1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知全集是實(shí)數(shù)集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A.B.C.D.
2.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（ ）
A.B.C.D.
3.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的角平分線交線段于點(diǎn)，則（ ）
A.B.C.D.
4.如圖，已知A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則（ ）
A.B.
C.D.平面MNQ
5.已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
6.已知，則（ ）
A.B.C.D.
7.已知A，B是直線：上的兩點(diǎn)，且，P為圓：上任一點(diǎn)，則面積的最大值為（ ）
A.B.C.D.
8.定義：表示p、q，r中的最小值.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足，，則（ ）
A.的最大值是B.的最大值是
C.的最小值是D.的最小值是
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.下列命題正確的是（ ）
A.數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為6
B.已知隨機(jī)變量，若，則
C.對(duì)于隨機(jī)事件A，B，若，，，則A與B相互獨(dú)立
D.已知采用分層隨機(jī)抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)為172，方差為120，女生樣本平均數(shù)為165，方差為120，則總體樣本方差為120
10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A.在上單調(diào)遞增
B.在上有4個(gè)零點(diǎn)
C.
D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象
11.設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和.若，，且為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B.
C.D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.現(xiàn)有5人通過(guò)3個(gè)不同的閘機(jī)進(jìn)站乘車(chē)，每個(gè)閘機(jī)每次只能過(guò)1人，要求每個(gè)閘機(jī)都要有人通過(guò)，則有______種不同的進(jìn)站方式（用數(shù)字作答）.
13.已知菱形的邊長(zhǎng)為，，沿對(duì)角線將菱形折起，使得二面角為鈍二面角，且折后所得四面體外接球的表面積為，則二面角的余弦值為_(kāi)_____.
14.已知斜率為的直線與雙曲線：的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B，，直線與雙曲線E的左、右兩支分別交于點(diǎn)D，C，AC交BD于點(diǎn)P，若點(diǎn)P恒在直線：上，則雙曲線E的離心率為_(kāi)_____.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15.（13分）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增？
（2）若函數(shù)存在極大值，極小值，求證：
16.（15分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，.
（1）求證：平面平面.
（2）若，，，在棱AC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角的大小為45°？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
17.（15分）已知拋物線：，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，.
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；
（2）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與直線OA，OB交于點(diǎn)M，N，求證：以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
18.（17分）馬爾可夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德雷·馬爾可夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無(wú)關(guān)，即.已知甲盒中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙盒中裝有2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒中，重復(fù)n次這樣的操作.記甲盒中黑球的個(gè)數(shù)為，恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.
（1）求，和，；
（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列（且）；
（3）求的期望（用n表示，且）.
19.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，定義：，兩點(diǎn)間的“直角距離”為.
（1）填空（直接寫(xiě)出結(jié)果）：
①若，，則______；
②到坐標(biāo)原點(diǎn)的“直角距離”等于1的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是______；
③記到，兩點(diǎn)的“直角距離”之和為4的動(dòng)點(diǎn)軌跡為曲線G，則曲線G所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_____.
（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)B是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo).
（3）對(duì)平面上給定的兩個(gè)不同的點(diǎn)，，是否存在點(diǎn)，同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：①；②.
若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案
一、選擇題
1.【答案】B
【解析】.
2.【答案】A
【解析】，.
3.【答案】A
【解析】如圖，因?yàn)榈慕瞧椒志€交線段于點(diǎn)，所以
由正弦定理得，.
又因?yàn)?，?br>所以，即.
不妨設(shè)，，則，解得，
所以.
由題意得，，所以，即.
4.【答案】C
【解析】如圖，記正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)為C，F(xiàn)，連接BC，交MN于點(diǎn)O，連接EF，交BC于點(diǎn)D，連接，.
因?yàn)镼，D為AC，BC的中點(diǎn)，則，又因?yàn)镼D，QN，QM，交于同一點(diǎn)Q，即AB與QN，QM，均不平行，故A，B錯(cuò)誤；
若平面MNQ，因?yàn)槠矫鍭BC，平面平面，所以，又因?yàn)锳B與不平行，所以假設(shè)不成立，故D錯(cuò)誤；
因?yàn)樗倪呅蜟EBF為正方形，所以，因?yàn)镸，N為所在棱的中點(diǎn)，所以，則，又因?yàn)槠矫鍯EBF，且平面CEBF，所以，因?yàn)椋珺C，平面ABC，所以平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，所以，故C正確.
5.【答案】C
【解析】由題意可得，由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，
即，有，
整理得.
令，則，
所以數(shù)列單調(diào)遞減，故是數(shù)列的最大項(xiàng)，
則的取值范圍為
6.【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以，則，
所以，解得.
所以，
所以.
7.【答案】B
【解析】設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，圓心D到直線l的距離為h，則，
面積的最大值為.
8.【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以在a，b，c中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為1或3.
又因?yàn)?，所以在a，b，c中，負(fù)數(shù)為1個(gè)，正數(shù)為2個(gè).
不妨設(shè)，則.
因?yàn)椋?
因?yàn)?，所以，則，
故的最大值是，無(wú)最小值.
二、選擇題
9.【答案】BC
【解析】對(duì)于A，由于，則數(shù)據(jù)4，5，6，7，8，8的第50百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，由于，則，故B正確.對(duì)于C，若，則有，變形可得，則與相互獨(dú)立，故C正確.對(duì)于D，分層抽樣的平均數(shù)，按分層抽樣樣本方差的計(jì)算公式，，故D錯(cuò)誤.
