甘肅省白銀市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月期中試題含解析

這是一份甘肅省白銀市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月期中試題含解析，共19頁。試卷主要包含了回答選擇題時，考試結(jié)束后，本試卷主要考試內(nèi)容等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2．回答選擇題時．選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后．將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：湘教版選擇性必修第—冊（數(shù)列、解析幾何、計數(shù)原理）占30%．選擇性必修第二冊第—意（導(dǎo)數(shù)）、第二章（空間向量）占70%．
1. 已知向量，則（）
A. B. C. D.
2. 雙曲線的離心率為（）
A. B. 3C. D. 4
3. 若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則與所成角的大小為（）
AB. C. D.
4. 甲游客盤中有肉灌湯包、龍井肉包、蝦仁肉包、御膳肉包、胡蘿卜素包、韭菜素包各一個，甲游客每次吃一個，全部吃完，若要求甲游客吃兩個素包的順序不相鄰，則不同的吃法共有（）
A. 480種B. 360種C. 240種D. 600種
5. 若圓與軸相切且與圓外切，則圓的圓心的軌跡方程為（）
A. B.
CD.
6. 在長方體中，四邊形的周長為，長方體的體積為．若，則在處的瞬時變化率為（）
A. 18B. 20C. 24D. 26
7. 設(shè)等比數(shù)列的前7項和、前14項和分別為2，8，則該等比數(shù)列的前28項和為（）
A. 64B. 72C. 76D. 80
8. 已知定義在上的奇函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，是的導(dǎo)函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集為（）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，為的中點，則（）
A. B.
C. D.
10. 若，則（）
A. B.
C. D.
11. 設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則稱為上的凹函數(shù)；若在上單調(diào)遞減，則稱為上的凸函數(shù)．下列結(jié)論正確的是（）
A. 函數(shù)為上的凹函數(shù)B. 函數(shù)為上的凸函數(shù)
C. 函數(shù)為上的凸函數(shù)D. 函數(shù)為上的凹函數(shù)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 某城市今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”天數(shù)為54，力爭3年后使空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)達到128，則這個城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的年平均增長率為______．
13. 若函數(shù)存在極值，則的取值范圍是______．
14. 已知曲線恒過點，且在拋物線上．若是上的一點，點，則點到的焦點與到點的距離之和的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 設(shè)等差數(shù)列前項和為，已知．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
16. 如圖，在三棱錐中，平面平．
（1）證明：．
（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．
17. 已知3是函數(shù)的極小值點．
（1）求的值；
（2）若，且有3個零點，求取值范圍．
18. 在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱的中點，直線與平面交于點．
（1）求；
（2）求；
（3）若點在棱BC上，且平面，求的長．
19. 已知函數(shù)
（1）若求曲線在點處的切線方程．
（2）若證明：在上單調(diào)遞增．
（3）當時，恒成立，求的取值范圍．
高二階段性檢測數(shù)學(xué)
注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號．考場號、座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時．選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后．將本試卷和答題卡一并交回．
4．本試卷主要考試內(nèi)容：湘教版選擇性必修第—冊（數(shù)列、解析幾何、計數(shù)原理）占30%．選擇性必修第二冊第—意（導(dǎo)數(shù)）、第二章（空間向量）占70%．
1. 已知向量，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由空間向量的坐標運算求解即可.
【詳解】因為所以所以．
故選：D.
2. 雙曲線的離心率為（）
A. B. 3C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用給定的雙曲線方程，直接求出離心率即可.
【詳解】雙曲線中，，
所以雙曲線的離心率
故選：C
3. 若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則與所成角的大小為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空間向量的夾角公式計算即可
【詳解】與所成角的余弦值為，
又與所成角為，
與所成角的大小為
故選：B
4. 甲游客盤中有肉灌湯包、龍井肉包、蝦仁肉包、御膳肉包、胡蘿卜素包、韭菜素包各一個，甲游客每次吃一個，全部吃完，若要求甲游客吃兩個素包的順序不相鄰，則不同的吃法共有（）
A. 480種B. 360種C. 240種D. 600種
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)不相鄰問題插空法即可求解.
