用正弦函數(shù)的差角公式，可得答案.
【詳解】由，得，即，
由，得，故，
則.
故選：B.
5. 甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老師詢問成績，老師對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍.”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的.”從這兩個回答分析，5人的名次排列的情形有（ ）
A. 36種B. 48種C. 54種D. 64種
【答案】C
【解析】
【分析】由排列數(shù)計算，根據(jù)分步乘法原理，可得答案.
【詳解】分三步完成：冠軍有種可能，乙的名次有種可能，余下3人有種可能，
所以5人的名次排列有（種）不同情況，
故選：C.
6. 已知，函數(shù)，在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分別討論以及的情況，結(jié)合零點的定義代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時，，若無解，則或；
當(dāng)時，，若無解，則.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
7. 已知某正三棱柱外接球的表面積為，則該正三棱柱體積的最大值為（ ）
A. 1B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)球的表面積公式可得，即可根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)以及勾股定理求得高，利用體積公式可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解最值.
【詳解】設(shè)外接球的半徑為，則，解得.
設(shè)正三棱柱的底面三角形的邊長為，則該三角形外接圓的半徑為，
故該正三棱柱的高為，
所以該正三棱柱的體積.
由，解得.
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在時取得最大值，
故，所以該正三棱柱體積的最大值為1.
故選：A.
8. 記數(shù)列的前項和為，若，且，則的最小值為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用結(jié)合分組求和、裂項求和求，通過規(guī)律探尋得知是整數(shù)，進而得出是偶數(shù)的平方，欲使取最小整數(shù)值，則即可，再舉例說明的可行性.
【詳解】數(shù)列中，由，得，
即，
所以
，
又，所以
又由，得且，
可知，
所以是整數(shù)，于是是整數(shù)，且是偶數(shù)的平方，則，當(dāng)取等號.
下面舉例說明可以取到，
，
，
此時，
所以的最小值為3.
故選：D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知，都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的乘法運算即可判斷A；舉出反例即可判斷BC；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算及復(fù)數(shù)的模的計算公式即可判斷D.
【詳解】設(shè)，
對于A， 若，則，故，故A正確；
對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，故C錯誤；
對于D，若，則，所以，
，
同理，所以，所以，故D正確.
故選：AD.
10. 下列四棱錐的所有棱長都相等，，，，，是四棱錐的頂點或所在棱的中點，則直線不與平面垂直的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由線面垂直的判定，結(jié)合向量說明線線的不垂直，逐個判斷即可.
【詳解】由條件可知四棱錐為正四棱錐，
對于A：

設(shè)的交點為，由正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征可知：面，
易知：，又，為平面內(nèi)兩條相交直線，
所以直線與平面垂直；
對于B：

取的中點為，連接，
有中位線性質(zhì)可知：，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
可證直線平行平面；
對于C：

設(shè)棱長為2，，
所以，
所以與不垂直，所以直線不與平面垂直；
對于D：

設(shè)棱長為2，，，
所以
所以與不垂直，所以直線不與平面垂直；
故選：BCD.
11. 已知函數(shù)，則（ ）
A.
B. 對任意實數(shù)
C.
D. 若直線與函數(shù)和的圖象共有三個交點，設(shè)這三個交點的橫坐標分別為，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】代入化簡即可求解ABC，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可大致判斷函數(shù)和的圖象，且為偶函數(shù)，結(jié)合圖象可判斷，且，再解不等式即可判斷D.
【詳解】對A，，故A正確；
對B，，而，故B錯誤；
對C，，故C正確；
對D，，令，得，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.
所以在處取得極小值1，
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)；當(dāng).
所以函數(shù)的大致圖象如圖所示，

不妨設(shè)，由為偶函數(shù)可得，
直線與和的圖象有三個交點，顯然，
令，整理得，
解得或（舍去），
所以，即，
又因為，所以，故D正確.
故選：ACD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知實數(shù)滿足，且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】由對數(shù)式的定義，利用對數(shù)的運算律與換底公式，可得答案.
【詳解】由可知，
所以，即，所以.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)，且的最小值為，則__________.
【答案】1
【解析】
【分析】先化簡函數(shù)得，再根據(jù)題意可得函數(shù)的最小正周期，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性即可得解.
【詳解】因為
，
又，且的最小值為，
所以函數(shù)的最小正周期，由，
所以.
故答案為：1.
14. 已知過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點（在第一象限），以為直徑的圓與拋物線的準線相切于點.若為坐標原點，則的面積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求得，由條件推得軸，由推出，得到這些的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式求得，即得的面積.
【詳解】
依題意，得，則拋物線的方程為.
由題意可知與拋物線準線垂直，
在中，，則，
則直線的方程為.
由消去并化簡整理得：
易得，則，
又原點到直線的距離為，
故.
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 中國是茶的故鄉(xiāng)，茶文化源遠流長，博大精深.某興趣小組，為了了解當(dāng)?shù)鼐用駥炔璧膽B(tài)度，隨機調(diào)查了100人，并將結(jié)果整理如下：
單位：人
（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡有關(guān)？
（2）以樣本估計總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當(dāng)?shù)叵矚g喝茶的人群中，隨機選出2人參加茶文化藝術(shù)節(jié).抽取的2人中，35歲以下的人數(shù)記為，求的分布列與期望.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
【答案】（1）不能 （2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表計算得出的值即可得出結(jié)論；
（2）易知的所有取值可能為0，1，2，分別計算出對應(yīng)概率可得分布列及其期望值.
【小問1詳解】
零假設(shè)為：該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關(guān)系.
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得.
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認為成立，據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關(guān)系.
【小問2詳解】
由題意可知，的取值可能為.
則.
所以的分布列為
所以的期望為.
16. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.
（1）判斷的形狀；
（2）設(shè)，且是邊的中點，求當(dāng)最大時，的面積.
【答案】（1）等腰三角形
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二倍角公式化簡可得，即可根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解得解，
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式可得，則，結(jié)合邊的關(guān)系可得為正三角形，即可求解.
【小問1詳解】
由二倍角公式得，
所以，
整理得，即.
因為，所以，即，即為等腰三角形.
【小問2詳解】
由（1）及題設(shè)，有，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
又為三角形內(nèi)角，所以，即的最大值為，此時，又，所以，
故，可得為直角三角形且.
又由（1）可得為正三角形，
所以當(dāng)最大時，的面積.
17. 在三棱錐中，平面平面平面.

