第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）
1．-2025的絕對值是（ ）
A．2025B．C．-2025D．
【答案】A
【分析】本題考查了求一個數(shù)的絕對值，根據(jù)正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，即可求解．
【詳解】解：的絕對值是2025．
故選：A ．
2．隨著我國科技迅猛發(fā)展，電子制造技術不斷取得突破性成就，電子元件尺寸越來越小，在芯片上某種電子元件大約占．將0.0000007用科學記數(shù)法表示應為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，是非負數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時，是負數(shù)，表示時關鍵是要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：將0.0000007用科學記數(shù)法表示應為，
故選：C．
3．湖南自古就有“魚米之鄉(xiāng)”的美譽，如圖①量某糧倉的實物圖，圖②是其抽離出來的幾何體，關于它的三視圖，下列說法正確的是（ ）
A．主視圖與左視圖相同B．左視圖與俯視圖相同
C．主視圖與俯視圖相同D．三個視圖完全不相同
【答案】A
【分析】本題主要考查了簡單組合體的三視圖的知識點，根據(jù)主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形，可得答案，理解三視圖的意義是正確判斷的前提．
【詳解】解：這個幾何體的主視圖與左視圖相同，底層是一個矩形，上層是一個等腰三角形，俯視圖是一個帶圓心的圓；
故選：A．
4．下面的計算，不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此題考查了合并同類項、單項式的乘法、冪的乘方等知識，根據(jù)相關運算法則計算即可．
【詳解】A、，故選項正確，不符合題意；
B、，故選項正確，不符合題意；
C、，故選項不正確，符合題意；
D、 ，故選項正確，不符合題意；
故選：C
5．已知點關于原點的對稱點在第一象限，則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了平面直角坐標系中，各象限內(nèi)點的坐標的符號的確定方法，以及關于原點對稱的兩點坐標之間的關系以及一元一次不等式組的解法．先確定出點M在第三象限，然后根據(jù)第三象限內(nèi)點的坐標特征列出不等式組，然后求解得到m的取值范圍，從而得解．
【詳解】解：∵點關于原點的對稱點在第一象限，
∴點在第三象限，
∴，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
在數(shù)軸上表示如下：
．
故選：B．
6．將分別標有“惟”、“楚”、“有”、“才”四個漢字的小球裝在一個不透明的口袋中，這些小球除漢字以外其它完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機摸出一球，不放回，再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“楚才”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了用列表法或樹狀圖求概率．根據(jù)題意畫出樹狀圖，數(shù)出所有的情況數(shù)和符合條件的情況數(shù)，再用概率公式求解即可．
【詳解】解：畫樹狀圖即可
共有12種等可能的結果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“楚才”的結果有2種，
∴兩次摸出的球上的漢字組成“楚才”的概率為，
故選：A．
7．臨近中考，學校組織師生前往岳麓山放松心態(tài)。如果單獨租用座的客車若干輛，剛好坐滿；如果單獨租用座的客車，可少租一輛，且余個空座位，設全校師生共有人，則所列方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元一次方程的實際應用，設全校師生共有人，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找出等量關系是解題的關鍵．
【詳解】解：設全校師生共有人，
由題意得，，
故選：．
8.抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質文化遺產(chǎn)之一．如示意圖，分別與相切于點C，D，延長交于點P．若，的半徑為，則瞬間與空竹接觸的細繩的長為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接OC、OD，利用切線的性質得到，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求得，再利用弧長公式求得答案．
【詳解】解：如圖所示，連接，

分別與相切于點C，D，
∴，
，
∴，
的長，
∴瞬間與空竹接觸的細繩的長為，
故選：C．
【點睛】此題考查圓的切線的性質定理，四邊形的內(nèi)角和，弧長的計算公式，熟記圓的切線的性質定理及弧長的計算公式是解題的關鍵．
9．如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結GF．則下列結論不正確的是（ ）
A．BD＝10B．HG＝2C．D．GF⊥BC
【答案】D
【分析】根據(jù)矩形的性質以及勾股定理即可判斷A，根據(jù)折疊的性質即可求得，進而判斷B，根據(jù)折疊的性質可得，進而判斷C選項，根據(jù)勾股定理求得的長，根據(jù)平行線線段成比例，可判斷D選項
【詳解】BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，
故A選項正確，
將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，
，
,
故B選項正確，
,
∴EG∥HF，
故C正確
設，則，
，
即
，同理可得
若
則
，
，
不平行，
即不垂直，
故D不正確．
故選D
