（模塊化思維提升）專題7-數(shù)的整除特征-小升初數(shù)學(xué)思維拓展數(shù)論問題專項訓(xùn)練（通用版）

這是一份（模塊化思維提升）專題7-數(shù)的整除特征-小升初數(shù)學(xué)思維拓展數(shù)論問題專項訓(xùn)練（通用版），共16頁。試卷主要包含了數(shù)的整除特征等內(nèi)容，歡迎下載使用。
（知識梳理+典題精講+專項訓(xùn)練）
1、整除是整數(shù)問題中一個重要的基本概念．如果整數(shù)a除以自然數(shù)b，商是整數(shù)且余數(shù)為0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，記作b丨a．此時，b是a的一個因數(shù)（約數(shù)），a是b的倍數(shù)。
2、數(shù)的整除特征。
（1）能被2整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除．
（2）能被5整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的個位數(shù)字是0或5，那么它必能被5整除．
（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．
（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．
（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．
（6）能被11整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除．
【典例一】下列4個數(shù)都是六位數(shù)，A是大于0小于10的自然數(shù)，B是0，一定能同時被2、3、5整除的數(shù)是（ ）
A、AAABAA B、ABABAB C、ABBABB D、ABBABA
【分析】這個六數(shù)個位上的數(shù)字是0，能被2和5整除，不管A是比10小的哪個自然數(shù)，A+A+A的和一定是3的倍數(shù)，所以ABABAB一定能被3整除
【解答】解：B=0，
ABABAB能被2和5整除，
A+A+A的和一定是3的倍數(shù)，
ABABAB也一定能被3整除，
故選：B．
【點評】此題主要考查能被2、3、5整除的數(shù)的特征：一個數(shù)個位上是0或5，這個數(shù)就能被5整除；個位是0、2、4、6、8的數(shù)能倍2整除；一個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就能被3整除．
【典例二】有一個四位數(shù)3AA1能被9整除，A是（ ）。
【分析】已知四位數(shù)3AA1能被9整除，那么它的數(shù)字和（3+A+A+1）一定是9的倍數(shù)然后再根據(jù)題意進一步解答即可．因為A是一個數(shù)字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一個整數(shù)，最大值只能是9．若A=9，那么3+A+A+1=22，22＜27，所以3AA1的各位數(shù)字和只能是9的1倍或2倍，即9或18．
【解答】解：根據(jù)題意可得：
四位數(shù)3AA1，它能被9整除，那么它的數(shù)字和（3+A+A+1）一定是9的倍數(shù)；
因為A是一個數(shù)字，只能是0、1、2、3、…、9中的某一個整數(shù)，最大值只能是9；若A=9，那么3+A+A+1=3+9+9+1=22，22＜27，所以，3AA1的各位數(shù)字和只能是9的1倍或2倍，即9或18；
當(dāng)3+A+A+1=9時，A=2.5，不合題意；
當(dāng)3+A+A+1=18時，A=7，符合題意；
所以，A代表7，這個四位數(shù)是3771．
答：A是7，
故答案為：7．
【點評】本題主要考查能被9整除數(shù)的特征，即一個數(shù)能被9整除，那么這個數(shù)的數(shù)字和一定是9的倍數(shù)，然后在進一步解答即可．
【典例三】如果六位數(shù)2009□□能被128整除，那么它最后的兩位數(shù)是什么？
