注意事項(xiàng)：
1．本試卷共8頁(yè)，滿(mǎn)分120分，考試時(shí)間120分鐘
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在本試卷相應(yīng)的位置．
3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷選擇題（共30分）
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．一元二次方程的根為（ ）
圖1
A．，B．，C．D．
2．如圖1，用放大鏡將平遙古城旅游圖標(biāo)放大，則放大前后兩個(gè)圖形之間屬于圖形的（ ）
圖2
A．平移B．軸對(duì)稱(chēng)C．相似D．旋轉(zhuǎn)
3．如圖2，在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，若，則AO的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
5．若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
6．折疊花架因設(shè)計(jì)巧妙、充分利用空間、靈活收納等功能受到人們的喜愛(ài)．圖3是一個(gè)三層折疊花架，已知，若cm，cm，cm，則BF的長(zhǎng)為（ ）
圖3
A．60cmB．65cmC．75cmD．120cm
7．如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是菱形，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)A在x軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
圖4
A．B．C．D．
8．唐風(fēng)晉韻，錦繡太原．2024年太原文旅火爆出圈，龍城太原被冠以新的昵稱(chēng)——歌迷之城，“演唱會(huì)經(jīng)濟(jì)”已經(jīng)成為這座城市新的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)點(diǎn)．某酒店今年7月份的營(yíng)業(yè)額為120萬(wàn)元，9月份的營(yíng)業(yè)額達(dá)到145萬(wàn)元．若設(shè)8，9月份營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率為x，則下面所列方程正確的是（ ）
圖5
A．B．
C．D．
9．山西是戲劇大省，典型劇種以晉劇、蒲劇、北路梆子和上黨梆子為代表，被稱(chēng)為“四大梆子”．在“戲曲文化進(jìn)校園”活動(dòng)中，某班開(kāi)展戲劇知識(shí)宣講，每個(gè)小組可隨機(jī)選擇“四大梆子”中的一個(gè)劇種進(jìn)行宣講，則甲、乙兩個(gè)小組選擇同一劇種的概率為（ ）
A．B．C．D．
10．如圖5，在矩形ABCD中，cm，cm，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，且cm，兩動(dòng)點(diǎn)M，N都以2cm/s的速度分別從點(diǎn)C，F(xiàn)出發(fā)沿CB，F(xiàn)E向點(diǎn)B，E運(yùn)動(dòng)．當(dāng)矩形CFNM與矩形AEFD相似時(shí)，點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（ ）
A．1s或2sB．1s或4sC．2s或4sD．1s或2s或4s
第Ⅱ卷非選擇題（共90分）
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11．已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則m的值為_(kāi)_____．
12．山西特產(chǎn)沙金紅杏是一種根系發(fā)達(dá)，移栽成活率高的經(jīng)濟(jì)果木，某研究院跟蹤調(diào)查了某類(lèi)沙金紅杏的移栽成活情況，得到圖6所示的統(tǒng)計(jì)圖，由此可估計(jì)這種沙金紅杏樹(shù)苗移栽成活的概率約為_(kāi)_____．（結(jié)果精確到0.1）
圖6
13．在圖7所示的正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D均為格點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)O，則的面積與的面積比為_(kāi)_____．
圖7
14．如圖8，在中，，CD為中線(xiàn)，E為AC的中點(diǎn)．若，，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
圖8
15．如圖9，正方形ABCD由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，連接HF交DE于點(diǎn)M．若，則的值為_(kāi)_____．
圖9
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）
16．（每小題5分，共10分）解方程：
（1）；（2）．
17．（7分）如圖10，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且．求證：．
圖10
18．（7分）老師為幫助學(xué)生正確理解物理變化與化學(xué)變化，將5種生活現(xiàn)象分別寫(xiě)在表面看上去無(wú)差別的五張卡片上，并分別放入甲、乙兩個(gè)口袋中（如圖11），甲口袋中裝有A，B兩張卡片，乙口袋中裝有C，D，E三張卡片．小明從兩個(gè)口袋中分別隨機(jī)取出1張卡片，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求抽出的兩張卡片均是物理變化的概率．（注：沒(méi)有生成其他物質(zhì)的變化叫做物理變化；生成其他物質(zhì)的變化叫做化學(xué)變化）
圖11
