1.已知集合A={x||x|≤1}，B={x|x2?4x≤0}，則A∩B=
A. [0,1]B. [?1,4]C. [?1,0]D. [1,4]
2.若復數(shù)(2+i)(a+i)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于y軸上，則實數(shù)a=
A. ?2B. ?12C. 12D. 2
3.已知向量a=1,3，b=?2,4，則b在a上的投影向量的長度為
A. 5B. 10C. 10D. 20
4.如圖，曲線AOB是拋物線C：x2=4y的一部分，且曲線AOB關(guān)于y軸對稱，|AB|=4，則點B到C的焦點的距離為
A. 4B. 3C. 2D. 1
5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(?π2b>c>d，由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)為a?2，b?2，c+2，d+2，則
A. 兩組數(shù)據(jù)的極差一定相等B. 兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等
C. 兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等D. 兩組數(shù)據(jù)的方差不可能相等
10.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2?y2b2=1(b>0)的左、右焦點，斜率為 15且過點F2的直線交C的右支于A，B兩點，A在第一象限，且|AF1|=|AB|，則
A. 點F1到C的漸近線的距離為 3
B. |AB|=10
C. C的離心率為2
D. 分別以BF1，F(xiàn)1F2為直徑的圓的公共弦長為 15
11.塌縮函數(shù)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信號處理和數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域經(jīng)常用到．常見的塌縮函數(shù)有tan?x=ex?e?xex+e?x，sig(x)=ex1+ex，設(shè)tan ?(x)的值域為D，sig(x)的值域為E，則下列結(jié)論正確的是
A. E?D
B. i=12025sig(i)+sig(?i)=2025
C. 方程2sig(x)=1+tanx的所有實根之和為1
D. 若關(guān)于x的不等式sig(ex+e?x)+sig(?m2+2m+1)>1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為(?1,3)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知一圓錐的表面積與底面積的比值為3，則該圓錐的母線與底面所成的角為 ．
13.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若∠A的平分線AE交BC于點E，且AE=23，c=1，b=2，則a= ．
14.記[x]表示不超過x的最大整數(shù)．若正項數(shù)列{an}滿足an2+2 n?an?3n=0，bn=i=1n21ai，則數(shù)列{bn}的前101項和為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知等差數(shù)列{an}滿足2a2+a3=0，a4=10，數(shù)列{bn}的首項為9，且{an+bn}是公比為2的等比數(shù)列．
(Ⅰ)求{an}的通項公式；
(Ⅱ)探究{bn}的單調(diào)性，并求其最值．
16.(本小題15分)
甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率是14，乙每次擊中目標的概率是12，假設(shè)兩人是否擊中目標相互之間沒有影響．
(Ⅰ)求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率；
(Ⅱ)設(shè)甲擊中目標的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．
17.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=aex．
(Ⅰ)當a≥1e時，證明：f(x)≥lnx+1；
(Ⅱ)當a>0時，若函數(shù)?(x)=f(x)?sinx?a在區(qū)間(0,π2)內(nèi)有且僅有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．
18.(本小題17分)