【分析】根據(jù)除法的計算方法的應(yīng)用，結(jié)合題意用2009□□除以128，用被除數(shù)的前三位200除以128商1，余數(shù)72，落下被除數(shù)的9，用729除以128，商5，余數(shù)是89，落下被除數(shù)的□，用89□除以128，商6，余數(shù)最大是127，所以□最大填5，再落下□，用127□除以128，商最大是9，128乘9等于1152，不能整除，所以用89□除以128，商7，128乘7等于896 所以□填6，最后□填0，能被128整除，解答．
【解答】解：根據(jù)整除的意義，
，
所以200960能被128整除，它最后的兩位數(shù)是6，0．
【點評】此題考查的是整除的意義．
一．選擇題（共8小題）
1．某班有一個小圖書館，共有300多本圖書，從1開始，圖書按自然數(shù)的順序編號，即1，2，，小光看了這圖書館里都被2，3和8整除的書號，共16本，這個圖書館里至少有 本圖書．
A．381B．382C．383D．384
2．下面是用字母表示的三種形式的六位數(shù)、、表示三個數(shù)字，且不等于，形如 的六位數(shù)，一定能被3整除．
A．B．C．
3．下面四個數(shù)都是六位數(shù)，是的自然數(shù)，是0，一定能被3和5整除的數(shù)是
A．B．C．D．
4．從1到2000共2000個整數(shù)里面，是3的倍數(shù)但不是5的倍數(shù)的數(shù)有 個
A．532B．533C．534D．535
5．請你在121這個數(shù)后面補上3個數(shù)字組成一個6位數(shù)，使這個數(shù)能被3、4、5整除，并且要求這個數(shù)值盡量小，這個數(shù)是
A．1212000B．121080C．121110D．121140
6．下列4個數(shù)都是六位數(shù)，是大于0小于10的自然數(shù)，是0，一定能同時被2、3、5整除的數(shù)是
A．B．C．D．
7．已知、、都是整數(shù)，則下列三個數(shù)中，整數(shù)的個數(shù)
A．至少有一個B．僅有一個C．至少有二個
8．計算、四個同學(xué)給出了四個不同的答案，只有一個正確，一個同學(xué)利用學(xué)過的一些數(shù)的倍數(shù)的特征很快找到了它，它是
A．632254965B．632244965C．632234965D．632213965
二．填空題（共8小題）
9．1996年的5月2日是小華的9歲生日．他爸爸在1996的右面添了一個數(shù)字，左面添了一個數(shù)字組成了一個六位數(shù)．這個六位數(shù)正好能同時被他的年齡數(shù)、出生月份數(shù)和日數(shù)整除．這個六位數(shù)是 ．
10．把100拆成兩個自然數(shù)之和，其中一個是7的倍數(shù)，另一個是11的倍數(shù)，那么兩個數(shù)中較大的一個是 。
11．要使6位數(shù)15□□□6能夠被36整除而且所得的商最大，□□□內(nèi)應(yīng)填 ．
12．從0、1、4、5、6五個數(shù)字中，選四個數(shù)字組成一個能同時被2、3、5整除的最小四位數(shù)是
13．有一個號碼是六位數(shù)，前四位是2857，后兩位忘記了，但是這個六位數(shù)能被11和13整除，那么這個號碼是 。
14．有一個自然數(shù)，若能被3整除，能被5整除，能被7整除，則在中滿足上述條件的有 個。
15．兩個四位數(shù)和相乘，要使它們的乘積能被72整除， ．
16．如果各位數(shù)字都是1的某個整數(shù)能被3333333整除，那么該整數(shù)中1的個數(shù)最少有 個．
三．解答題
17．有一類四位數(shù)，每一個四位數(shù)都能被11整除，并且每一個四位數(shù)的各位數(shù)字之和都是20，則這類數(shù)中，最小的數(shù)是多少？
18．試問，能否將由1至100這100個自然數(shù)排列在圓周上，使得在任何5個相連的數(shù)中，都至少有兩個數(shù)可被3整除？如果回答是“能”，則只要舉出一種排法；如果回答是“不能”，則需給出說明。
19．有7袋米，它們的重量分別是 12、15、17、20、22、24、26公斤．甲先取走一袋，剩下的由乙、丙、丁取走．已知乙和丙取走的重量恰好一樣多，而且都是丁取走重量的2倍．那么甲先取走的那一袋的重量是多少公斤？
20．在的自然數(shù)中，能被2整除或者被5整除的數(shù)一共有多少個？
21．是一個可被66整除的六位數(shù)，求的值．