【詳解】先排四個肉包的順序，再插入兩個素包，則不同的吃法共有種．
故選：A
5. 若圓與軸相切且與圓外切，則圓圓心的軌跡方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)圓心坐標為，依題意可得，化簡整理即可得解.
【詳解】設(shè)圓心坐標為，依題意可得，化簡得，
即圓的圓心的軌跡方程為.
故選：C
6. 在長方體中，四邊形的周長為，長方體的體積為．若，則在處的瞬時變化率為（）
A. 18B. 20C. 24D. 26
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得出，結(jié)合解出，結(jié)合即可求解．
【詳解】因為四邊形的周長為12，
所以，所以，
因為，所以，
所以，
由得，，解得，
，則，
所以在在處的瞬時變化率為18，
故選：A．
7. 設(shè)等比數(shù)列的前7項和、前14項和分別為2，8，則該等比數(shù)列的前28項和為（）
A. 64B. 72C. 76D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)是該等比數(shù)列的前項和，依題意可知成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【詳解】設(shè)是該等比數(shù)列的前項和，依題意可知
則成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，
則解得
故選：D.
8. 已知定義在上的奇函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，是的導(dǎo)函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)通過求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)利用已知條件可知恒為正數(shù)，所以可知在時是單調(diào)遞增函數(shù)，再結(jié)合已知條件又可知是偶函數(shù)，最后利用這些性質(zhì)可解得或
【詳解】令則,
因為當時，所以在上單調(diào)遞增,
又為奇函數(shù)，且圖象連續(xù)不斷，所以為偶函數(shù),
由得解得或
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，為的中點，則（）
A. B.
CD.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運算逐項計算判斷得解.
【詳解】在四棱錐中，為的中點，四邊形是平行四邊形，
，A正確，B錯誤；
，D正確，C錯誤.
故選：AD
10. 若，則（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對A、B、D：分別借助賦值法令、及計算即可得；對C：借助二項式的展開式的通項公式計算即可得.
【詳解】對A：令，得，故A錯誤；
對B：令，得則，故B正確．
對C：由題可得，則，故C正確．
對D：令，得則，故D正確．
故選：BCD.
11. 設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則稱為上的凹函數(shù)；若在上單調(diào)遞減，則稱為上的凸函數(shù)．下列結(jié)論正確的是（）
A. 函數(shù)為上的凹函數(shù)B. 函數(shù)為上的凸函數(shù)
C. 函數(shù)為上的凸函數(shù)D. 函數(shù)為上的凹函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A：求導(dǎo)，直接判斷的單調(diào)性即可；對于B：求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性即可；對于C：求導(dǎo)，取特指分析判斷即可；對于D：求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性即可.
【詳解】對于選項A：因為為上的增函數(shù)，
所以為上的凹函數(shù)，故A正確；
對于選項B：因為，設(shè)，
則，
當時，，可知為上的減函數(shù)，
即為上的減函數(shù)，所以為上的凸函數(shù)，故B正確；
對于選項C：因為，設(shè)，
則，注意到，
可知在內(nèi)不是單調(diào)遞減函數(shù)，即在內(nèi)不是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以函數(shù)在上不為凸函數(shù)，故C錯誤；
對于選項D：因為，令，
則，
設(shè)，則，
當時，，當時，，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則，即在上恒成立，
可知為上的單調(diào)遞增，所以為上的凹函數(shù)，故D正確．
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 某城市今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)為54，力爭3年后使空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)達到128，則這個城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的年平均增長率為______．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)這個城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的年平均增長率為由題意可得解方程即可得出答案.
【詳解】設(shè)這個城市空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的年平均增長率為
則解得：
故答案為：.