已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，短軸長為2 3．
(Ⅰ)求C的方程．
(Ⅱ)若C上的兩點(x1,y1)，(x2,y2)滿足y1y2x1x2=?b2a2，則稱點(x1,y1)，(x2,y2)為C上的一對伴點，設(shè)A為C上位于第一象限的一點，且點A的橫坐標為1．
(ⅰ)證明：點A在C上共有兩個伴點；
(ⅱ)設(shè)(ⅰ)中的兩個伴點分別為G，H，若斜率為32的動直線l與C交于點M，N，點G，H，M，N組成四邊形MGNH，求四邊形MGNH的面積的最大值．
19.(本小題17分)
球面與過球心的平面的交線叫做大圓，將球面上三點用三條大圓弧連接起來所組成的圖形叫做球面三角形，每條大圓弧叫做球面三角形的一條邊，兩條邊所在的半平面構(gòu)成的二面角叫做球面三角形的一個內(nèi)角．如圖(1)，球O的半徑R= 3，A，B，C，D為球O的球面上的四點．
(Ⅰ)若球面三角形ABC的三條邊長均為 3π3，求此球面三角形一個內(nèi)角的余弦值．
(Ⅱ)在球O的內(nèi)接三棱錐D?ABC中，DB⊥平面ABC，AB:AC:BC= 3: 2:1，直線DC與平面ABC所成的角為π3．
(ⅰ)若M，N分別為直線AD，BC上的動點，求線段MN長度的最小值；
(ⅱ)如圖(2)，若P，Q分別為線段AC，BC的中點，G為線段BD上一點(與點B不重合)，當平面OBC與平面GPQ夾角的余弦值最大時，求線段BG的長．
參考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.D
6.B
7.A
8.D
9.BC
10.ACD
11.ABD
12.π3
13. 7
14.10101
15.(Ⅰ)設(shè){an}的公差為d.由題可得2a2+a3=3a1+4d=0,a4=a1+3d=10,
解得a1=?8,d=6,
所以an=a1+(n?1)d=?8+6(n?1)=6n?14，
即{an}的通項公式為an=6n?14;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得a1+b1=1，又{an+bn}是公比為2的等比數(shù)列
所以an+bn=1×2n?1=2n?1，
則bn=2n?1?6n+14．
所以bn+1?bn=2n?1?6，當n=1，2，3時，bn+1?bn0，
所以b1>b2>b3>b40)，則AB= 3a，AC= 2a，BD= 3a，所以AD= 6a，
由勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，又BD∩BC=B,所以 AC⊥平面BCD,AC⊥CD，
因為直線DC與平面ABC所成的角為π3，所以∠DCB=π3，
易知在Rt△ACD和Rt△ADB中，斜邊AD的中點到點A，B，C，D的距離相等，即AD為球O的直徑，
所以AD= 6a=2 3，a= 2，
以點C為坐標原點，直線CB，CA分別為x軸，y軸，過點C且與BD平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
(i)由題可知C(0,0,0)，A(0,2,0)，B( 2,0,0)，D( 2,0, 6)，
則AD=( 2,?2, 6)，BC=(? 2,0,0)，BD=(0,0, 6)，
設(shè)與AD，BC都垂直的向量為n=(x,y,z)，
則AD?n= 2x?2y+ 6z=0,BC?n=? 2x=0,令z= 6，則n=(0,3, 6)，
所以線段MN長度的最小值為|BD?n||n|=6 15=2 155，
(ii)設(shè)BG=t，t∈(0, 6]，由題可知P(0,1,0)，Q( 22,0,0)，G( 2,0,t)，O( 22,1, 62)，
則CO=( 22,1, 62)，PQ=( 22,?1,0)，QG=( 22,0,t)．
設(shè)平面OBC的法向量為m=(x1,y1,z1)，
則m?BC=? 2x1=0,m?CO= 22x1+y1+ 62z1=0,取z1=?2，可得m=(0, 6,?2)．
設(shè)平面GPQ的法向量為p=(x2,y2,z2)，則p·PQ= 22x2?y2=0p·QG= 22x2+tz2=0
取x2= 2t，可得p=( 2,t,?1)．
設(shè)平面OBC與平面GPQ的夾角為θ．
因為csθ=cs=m·pmp= 6t+2 10· 3t2+1? 3t2+1= 55× 3t+ 2 3t2+1
= 55× ( 3t+ 2)23t2+1= 55× 1+2 6t+13t2+1，
令s=2 6t+1，則s∈(1,13]，t=s?12 6，3t2=(s?1)28，
可得2 6t+13t2+1=s(s?1)28+1=8ss2?2s+9=8s+9s?2≤82 s?9s?2=86?2=2，
當且僅當s=3，即t= 66時等號成立，此時csθ取得最大值，
故BG= 66．

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