22．某數(shù)能被 10、12、15 整除，且所得的三個商數(shù)總和是1365，求此數(shù)．
23．1，2，3，4，5，6每一個使用一次組成一個六位數(shù)，使得三位數(shù)，，，能依次被4，5，3，11整除．求這個六位數(shù)．
24．在六位數(shù)372□1□的兩個方框中分別填入數(shù)字，使得這個六位數(shù)既是5的倍數(shù)也是3的倍數(shù)，這個六位數(shù)可能是多少？用你喜歡的方式表達你的思考過程．
25．某個七位數(shù)1993口口口能同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是多少？
26．用分別寫有數(shù)字1、3、7、8的四張卡片可以排出24個不同的四位數(shù)，其中可以被22整除的四位數(shù)有幾個？各是多少？
27．從自然數(shù)1，2，3，，1000中，最多可取出多少個數(shù)使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和能被18整除？
28．從自然數(shù)1，2，3，，2015中，取出個數(shù)，所取的數(shù)中任意三個數(shù)之和能被15整除。求的最大值。
參考答案
一．選擇題（共8小題）
1．【答案】
【分析】2、3、8的最小公倍數(shù)是24，所以這些書號都是24的倍數(shù)．小光看了這圖書館里都被2，3和8整除的書號，共16本，所以這個圖書館里至少有，所以至少384本書，據(jù)此解答即可．
【解答】解：2、3、8的最小公倍數(shù)是24，所以這些書號都是24的倍數(shù)
（本
故選：。
【點評】本題的關(guān)鍵是求出2、3、8的最小公倍數(shù)是24．
2．【答案】
【分析】用十進制表示出結(jié)果，提公因式分組分解，找出公有的因數(shù)，再進一步分解質(zhì)因數(shù)即可求得問題的答案．
【解答】解：、，
，
，
，
此數(shù)一定能被11整除，但不一定能被3整除；
、，
，
，
，
因為，
所以此數(shù)一定能被3整除；
、，
，
，
此數(shù)不一定能被3整除．
方法、，無法確定是否能被3整除；
、，能夠確定一定能被3整除；
、各個數(shù)位的數(shù)字和是，無法確定是否能被3整除。
故選：。
【點評】此題主要考查利用十進制、分組分解因式以及分解質(zhì)因數(shù)研究數(shù)的整除性．
3．【答案】
【分析】個位上的數(shù)字是0，能被5整除，不管是比10小的哪個自然數(shù)，的和一定是3的倍數(shù)，所以也一定能被3整除，所以選．
【解答】解：，
能被5整除，
的和一定是3的倍數(shù)，
也一定能被3整除，
故選：．
【點評】此題主要考查能被3、5整除的數(shù)的特征，一個數(shù)個位上是0或5，這個數(shù)就能被5整除，一個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就能被3整除．
4．【答案】
【分析】先求出能被3整除的數(shù)的整數(shù)個數(shù)，所有3的倍數(shù)，去掉15的倍數(shù)即是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，即可求出是3的倍數(shù)但不是5的倍數(shù)的數(shù)個數(shù)：
1至2000這些整數(shù)，是3的倍數(shù)的共有666個．，
又是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)那么就是15的倍數(shù)．，
個．
【解答】解：，
從1到2000共2000個整數(shù)中，是3的倍數(shù)的共有666個
，
15的倍數(shù)有133個，
是3的倍數(shù)但不是5的倍數(shù)的數(shù)個數(shù)
（個，
故選：。
【點評】解決此題關(guān)鍵是先求出能被3整除的數(shù)的個數(shù)，能被15整除的數(shù)的個數(shù)，進一步得解．
5．【分析】先找出能被4、5整除的數(shù)和能被3整除的數(shù)的特征，綜合以上數(shù)的特征并根據(jù)這個數(shù)值盡可能小，再確定此數(shù)．
【解答】解：能被4、5整除，這個數(shù)的個位上一定是0，