10.【答案】ABC
【解析】由題圖可知，，所以，或，.
因?yàn)?，所以，所?又因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn)，且為下降零點(diǎn)，所以，，故，，
結(jié)合題圖有，即，所以，所以.
當(dāng)時(shí)，，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，在上單調(diào)遞增，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，其中，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知，在上有4個(gè)零點(diǎn)，故B正確；
當(dāng)時(shí)，即，即，或，，結(jié)合題圖可知，，所以，故C正確；
將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，而.故D錯(cuò)誤.
11.【答案】AC
【解析】對(duì)于A，，，.
又，.
令，可得，解得.
，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，A正確.
對(duì)于C，為奇函數(shù)，
的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，，，，，.
又，，
函數(shù)的周期，，C正確.
對(duì)于B，由A知，，，，B錯(cuò)誤.
對(duì)D，，D錯(cuò)誤.
三、填空題
12.【答案】720.
【解析】將5人分為3組，有利兩種情況.
當(dāng)分組為：時(shí)，共有；當(dāng)分組為時(shí)，共有.綜上所述，共有種不同的進(jìn)站方式.
13.【答案】
【解析】如圖，設(shè)O為四面體ABCD外接球的球心，半徑為R，，分別為，的補(bǔ)心，則，，平面ABD，平面CBD.平面交BD點(diǎn)于E，連接，，則為二面角的平面角.設(shè)其大小為，，，，.連接，則，，.
14.【答案】.
【解析】設(shè)，，，，，的中點(diǎn)，CD的中點(diǎn)，
則兩式相減，得，化簡(jiǎn)得，
所以，所以，①
同理，.②
因?yàn)?，所以P，M，N三點(diǎn)共線，所以，
將①②代入得，即
因?yàn)?，所以，即點(diǎn)恒在直線上.
又因?yàn)辄c(diǎn)恒在直線：上，所以，所以，
所以雙曲線的離心率為.
四、解答題
15.【解析】（1）因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?
.
令，則，則在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
要使得單調(diào)遞增，則在上恒成立.
當(dāng)時(shí)，恒成立；
當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，不合題意.
綜上所述，.
（2）由（1）可得且，極值點(diǎn)為與1，
所以.
令，
則.
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減.
所以，即成立.
16.【解析】（1），側(cè)面是菱形，.
，
平面，平面，.
∵側(cè)面是矩形，.
，平面.
又平面ABC，∴平面平面ABC.
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得二面角的大小為45°.
理由如下：如圖，連接，BP，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA，CB為x軸、y軸的正方向，平面上過(guò)點(diǎn)C且垂直于AC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，，
設(shè)，，則，.
由（1）可知平面，
平面的法向量為.
設(shè)平面的法向量為，
由得
令，則，
，
，得，
即，解得，（舍去），即，
∴存在點(diǎn)P滿(mǎn)足條件，此時(shí)P是AC的中點(diǎn).
17.（1）由已知可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線l的方程為.
聯(lián)立拋物線與直線的方程可得.
設(shè)，，由韋達(dá)定理可得，
則，所以.
所以拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為.
（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程
可得.
所以，.
因?yàn)?，所以直線的方程為，所以.
同理可得.
設(shè)圓上任意一點(diǎn)為，
則由可得圓的方程為，
整理得，
令，可得或，
所以以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為或.
18.【解析】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，乙盒為1黑1白，概率為；
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，乙盒為2白，概率為.
所以，
①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為；
若甲盒取黑，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為；
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為；
若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為.
②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為；
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為.
綜上所述，.
（2）經(jīng)過(guò)n次這樣的操作，記甲盒恰有2黑1白的概率為，恰有1黑2白的概率為，3白的概率為.
①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為；
若甲盒取黑，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為；
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為；
若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為.
②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為；
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
③當(dāng)甲盒中3白，乙盒2黑，概率為，此時(shí)：
若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為.
故，.
所以，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為.
（3）由（2）可知數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，首項(xiàng)為，
故，所以，
所以.
19.（1）【答案】①5.②.③6.
①根據(jù)定義可得.
②設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn)，根據(jù)定義可得.
所以到坐標(biāo)原點(diǎn)的“直角距離”等于1的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是.
③設(shè)為曲線G上任意一點(diǎn)，
由已知可得，所以有，
整理得.
（i）當(dāng)時(shí)，該式可化為，即.
當(dāng)且時(shí)，為；
當(dāng)且時(shí)，為.
（ii）當(dāng)時(shí)，該式可化為，
整理得，即.
（iii）當(dāng)時(shí)，該式可化為，
整理得.
當(dāng)且時(shí)，為；當(dāng)且時(shí)，為.
作出曲線滿(mǎn)足的圖象如圖陰影部分所示，
所以曲線所圍成的封閉圖形的面積的值為.
（2）設(shè)，則，所以，
所以.
當(dāng)時(shí).；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí).
所以的最小值為，取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（3）（i）當(dāng)，時(shí)，
由條件②可得，，
即有.
因?yàn)椋?
由條件①可得，，
所以有.
又因?yàn)椋杂?，所?
因此所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（ii）當(dāng)，時(shí)，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（iii）當(dāng)，時(shí)，不妨設(shè).
若，
則.
當(dāng)且僅當(dāng)與同時(shí)成立，上式取等號(hào)，
所以有且，
從而由條件②可得，
此時(shí)所求點(diǎn)的集合為.
若，
由條件①可得且，
從而由條件②可得，
此時(shí)所求點(diǎn)的集合為.
綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)的集合為

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