19．（8分）左權(quán)縣素有“中國(guó)核桃之鄉(xiāng)”的美譽(yù)，核桃種植已經(jīng)有1000多年的歷史，該地種植的核桃以果仁飽滿(mǎn)、皮薄、個(gè)大、味香、營(yíng)養(yǎng)價(jià)值高而著稱(chēng)，不僅可以生吃，而且還是制作月餅、元霄、糕點(diǎn)餡的原料、某特產(chǎn)專(zhuān)賣(mài)店購(gòu)進(jìn)左權(quán)核桃進(jìn)行銷(xiāo)售，進(jìn)價(jià)為每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低1元，則平均每天的銷(xiāo)售量可增加10千克．
（1）若單價(jià)降低3元，則平均每天的銷(xiāo)售量為_(kāi)_____千克，每天獲利______元；
（2）若該專(zhuān)賣(mài)店銷(xiāo)售這種核桃想平均每天獲利2240元，并盡可能地減少庫(kù)存，每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？
20．（9分）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)：
已知一個(gè)矩形的長(zhǎng)為6，寬為1，它是否存在“減半”矩形（“減半”矩形的長(zhǎng)大于寬）？若存在，請(qǐng)求出“減半”矩形的長(zhǎng)和寬；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
21．（9分）項(xiàng)目化學(xué)習(xí)
項(xiàng)目主題：跟著悟空游山西，測(cè)量“無(wú)邊寺白塔”的大致高度．
項(xiàng)目背景：《黑神話(huà)：悟空》的上線(xiàn)，不僅迅速吸引了全球游戲愛(ài)好者的目光，同時(shí)也因其對(duì)中國(guó)地理風(fēng)貌和中國(guó)古建筑、塑像、壁畫(huà)等文化寶藏的精細(xì)還原，成為文旅界關(guān)注的對(duì)象．《黑神話(huà)：悟空》游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，由南至北橫跨9個(gè)地市，不僅展示了山西深厚的文化底蘊(yùn)，也為當(dāng)?shù)匚穆卯a(chǎn)業(yè)帶來(lái)新的發(fā)展機(jī)遇，更為山西的文化元素提供了一個(gè)面向全球游戲玩家群體的數(shù)字化傳播窗口．“無(wú)邊寺白塔”位于山西省太谷縣無(wú)邊寺內(nèi)（圖13-①），白塔外有七層，為八角形磚木混構(gòu)，內(nèi)有九層，設(shè)木板樓層，有木構(gòu)樓梯供攀登．某校學(xué)習(xí)小組以測(cè)量“無(wú)邊寺白塔”的高度為主題展開(kāi)項(xiàng)目學(xué)習(xí)．
問(wèn)題驅(qū)動(dòng)：能利用哪些數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量“無(wú)邊寺白塔”的高度？
研究步驟：
（1）如圖13-②，把長(zhǎng)為2米的標(biāo)桿垂直立于地面點(diǎn)D處，塔尖點(diǎn)A和標(biāo)桿頂端C確定的直線(xiàn)交水平線(xiàn)BD于點(diǎn)Q，測(cè)得米；
（2）將標(biāo)桿沿著水平線(xiàn)BD的方向平移到點(diǎn)F處，塔尖點(diǎn)A和標(biāo)桿頂端E確定的直線(xiàn)交水平線(xiàn)BD于點(diǎn)P，測(cè)得米，米；（以上數(shù)據(jù)均為近似值）
問(wèn)題解決：請(qǐng)根據(jù)此項(xiàng)目實(shí)施的相關(guān)信息求“無(wú)邊寺白塔”的大致高度AB．
圖13
22．（12分）綜合與實(shí)踐
小亮和他的同學(xué)組成了“愛(ài)琢磨”學(xué)習(xí)小組，他們碰到這樣一道題：“如圖14-①，已知正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC、CD，DA上，若，求證：．"為了解決這個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)思考，學(xué)習(xí)小組的同學(xué)給出了以下兩個(gè)方案：
圖14
方案一：過(guò)點(diǎn)A作，交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作，交CD于點(diǎn)N；
方案二：過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)N．
（1）請(qǐng)?jiān)谏鲜鰞蓚€(gè)方案中任選一個(gè)加以證明；
（2）如果把條件中的“正方形”改為“矩形”，如圖114-②，并設(shè)，，求的值．
23．（13分）綜合與探究
【問(wèn)題情境】在菱形ABCD中，，P是直線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形APE（A，P，E按逆時(shí)針排列），點(diǎn)E的位置隨點(diǎn)P位置的變化而變化．
【問(wèn)題解決】（1）如圖15-①，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BD上，點(diǎn)E在菱形ABCD的內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，則BP與CE的數(shù)量關(guān)系是______，BC與CE的位置關(guān)系是______；
【類(lèi)比探究】（2）如圖15-②，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BD上，點(diǎn)E在菱形ABCD的外部時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【拓展延伸】（3）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其他條件不變，連接BE．若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．
圖15
2024—2025學(xué)年第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)