能被4整除的數(shù)，末尾兩位能被4整除，因此十位上一定是偶數(shù)，
能被3整除的數(shù)，各位上數(shù)字的和能被3整除，，最少差2就能被3整除，
所以這個數(shù)最小是121020，．
故選：．
【點評】此題考查數(shù)的整除特征及其運用，明確：能被3整除的數(shù)，各個數(shù)位上的數(shù)字和能被3整除，那么這個數(shù)能被3整除；能被4整除的數(shù)，個位和十位所組成的兩位數(shù)能被4整除，那么這個數(shù)能被4整除；能被5整除的數(shù)，個位上為0或5的數(shù)都能被5整除，那么這個數(shù)能被5整除．
6．【答案】
【分析】這個六位數(shù)個位上的數(shù)字是0，能被2和5整除，不管是比10小的哪個自然數(shù)，的和一定是3的倍數(shù)，所以一定能被3整除，所以選
【解答】解：，
能被2和5整除，
的和一定是3的倍數(shù)，
也一定能被3整除，
故選：。
【點評】此題主要考查能被2、3、5整除的數(shù)的特征：一個數(shù)個位上是0或5，這個數(shù)就能被5整除；個位是0、2、4、6、8的數(shù)能倍2整除；一個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就能被3整除．
7．【分析】根據(jù)偶數(shù)與奇數(shù)的定義可知，如果它們的和的是偶數(shù)則除以2的商為整數(shù)，如果它們的和為奇數(shù)，則它們數(shù)和除以2的商不為整數(shù)，因此完成本題要根據(jù)，，的奇偶性的不同情況來判斷它們數(shù)和的奇偶性，從而得出它們的數(shù)和除以2時，商是否是整數(shù)．
【解答】解：當(dāng)，，都為偶數(shù)時，則，，的和為偶數(shù)，
那么，， 都為整數(shù)；
當(dāng)，，都為奇數(shù)時，則，，的和為偶數(shù)，
那么，， 都為整數(shù)；
當(dāng)，，中有一個偶數(shù)，兩個奇數(shù)時，，，的和中有兩個為奇數(shù)，一個為偶數(shù)，
那么，， 只有一個為整數(shù)；
當(dāng)，，中有一個奇數(shù)，兩個偶數(shù)時，，，的和中有兩個為奇數(shù)，一個為偶數(shù)，
那么，，只有一個為整數(shù)；
所以，如果，，是三個任意整數(shù)，那么，， 中至少有一個為整數(shù)．
故選：．
【點評】完成本題要在了解數(shù)和的奇偶性的基礎(chǔ)上完成：偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)，偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)．
8．【答案】
【分析】等式左邊55779是3的倍數(shù)，那么的積也應(yīng)該是3的倍數(shù)；據(jù)此選擇即可。
【解答】解：632254965是3的倍數(shù)，
632244965不是3的倍數(shù)，
632234965不是3的倍數(shù)，
632213965不是3的倍數(shù)，
所以只有632254965是正確的。
故選：。
【點評】解答此題通過發(fā)現(xiàn)55779是3的倍數(shù)，根據(jù)能被3整除的特征判斷。
二．填空題（共8小題）
9．
【分析】因為5、2、9的最小公倍數(shù)是90，所以這個六位數(shù)能被90整除，則這個六位數(shù)的個位數(shù)字是0，再根據(jù)能被9整除的特征：各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9整除可知，最高位上的數(shù)字應(yīng)該是2，據(jù)此即可解答問題．
【解答】解：，2，，這個六位數(shù)應(yīng)能被90整除，所以個位是0，十萬位是2．
所以這個六位數(shù)是219960．
故答案為：219960．
【點評】此題主要考查整除的意義，及根據(jù)整除的意義和數(shù)的整除的特征解決有關(guān)的問題．
10．【答案】56。
【分析】把100寫成7與一個數(shù)的乘積加上11與一個數(shù)的乘積的和，即，由此求出兩個自然數(shù)，然后進行比較。
【解答】解：因為
所以這兩個數(shù)中較大的一個數(shù)是56。
古答案為：56。