13. 若函數(shù)存在極值，則的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】由極值的定義可知，有變號零點，即可得解.
【詳解】，則，解得．
故答案為：.
14. 已知曲線恒過點，且在拋物線上．若是上一點，點，則點到的焦點與到點的距離之和的最小值為______．
【答案】7
【解析】
【分析】將曲線可變形為可得，進而可得的方程為，設(shè)點在準線上的投影為，拋物線的定義結(jié)合幾何性質(zhì)分析求解.
【詳解】曲線可變形為
令，解得，
可知曲線恒過點，
因為在拋物線上，則，解得，
所以的方程為，可知的焦點為，準線為，
又因為，可知點在拋物線內(nèi)，
設(shè)點在準線上的投影為，則，
因為，
當且僅當與的準線垂直時，等號成立，
所以點到的焦點與到點的距離之和的最小值為7．
故答案為：7.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數(shù)列前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由及等差數(shù)列下標和定理求出，根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可求解；
（2）由分組求和，裂項相消及等比數(shù)列求和公式即可求得．
【小問1詳解】
設(shè)的公差為則，解得，
所以．
【小問2詳解】
由（1）知，
則
．
16. 如圖，在三棱錐中，平面平．
（1）證明：．
（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中點，連接，通過說明可得結(jié)論；
（2）以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法求解線面角.
【小問1詳解】
取的中點，連接，
因為，所以，
又，面，
所以平面，
因為平面，所以；
【小問2詳解】
以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令得．
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
17. 已知3是函數(shù)的極小值點．
（1）求的值；
（2）若，且有3個零點，求的取值范圍．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，令，由于零點含參數(shù)，需要對進行分類討論，從而根據(jù)的極小值點為3解得的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知的零點，以及原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)要有三個零點，可知函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，從而解得列出不等式組求解即可.
【小問1詳解】
因為
所以
令得或
當則當時，當時，
故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因為3是的極小值點，所以
即符合題意．
當則恒成立，在上單調(diào)遞增，無極值點，不符合題意．
當則當時，當時，
故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因為3是的極小值點，所以即符合題意．
綜上所述，或
【小問2詳解】
因為所以
當時，當時，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
顯然當時，，當時，，
因為有3個零點，所以當且僅當，
解得故的取值范圍為.
18. 在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱的中點，直線與平面交于點．
（1）求；
（2）求；
（3）若點在棱BC上，且平面，求的長．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用坐標運算求解；
（2）設(shè)，求出面的法向量，通過列方程求出即可；
（3）設(shè)，則，可得是平面的一個法向量，通過求解即可.
【小問1詳解】
如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則，
所以，
所以；
【小問2詳解】
設(shè)，則
設(shè)平面法向量為，
則，令得，
依題意可得，
解得，所以；
【小問3詳解】
設(shè)，則，
由（2）知，則，
因為，
所以，
所以是平面的一個法向量．因為平面，
所以，解得，
所以的長為.
19. 已知函數(shù)
（1）若求曲線在點處的切線方程．
（2）若證明：在上單調(diào)遞增．
（3）當時，恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）證明見解析； （3）
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，求出，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點斜式方程即可得出答案；
（2）對求導(dǎo)，令證明在上恒成立即可.
（3）在上恒成立等價于，分類討論和，令求出的單調(diào)性可得，分離參數(shù)，令求出即可得出答案.
【小問1詳解】
因為所以則
又
所以曲線在點處的切線方程為
即
【小問2詳解】
證明：因為所以則
令則
當時，單調(diào)遞增，故
當時，單調(diào)遞增，
當時，單調(diào)遞減，故．
從而在上恒成立，
則在上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
解：在上恒成立等價于
在上恒成立．
若則，則顯然恒成立．
若則在上恒成立，
令由（1）可知在上恒成立，
故由得則即．
令則
當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，
則則．
綜上所述，的取值范圍為
【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．