九年級(jí)數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）
11．1 12．0.9 13．1∶4 14．3 15．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）
16．（每小題5分，共10分）解：（1）原方程可變形為．…（3分）
解得，．…（5分）
（2）移項(xiàng)，得．…（6分）
配方，得，即．…（8分）
兩邊開(kāi)平方，得．…（9分）
解得，．…（10分）
17．（7分）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以，．…（2分）
在和中，，，，所以（AAS）．
…（5分）
所以．…（7分）
18．（7分）解：列表如下：
…（4分）
由表格知，總共有6種可能的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中抽出的兩張卡片均是物理變化的結(jié)果有1種，所以P（抽出的兩張卡片均是物理變化）．…（7分）
19．（8分）解：（1）130…（1分）
2210…（3分）
（2）設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元．
根據(jù)題意，得．…（5分）
解得，．…（7分）
因?yàn)橐M可能地減少庫(kù)存，所以．
答：每千克核桃應(yīng)降價(jià)6元．…（8分）
20．（9分）解：存在．…（1分）
設(shè)“減半”矩形的長(zhǎng)為x，則寬為．…（2分）
根據(jù)題意，得．…（4分）
整理，得，解得，．…（6分）
當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去．…（8分）
所以長(zhǎng)為6，寬為1的矩形存在“減半”矩形，“減半”矩形的長(zhǎng)為2，寬為．…（（9分）
21．（9分）解：
因?yàn)?，所以，．所以．所以．…?分）
因?yàn)?，所以，．所以．所以?br>……（4分）
因?yàn)?，所以，所以．……?分）
因?yàn)?，?br>，，，所以，解得．…（7分）
因?yàn)?，所以，解得?br>所以“無(wú)邊寺白塔”的大致高度AB為44米．…（9分）
22．（12分）（1）選擇方案一：證明：
如圖1，過(guò)點(diǎn)A作，交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作，分別交AM，HF，CD于點(diǎn)P，Q，N，設(shè)EG與HF交于點(diǎn)R．…（1分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，，，．
所以四邊形BEGN和四邊形AHFM都是平行四邊形．所以，．…（3分）
因?yàn)?，所以．所以．…?分）
所以．所以．所以．所以．…（6分）
選擇方案二：證明：
如圖2，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)N，交HF于點(diǎn)K，則．…（1分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，．
所以四邊形ABMH和四邊形BCNE都是矩形．所以，，．
所以，．…（3分）
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以．…?分）
所以．所以．所以．…（6分）
（2）解法一：解：
如圖3，過(guò)點(diǎn)A作，交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作，分別交AM，HF，CD于點(diǎn)P，Q，N，設(shè)EG與HF交于點(diǎn)R．…（7分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以，，．
所以四邊形BEGN和四邊形AHFM都是平行四邊形．所以，．…（9分）
因?yàn)?，所以．所以．…?0分）
所以．所以．所以．…（12分）
解法二：解：如圖4，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)N，交HF于點(diǎn)K，則．…（7分）
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以．
所以四邊形ABMH和四邊形BCNE都是矩形．所以，，．
所以．…（9分）
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以．…?0分）
所以．所以．所以．…（12分）
23．（13分）解：（1）…（2分）
…（4分）
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．…（5分）
證明：如圖5，連接AC．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，，所以和都是等邊三角形．…（6分）
所以，．所以．
因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，．所以?br>所以．所以．…（8分）
所以，．…（9分）
所以，即．
所以（1）中的結(jié)論仍然成立．…（10分）
圖5
（3）AP的長(zhǎng)為．…（13分）
解析：如圖6，連接AC交BD于點(diǎn)O．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以，，，
，．
所以．所以．所以．
由（2）知，所以．
由（2）知，所以．
所以．
圖6
給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的周長(zhǎng)和面積的一半，那么稱(chēng)這個(gè)矩形是給定矩形的“減半”矩形．如圖12，矩形ABCD的周長(zhǎng)為，面積為，矩形的周長(zhǎng)為，面積為，可得矩形是矩形ABCD的“減半”矩形．
圖12
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
A
D
C
A
C
B
乙
甲
C
D
E
A
AC
AD
AE
B
BC
BD
BE

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