【點評】關(guān)鍵是把100進行裂項，即寫為：。
11．【分析】要使6位數(shù)15□□□6能夠被36整除而且所得的商最大，千位上也要最大，再根據(jù)能被4整除的數(shù)的特征確定十位數(shù)字，再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征確定百位數(shù)．
【解答】解：為使商最大，則被除數(shù)也應(yīng)最大，故千位上可填入9；又被除數(shù)是4的倍數(shù)，故十位應(yīng)填入1，3，5，7，9．此時對應(yīng)的百位數(shù)應(yīng)填入5，3，1，8，6．故三個方柜中的數(shù)為987．
故答案為：987．
【點評】本題主要考查數(shù)的整除特征，熟練掌握能被4和9整除的數(shù)的特征是解答本題的關(guān)鍵．
12．【分析】根據(jù)2、3、5的倍數(shù)的特征可知：能同時被2、3、5整除的數(shù)的特征是：個位上必須是0且各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)．據(jù)此解答．
【解答】解：要先滿足個位上是0，要使這個四位數(shù)最小，就要選取另外4個數(shù)中較小的3個數(shù)，因為，，10和11都不是3的倍數(shù)，所以只有符合要求；
所以這個最小的四位數(shù)是1560．
故答案為：1560．
【點評】此題考查的目的是理解掌握2、3、5的倍數(shù)的特征．注意個位上是0的數(shù)同時是2和5的倍數(shù)．
13．【答案】285714。
【分析】先設(shè)后二位數(shù)為00（最小值），即285700，被11與13的最小公倍143除，得商是1997.90209，將小數(shù)去掉，在整數(shù)上加1，（不論小數(shù)多大，均加1，而非四舍五入）得1998，再將1998乘143，得出答案。
【解答】解：先設(shè)后二位數(shù)為00（最小值），即285700，被11與13的最小公倍143除，得商1997.90209；
然后將小數(shù)去掉，在整數(shù)上加1（不論小數(shù)多大，均加1，而非四舍五入）得1998，再將1998乘143，得285714。
答：這個號碼是285714。
故答案為：285714。
【點評】此題考查了數(shù)的整除性，本題關(guān)鍵是得到六位數(shù)的取值范圍為285700到285799之間。
14．【答案】5。
【分析】由題意可知：該數(shù)能被3整除，加1能被5整除，加2能被7整除，根據(jù)剩余定理，這些數(shù)字之差一定是，5，的倍數(shù)，由此列舉即可。
【解答】解：該數(shù)能被3整除，加1能別5整除，加2能被7整除，根據(jù)剩余定理，這些數(shù)字之差一定是，5，的倍數(shù)；該自然數(shù)在中的有：54、159、264、369、474，共5個。
故答案為：5。
【點評】此題屬于數(shù)的整除特征，明確這些數(shù)字之差一定是，5，的倍數(shù)，是解答此題的關(guān)鍵。
15．【分析】，所以兩個四位數(shù)和的乘積能被8和9整除，是奇數(shù)，所以只能能被8整除，最大為1238，，所以，則；又因為，8不能被9整除，所以只能能被9整除，然后根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，進一步解答即可．
【解答】解：，所以兩個四位數(shù)和的乘積能被8和9整除，
是奇數(shù)，所以只能能被8整除，最大為1238，
所以，則；
又因為，8不能被9整除，所以只能能被9整除，
，所以6需要再加上3，才能被9整除，即3123被9整除，那么；
所以，；
答：．
故答案為：5．
【點評】了解能被8、9整除數(shù)的特征是完成本題的關(guān)鍵．
（1）能被9整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的各位數(shù)字之和能被9整除，那么它必能被9整除．
（2）能被8整除的數(shù)的特征：如果一個整數(shù)的末三位數(shù)能被8整除，那么它必能被8整除．
16．【分析】先把3333333分解質(zhì)因數(shù)，然后再根據(jù)能被7、3整除的數(shù)的特征推算即可．
【解答】解：．