【點睛】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，掌握以上知識是解題的關鍵．
10．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線的對稱軸為，與x軸的一個交點位于，兩點之間．下列結論：①； ②；③； ④若，為方程的兩個根，則．其中正確的有（ ）個．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由圖象得 ，，由對稱軸得，，；拋物線與x軸的一個交點位于，兩點之間，由對稱性知另一個交點在，之間，得 ，于是，進一步推知，由根與系數(shù)關系知；
【詳解】解：開口向下，得 ，與y軸交于正半軸，，
對稱軸，，，故①錯誤；
故②錯誤；
拋物線與x軸的一個交點位于，兩點之間，對稱軸為，故知另一個交點在，之間，故時，
∴，得，故③正確；
由，，知，
∵，為方程的兩個根，
∴
∴，故④正確；
故選：B
【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象性質，一元二次方程根與系數(shù)關系，不等式變形，掌握函數(shù)圖象性質，注意利用特殊點是解題的關鍵．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）
11．計算的結果是 ．
【答案】/
【分析】先將二次根式化簡，然后再合并同類項即可得到答案．
【詳解】，
，
，
故答案為：
【點睛】本題主要考查分母有理化，二次根式的加減，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．
12．關于的方程無解，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，先求出方程的解，再根據(jù)方程無解可知分式方程的分母為，求出的值，再代入方程的解計算即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵．
【詳解】解：方程兩邊乘以得，，
∴，
∵關于的方程無解，
∴，
∴x=?1，
∴，
∴a=2，
故答案為：．
13．眼睛是心靈的窗戶．為保護學生視力，某中學每學期給學生檢查視力，下表是該校9年級班名學生右眼視力的檢查結果，這組視力數(shù)據(jù)中，中位數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了中位數(shù)，解題關鍵是掌握中位數(shù)的定義．數(shù)據(jù)按從小到大排列，若數(shù)據(jù)是偶數(shù)個，中位數(shù)是最中間兩數(shù)的平均數(shù)，若數(shù)據(jù)是奇數(shù)個，中位數(shù)是正中間的數(shù)．
【詳解】解：該樣本中共有個數(shù)據(jù)，按照右眼視力從小到大的順序排列，第、個數(shù)據(jù)是，
學生右眼視力的中位數(shù)為，
故答案為：．
14．已知，則的值是 ．
【答案】25
【分析】本題考查了因式分解的應用，把變形為，將代入，整理后再次代入即可．
【詳解】解：∵，
∴
．
故答案為：25．
15．足球表面是由正六邊形和正五邊形拼接而成的．右圖是足球表面有公共頂點的3個多邊形展平后的平面圖形，則的大小為 ．
【答案】
【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角問題，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角問題是解題的關鍵．
先由正多邊形的內(nèi)角公式求出正六邊形和正五邊形的內(nèi)角，再根據(jù)周角是即可求出的大?。?br>【詳解】解：正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為：，
正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為：，
，
故答案為：．
16．為打造“宜居、宜業(yè)、宜游”的城市環(huán)境，湖南部分城市開啟改造路燈計劃。如圖是吊車安裝“中華燈”的示意圖，已知為吊車起重臂，長為20米，點到路燈桿的水平距離為16米，點到地面的豎直距離為2米，則起重臂頂端離地面的高度為 米．
【答案】14
【分析】此題考查了勾股定理的應用，根據(jù)勾股定理求出米，然后計算米求解即可．
【詳解】解：∵米，米，
∴米，
∵點到地面的豎直距離為2米，
∴米，
∴起重臂頂端離地面的高度為14米．
故答案為：14．
17.如圖，在△ABC中，以點A為圓心，AC的長為半徑作圓弧交BC于點D，再分別以點B和點D為圓心，大于12BD的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點M和點N，連接MN交AB于點E．若AB=10，AC=7，BC=12，則△ADE的周長為 ．
【答案】17
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質和作圖，由作圖可得AD=AC=7,MN垂直平分BD，則根據(jù)線段垂直平分線的性質得到EB =ED，然后利用等量代換即可得到△ADE的周長．
【詳解】解：由作圖可得AD=AC=7,MN垂直平分BD，
∴EB=ED，
∴△ADE的周長為AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=10+7=17，
故答案為：17．
18．如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有，，，……，等點，它們的橫坐標依次為1，2，3，……，2025，分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為，，，……，，則 ．
【答案】/
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質是解題的關鍵．
將面積為的矩形向左平移到面積為的矩形的下方，再利用矩形的面積差求解即可．
【詳解】解：∵的橫坐標依次為，
∴陰影矩形的一邊長都為1，
記軸于點軸于點軸于點，且交于點，如圖所示：
將面積為的矩形向左平移到面積為的矩形的下方，
則，
把代入得：，即，
∴，