（1）求證：；
（2）若二面角的余弦值為，且，求.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）過作于，利用面面垂直推出線面垂直，即得，再由平面推出，可得平面即可證得結(jié)論；
（2）法1：過作于，連接，證明即為二面角的平面角，即得，再設(shè)，將分別用的三角函數(shù)表示，借助于直角，求得，即可求出；法2：依題建系，設(shè)，求出或用的三角函數(shù)表示出相關(guān)點的坐標，利用空間向量夾角公式求得，即可.
【小問1詳解】
如圖，過作于.
因為平面平面，平面平面平面
所以平面.
又平面，所以.
又平面平面，所以.
因為平面，且，
所以平面，又平面，所以.
【小問2詳解】
法1：過作于，連接，
由（1）平面，平面，可得，
因平面，，故平面，
又平面，所以.
所以即為二面角的平面角，
所以則.
又由（1）平面，平面，則，
因平面，平面，則.
設(shè)，因為，，則，
，
所以，
解得，則，從而.
法2：由（1）可得.如圖，以為原點，所在
直線分別為軸，軸建立空間直角坐標系，
記二面角為，設(shè)，因為，
所以，
則，
所以.
設(shè)平面的法向量為，則
即令，得，
易知平面的一個法向量為，又，
所以，
解得，則，所以.
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）若恒成立，求的值；
（3）求證：.
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；極小值0，無極大值
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得極值；
（2）分情況討論函數(shù)的單調(diào)性與最值情況，可得參數(shù)值；
（3）利用放縮法，由，可知若證，即證，再根據(jù)，可得證.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
則，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
在處取得極小值0，無極大值.
【小問2詳解】
由題意得，
①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，與矛盾；
②當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以，
因為恒成立，所以.
記，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，所以.
又，所以，所以.
【小問3詳解】
先證，設(shè)，則，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即.
所以，再證.
由（2）可知，當(dāng)時等號成立，
令，則，
即，
所以，
累加可得，
所以.
19. 已知點，動點滿足，動點的軌跡記為.
（1）求的方程；
（2）直線與軸交于點為上的動點，過作的兩條切線，分別交軸于點.
①證明：直線的斜率成等差數(shù)列；
②經(jīng)過三點，是否存在點，使得？若存在，求；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）①證明見解析；②存，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義，可得曲線的方程.
（2）設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立.
①根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，由可以得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達定理，可得，再得，所以直線的斜率成等差數(shù)列.
②法一：分別用表示出的坐標，結(jié)合①中的，，根據(jù)求的值即可；
法二：分別用表示出的坐標，結(jié)合①中的，，根據(jù)求的值即可；
法三：分別用表示出的坐標，結(jié)合①中的，，根據(jù)求的值即可；
法四：分別用表示出的坐標，結(jié)合①中的，，根據(jù)求的值即可.
【小問1詳解】
因為，
所以的軌跡是以為焦點，且長軸長為4的橢圓，
設(shè)的軌跡方程為，則，可得.
又，所以，所以的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，易知過且與相切的直線斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去得，
由，得
設(shè)兩條切線的斜率分別為，則
①證明：設(shè)的斜率為，則，
因為，所以的斜率成等差數(shù)列.
②法1：在中，令，得，所以，
同理，得，所以的中垂線為.
易得的中點為，所以的中垂線為，
聯(lián)立解得，
所以，，
要使，則，即，
整理得，
而，
所以，解得，因此，
故存在符合題意的點，使得，此時.
法2：在中，令，得，因此，
同理可得，所以的中垂線為.
易得的中點為，所以的中垂線為，
聯(lián)立解得，
因為，所以，即，
而，
所以，解得，因此，
故存在符合題意的點，使得，此時.
法3：要使，即或，
從而，又，所以，
因為，
所以，解得，所以，
故存在符合題意的點，使得，此時.
法4：要使，即或，從而.
在中，令，得，故，同理可得，因此，
所以，
故，即，
整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，故存在符合題意的點，使得，
此時.法5：要使，即或，從而.
在中，令，得，故，同理可得，
由等面積法得，
即，整理得，
所以，整理得，解得或（舍去），
因此，故存在符合題意的點，使得，
此時.
年齡段
態(tài)度
合計
不喜歡喝茶
喜歡喝茶
35歲以上（含35歲）
30
30
60
35歲以下
25
15
40
合計
55
45
100
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2

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