因為要被1111111這個七位數(shù)整除，所以這個整數(shù)中1的個數(shù)應(yīng)是7的整數(shù)倍．又要被3整除，各個數(shù)字之和一定是3的整數(shù)倍，由于各位數(shù)字都是1，
故數(shù)字1的個數(shù)應(yīng)是3的整數(shù)倍，
因此，這個整數(shù)中1的個數(shù)，是7與3的公倍數(shù)，最小是．
這個整數(shù)中1的個數(shù)最少有21個．
故答案為：21．
【點評】本題考查了能被7、3整除的數(shù)的特征的靈活應(yīng)用．
三．解答題
17．【答案】則這類數(shù)中，最小的數(shù)是1199。
【分析】能被11整除的數(shù)的特征：若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被11整除。
【解答】解：假設(shè)它的奇數(shù)位數(shù)字之和為，則偶數(shù)位數(shù)字之和是，被11整除則奇數(shù)位數(shù)字之和減去偶數(shù)位數(shù)字之和能被11整除；
當(dāng)符合條件；
此時，即百位和個位的和為10，十位上和千位數(shù)的和為10；
要使得這個數(shù)最小，千位上是1，十位上是9，百位數(shù)是1，個位數(shù)是9；
所以最小是1199。
答：則這類數(shù)中，最小的數(shù)是1199。
【點評】學(xué)生需熟記能被11整除的數(shù)的特征。
18．【答案】不能。
【分析】根據(jù)題意，可采用假設(shè)的方法進行分析，100個自然數(shù)任意的5個數(shù)相連，可以分成20個組，使得在任何5個相連的數(shù)中，都至少有兩個數(shù)可被3整除，那么會有40個數(shù)是3的倍數(shù)，事實上在1至100的自然數(shù)中只有33個是3倍數(shù)，所以不能。
【解答】解：假設(shè)能夠按照題目要求在圓周上排列所述的100個數(shù)，
按所排列順序?qū)⑺鼈兠?個分為一組，可得20組，
其中每兩組都沒有共同的數(shù)，于是，在每一組的5個數(shù)中都至少有兩個數(shù)是3的倍數(shù)。
從而一共會有不少于40個數(shù)是3的倍數(shù)。但事實上在1至100的這100個自然數(shù)中只有33個數(shù)是3的倍數(shù)；
導(dǎo)致矛盾，所以不能。
答：不能。
【點評】此題主要考查的是在1至100的100個自然數(shù)中能被3整除的有多少。
19．【分析】因為乙和丙買走的重量一樣多，且都是丁的2倍，所以乙丙丁三人買走的重量是丁的5倍；而7袋大米的總重量是千克，從136千克里減去5的倍數(shù)，剩下的就是甲買走的重量．反過來說，從136千克里減去甲買走的那一袋大米的重量，剩下的重量一定是5的倍數(shù)，要使136減去一個數(shù)后和得數(shù)能被5整除，這個數(shù)的個位數(shù)字一定是1或者6，而這7袋大米的重量中只有26的個位是6，因此甲買走的那一袋大米的重量是26千克
【解答】解：由于剩下的由乙、丙、丁三人買走，乙和丙買走的重量恰好相等，都是丁的2倍，
即乙，丙，丁三人買走的重量比為，
所以，甲買走一袋后剩下的重量應(yīng)是的倍數(shù)．
而總重量為：千克，
從136中減去一個數(shù)后和得數(shù)能被5整除，則這個這個數(shù)的個位數(shù)字一定是1或者6，
這7袋大米的重量中只有26的個位是6，
所以，甲買走的那一袋大米的重量是26千克．
答：甲買走的那一袋大米的重量是26千克．
【點評】根據(jù)條件得出甲買走一袋后剩下的重量是5的倍數(shù)是完成本題的關(guān)鍵．
20．【分析】在1至200這200個自然數(shù)中，能被2整除的數(shù)有個；能被5整除的數(shù)有個，又既能被2整除又能5整除的自然數(shù)則能被整除，即共有個．根據(jù)容斥原理可知，能被2或5整除的自然數(shù)一共有個．
【解答】解：能被2整除的數(shù)有個；
能被5整除的數(shù)有個；
又既能被2整除又能5整除的自然數(shù)則能被整除，即共有個．
所以能被2或5整除的自然數(shù)一共有個．
答：能被2整除或者被5整除的數(shù)一共有120個．
【點評】分別求出在1至200這200個自然數(shù)中，能被2或5整除的自然數(shù)各有多少個是完成本題的關(guān)鍵．