根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義，可得：，
∴，
即，
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個小題，共66分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
19．（6分）計算：．
【答案】
【分析】本題考查了實數(shù)的混合計算，熟記特殊三角函數(shù)值，掌握平方差公式是解題的關鍵．先算平方差公式，立方根，以及特殊三角函數(shù)值，再計算即可得到答案．
【詳解】解：原式．
20．（6分）先化簡，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本題考查了分式的化簡求值，化簡二次根式，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先將除法轉化為乘法運算，再進行加減運算，最后再代入求值即可．
【詳解】解：原式
，
當，原式．
21．（8分）在太空種子種植體驗實踐活動中，為了解“宇番號”番茄，某校科技小組隨機調(diào)查株番茄的掛果數(shù)量（單位：個），并繪制如下不完整的統(tǒng)計圖表：
“宇番號”番茄掛果數(shù)量統(tǒng)計表
請結合圖表中的信息解答下列問題：
(1)統(tǒng)計表中，________，________；
(2)將頻數(shù)分布直方圖補充完整；
(3)若繪制“番茄掛果數(shù)量扇形統(tǒng)計圖”，則掛果數(shù)量在“”所對應扇形的圓心角度數(shù)為________；
(4)若所種植的“宇番號”番茄有株，請估計掛果數(shù)量在“”范圍的番茄有多少株？
【答案】(1)，
(2)詳見解析
(3)
(4)
【分析】（1）根據(jù)題意可知樣本容量，求某個項目的頻數(shù)，根據(jù)樣本容量減去已知項的頻數(shù)即可求解，根據(jù)求某項的頻率的方法即可求解；
（2）由（1）可求出對應項的頻數(shù)，由此即可補全頻數(shù)分布直方圖；
（3）根據(jù)樣本的頻數(shù)估算總體的數(shù)量的方法即可求解．
【詳解】（1）解：隨機調(diào)查株，
∴掛果數(shù)量在的頻數(shù)為，
掛果數(shù)量在的頻率為，
故答案為：，．
（2）解：由（1）可知，掛果數(shù)量在的頻數(shù)為，
∴補全的頻數(shù)分布直方圖如圖所示，

（3）解：掛果數(shù)量在“”的頻數(shù)為株，頻率是，
∴掛果數(shù)量在“”所對應扇形的圓心角度數(shù)為，
故答案為：．
（4）解：由（1）可知，樣本中掛果數(shù)量在“”范圍的頻率為，
∴種植的“宇番號”番茄株，數(shù)量在“”范圍的番茄株．
【點睛】本題主要考查調(diào)查與統(tǒng)計中的相關的計算，掌握樣本的計算方法，頻率的計算方法，圓心角的計算公式，根據(jù)樣本頻率估算總體數(shù)量的方法等知識是解題的關鍵．
22．（8分）如圖，在⊙中，直徑與弦相交于點，連接、．
(1)求證：；
(2)連接，若，，求⊙的半徑．
【答案】(1)證明見解析
(2)⊙的半徑為3
【分析】（1）利用，同弧所對的圓周角相等，得到，再結合對頂角相等，即可證明；
（2）利用，得到，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到，再利用直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得⊙的半徑．
【詳解】（1）證明：在⊙中，
∵，
∴，
又∵,
∴．
（2）解：∵，
由（1）可知，，
∵直徑，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
即⊙的半徑為3．
【點睛】本題考查圓的基本知識，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知識點有同弧所對的圓周角相等；兩個角對應相等的兩個三角形相似；直徑所對的圓周角是直角；直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半．
23．（9分）在黨的二十大報告中，強調(diào)了教育、科技、人才是全面建設社會主義現(xiàn)代化國家的基礎性、戰(zhàn)略性支撐．某校為提升教學質量，計劃購買、兩種型號的教學設備．已知購買臺型設備和臺型設備共需萬元；購買臺型設備和臺型設備共需萬元．
(1)求型、型設備每臺各是多少萬元；
(2)根據(jù)該校的實際情況，需購買、兩種型號的教學設備共10臺，要求購買的總費用不超過萬元，并且型設備的數(shù)量不少于型設備數(shù)量的，那么該校共有幾種購買方案？
【答案】(1)型設備每臺萬元，型設備每臺萬元
(2)一共有種購買方案
【分析】本題考查了二元一次方程組以及一元一次不等式組的應用；
（1）設型設備萬元臺，型設備萬元臺，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組，即可求解；
（2）設型設備購買臺，則購買型設備臺，根據(jù)題意列出不等式組，求得整數(shù)解，即可求解．
【詳解】（1）解：設型設備萬元臺，型設備萬元臺，
依題意得：
解得
答：型設備每臺萬元，型設備每臺萬元．
（2）設型設備購買臺，則購買型設備臺，
依題意得：
解得：，
又因為為正整數(shù)，所以的取值為，，
答：一共有種購買方案．
24．（9分）如圖，小華和同伴在春游期間，發(fā)現(xiàn)在某地小山坡上有一棵山楂樹，他想測量一下山楂樹頂?shù)缴侥_下的垂直距離，即點到所在直線的距離，方案及測量報告如下：
請根據(jù)以上測量報告中的數(shù)據(jù)，幫助小華求出山楂樹頂?shù)缴侥_下的垂直距離．（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）
【答案】8米
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．過點作交延長線于點，交直線于點，容易證出四邊形是矩形，則有，米，再利用正切的定義可得，設米，表示出、的長，再證得，得到，解出的值，得到的長即可解答．
【詳解】解：如圖，過點作交延長線于點，交直線于點，
∵EM⊥BD，F(xiàn)D⊥BD.