21．
【分析】把66分解質(zhì)因數(shù)得，能被66整除，也能被2、3、11整除．能被11整除數(shù)的特征是：把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來，再求它們的差，如果這個差是11的倍數(shù)（包括，那么，原來這個數(shù)就一定能被11整除．由此推知；
能被3整除數(shù)的特征是：各位數(shù)字的和都能被3整除．由此推知，能被3整除，即，能被3整除，則或4或7；
能被2整除數(shù)的特征是：個位數(shù)為偶數(shù)．由此推知．則，．
【解答】解：把66分解質(zhì)因數(shù)得，能被66整除，也能被2、3、11整除．
由能被11整除，推知；
由能被3整除，推知，能被3整除，則或4或7；
由能被2整除，推知．則；
所以．
答：的值為8．
【點評】本題的關(guān)鍵是把66分解質(zhì)因數(shù)后，準確理解被2、3、11整除數(shù)的特征．
22．
【分析】首先根據(jù)題意，這個數(shù)能被 10、12、15 整除，判斷出這個數(shù)是10、12、15的公倍數(shù)，然后求出10、12、15的最小公倍數(shù)，設(shè)出所求的數(shù)，根據(jù)三個商的總和是1365解答即可．
【解答】解：根據(jù)題意，這個數(shù)能被 10、12、15 整除，所以這個數(shù)是10、12、15的公倍數(shù)．
因為10、12、15的最小公倍數(shù)是60，所以可設(shè)這個數(shù)為，
則，，，可得三個商的總和是：，解得，所以這個數(shù)為．
答：此數(shù)為5460．
【點評】此題考查了學(xué)生數(shù)的整除特征以及最小公倍數(shù)的掌握情況；根據(jù)題意，這個數(shù)能被 10、12、15 整除，判斷出這個數(shù)是10、12、15的公倍數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．
23．
【分析】偶數(shù)中4的倍數(shù)，后兩位能被4整除、能被3整除的數(shù)各個數(shù)位和為3的倍數(shù)、能被11整除的數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和的差為11的倍數(shù)、能被5整除的數(shù)末位數(shù)為0或5，由此特點解答即可．
【解答】解：根據(jù)整除的特點可得：，或，，，4，，
又、、、、、只能取1到6的數(shù)，
由，，
可得：，，
又，只能取或，
則，
又，
可得：，
所以代入可得：，，，，，．
則這個數(shù)是數(shù)是324561．
【點評】本題主要考查了數(shù)的整除特征，難度較大，主要是要掌握能被4，5，3，11整除數(shù)的特征，然后結(jié)合這6個數(shù)的取值范圍進行分析即可．
24．【分析】個位上是0或5的數(shù)就是5的倍數(shù)，所以分兩種情況考慮，再根據(jù)各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的數(shù)就是3的倍數(shù)這一特征再填前面一空．
【解答】解：
當(dāng)個位是0時，□□，當(dāng)這個□中填2、5、8的時候這個六位數(shù)是3的倍數(shù)，因此符合條件的數(shù)有：372210、372510、372810；
當(dāng)個位是5時，□□，當(dāng)這個□中填0、3、6、9的時候這個六位數(shù)是3的倍數(shù)，因此符合條件的數(shù)有：372015、372315、372615、372915．
答：這個六位數(shù)可能是372210、372510、372810、372015、372315、372615、372915．
【點評】此題在列舉的時候要注意有條理地分析，做到不重復(fù)無遺漏．
25．
【分析】能被2和5整除個位為0，能被9整除所有數(shù)字之和可以被9整除，故十位，百位上的數(shù)字之和為5或14，故后三位可能形式為050，140，230，320，410，500，590，680，770，860，950，能被4整除的后三位數(shù)也能被4整除，能被8整除的，后三位必能被8整除，可排除其它，只剩下320，680，再考慮能被7整除，驗證只有320滿足條件．
【解答】解：能同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除的數(shù)是1993320，即它的最后三位數(shù)是320；
答：它的最后三位數(shù)是320．
【點評】本題是考查能被2、3、4、5、6、7、8、9整除的數(shù)的特征．關(guān)鍵是根據(jù)能被2、5的數(shù)據(jù)特征確定個位，再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征確定十位和百位上的數(shù)，再用排除法排除不符合條件的．
26．【分析】，即這樣的四位數(shù)要能同時被2、11整除，個位是偶數(shù)的數(shù)都能被2整數(shù)，能被11整除數(shù)的特征為：把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來，再求它們的差，如果這個差是11的倍數(shù)（包括，那么，原來這個數(shù)就一定能被11整除．據(jù)此可知，由1、3、7、8組成的能被22整除的數(shù)個位數(shù)必須是8，又，所以這樣的數(shù)有兩個：1738，3718．
【解答】解：，即這樣的四位數(shù)要能同時被2、11整除．
根據(jù)能被2，11整除數(shù)的特征可知，由1、3、7、8組成的能被22整除的數(shù)個位數(shù)必須是8，
奇位上的數(shù)字和與偶位上的數(shù)字和相減的差能被11整除，
，
所以這樣的數(shù)有兩個即：1738，3718．
答：其中可以被22整除的四位數(shù)有2個，分別是1738，3718．
【點評】了解能被2、11整除數(shù)的特征是完成本題的關(guān)鍵．
27．【分析】設(shè)，，，是所取出的數(shù)中的任意4個數(shù)，
則，
，
其中，是自然數(shù)．
于是．
說明所取出的數(shù)中任意2個數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同．
設(shè)這個余數(shù)為，則：
，
，
，其中，，是整數(shù)．于是．因為18能被整除，所以18能被整除，即6能被整除，推知，6，12．
因為，
所以，從1，2，，1000中可取6，24，42，996共56個數(shù)，它們中的任意3個數(shù)之和能被18整除．
故最多可取出56個數(shù)，使得所取出數(shù)中任三個數(shù)之和能被18整除．
【解答】解：設(shè)，，，是所取出的數(shù)中的任意4個數(shù)，
則，
，
其中，是自然數(shù)．
于是．
說明所取出的數(shù)中任意2個數(shù)之差是18的倍數(shù)，即所取出的每個數(shù)除以18所得的余數(shù)均相同．
設(shè)這個余數(shù)為，則：
設(shè)這個余數(shù)為，則：，
，
，其中，，是整數(shù)．于是．因為18能被整除，所以18能被整除，即6能被整除，推知，6，12．
因為，
所以，從1，2，，1000中可取6，24，42，996共56個數(shù)，它們中的任意3個數(shù)之和能被18整除．
故最多可取出56個數(shù)，使得所取出數(shù)中任三個數(shù)之和能被18整除．
【點評】本題主要考查能被18整除數(shù)的特征．
28．【答案】135。
【分析】設(shè)、、、是所取出的任意四個數(shù)。由題意有，，其中，、為正整數(shù)。所以，，上式表明，所取出的數(shù)中任意兩數(shù)之差是15的倍數(shù)，即所取的每個數(shù)除以15所得的余數(shù)相同。設(shè)這個余數(shù)為。于是，，。其中，、、是整數(shù)，，則因為能被15整除，所以，能被15整除，即能被5整除。因此，，5或10。當(dāng)時，可取15，共134個數(shù)，符合題意；當(dāng)時，可取5、20，共135個數(shù)，符合題意；當(dāng)時，可取10，25，、2005共134個數(shù)，符合題意。綜上可知，最大值是135。
【解答】解：經(jīng)分析可知：
當(dāng)選?。?、20，時，所取的數(shù)中任意三個數(shù)之和能被15整除。
一共有。
的最大值為135。
【點評】本題考查數(shù)的整除特征。分類討論解決即可。