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，米，
在中，，
，
設米，則米，
米，米，
由題意得，，∠B=90°，
，
，
，即，
解得：，
（米），
山楂樹頂?shù)缴侥_下的垂直距離為8米．
25．（10分）閱讀短文，解決問題．
若平行四邊形的四個頂點都在三角形的邊上，且有一個角與三角形的一個角重合，另一個頂點在三角形的這個重合角的對邊上，我們就稱這個平行四邊形是該三角形的“相依四邊形”．例如：如圖，在平行四邊形中，與重合，點在上，則稱平行四邊形為的“相依四邊形”．
(1)如圖，平行四邊形為△ABC的“相依四邊形”，平分，判斷四邊形的形狀，并進行證明．
(2)在（1）的條件下，如圖2，∠B=90°．
①若，，求四邊形的周長；
②如圖，分別是的中點，連接，若，求的值．
【答案】(1)四邊形為菱形，證明過程見詳解
(2)①四邊形的周長為；
②
【分析】本題利用新定義考查直角三角形性質及菱形的性質與判定，解題的關鍵是掌握菱形的性質與判定，熟練應用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半．
（1）已知四邊形是平行四邊形，根據(jù)平分，可得，，即可證明四邊形為菱形．
（2）設由，，得，即，列方程求解即可求出四邊形的周長為；②過作交于可得，，根據(jù)分別是的中點，可得為的中點，即可得，從而得到，．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
平分
四邊形為菱形．
（2）①由（1）可知四邊形為菱形，
設，
，
∵ ∠B=90°，EF∥AB，
．
．
，
解得
四邊形的周長為；
②過作交于，如圖：
，，
四邊形是平行四邊形，
，
分別是的中點，
，
，
，
為的中點，
，
，，
，
26．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，直線 與軸交于點，與軸交于點，拋物線 經(jīng)過坐標原點和點，頂點為點．
(1)求拋物線的函數(shù)關系式及點的坐標；
(2)點E是直線AB下方的拋物線上一動點，連接，，當?shù)拿娣e等于 時，求點的坐標；
(3)將直線AB向下平移，得到過點 的直線y=mx+n，且與軸負半軸交于點，取點，連接，請?zhí)骄颗c之間存在怎樣的數(shù)量關系?
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先求出、坐標，再根據(jù)拋物經(jīng)過原點得到，由此利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，然后求出頂點坐標即可；
（2）如圖1，過點作軸交AB于點，設點的坐標為，則點，然后根據(jù)進行求解即可；
（3）設直線與軸交于點先求出直線的解析式為，從而得到點，點，)，即可求出再求出，即可得到，則．
【詳解】（1）解：對于，令，解得x=6，令x=0，則，
故點、的坐標分別為、，
拋物線經(jīng)過坐標原點，故，
將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得，
故拋物線的表達式為；
則拋物線的對稱軸為，當時，
則點的坐標為；
（2）解：如圖，過點作軸交AB于點，
設點的坐標為，則點，
，

解得x=1或 ，
故點的坐標為或；
（3）解：設直線與軸交于點
直線AB向下平移后過點
直線的解析式為，
，
，
直線的解析式為，
令，解得，令x=0，則
點，點)，
，，
，
過點作于點，
，，，
，，
，
，
，
．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解直角三角形，解題的關鍵在于能夠正確作出輔助線進行求解．
視力
人數(shù)
掛果數(shù)量（個）
頻數(shù)（株）
頻率
測量對象
山楂樹
測量工具
平面鏡、皮尺、測傾器
測量方案
①身高米小華站在點的位置，讓同伴移動平面鏡至點處，此時小華在平面鏡內(nèi)可以看到山楂樹頂點，并測量米；
②測量平面鏡至山腳下的距離米；
③小華又站在處，利用測傾器測得山楂樹頂?shù)难鼋牵?br>測量示意圖

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