試卷滿分：150分
注意事項(xiàng)：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
一、單選題：每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知是等差數(shù)列，，則（ ）
A. 0B. 5C. 10D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由可得，，①
又由可得，，即，②
由①②解得，
所以，
故選:A.
2. 在等比數(shù)列中，，，則公比（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楣葹榈牡缺葦?shù)列滿足，，由題意可得，故.
故選：B.
3. 棱長為的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)可計(jì)算得出的值.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，
所以，，，故.
故選：C.
4. 已知圓，圓，點(diǎn)P在圓N上運(yùn)動(dòng)，直線與圓M相切于點(diǎn)A，則的最大長度為（ ）
A. 8B. 7C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圓的切線長公式以及點(diǎn)到圓的距離的位置關(guān)系求解.
【詳解】由題，圓，圓，
所以圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
作圖如下，
因?yàn)?
由幾何性質(zhì)可知，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，有最大值為，
此時(shí)最大，最大值為，
故選:C.
5. 已知函數(shù)在處取得極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得，對(duì)和的大小進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，則，
由可得，，
因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值，則，
當(dāng)時(shí)，則，列表如下：
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，則，列表如下：
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，合乎題意.
綜上所述，.
故選：D.
6. 已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，可求得，求導(dǎo)可得，令，可求得，可求切線方程.
【詳解】令，可得，即，解得，
由，可得，
令，可得，解得，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
故選：D.
7. 、是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過的直線與的上、下兩支分別交于、兩點(diǎn)．若，，又，則雙曲線的實(shí)軸長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出圖形，在直角中，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出，利用勾股定理可求得，利用雙曲線的定義可得出關(guān)于的等式，解出的值，進(jìn)而利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的實(shí)軸長.
【詳解】如下圖所示：
因?yàn)?，，則，
因?yàn)椋瑒t，故，
由雙曲線的定義可得，
即，解得，
因此，該雙曲線的實(shí)軸長為.
故選：B.
8. 已知數(shù)列、滿足，，這兩個(gè)數(shù)列的項(xiàng)組成一個(gè)集合，集合中的數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出數(shù)列、的公共項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算得出，分析可知數(shù)列的前項(xiàng)包含數(shù)列的前項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)，且、、這三項(xiàng)出現(xiàn)兩次，各記為一次，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.
【詳解】數(shù)列的各項(xiàng)為：、、、、、、、、、、、，
數(shù)列的各項(xiàng)為：、、、、、、、、、、、，
所以，數(shù)列、的公共項(xiàng)為：、、、，
則數(shù)列、公共項(xiàng)構(gòu)成以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，，則，且，
所以，數(shù)列的前項(xiàng)包含數(shù)列的前項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)，且、、這三項(xiàng)出現(xiàn)兩次，各記為一次，
所以，.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題關(guān)鍵點(diǎn)在于確定數(shù)列的前項(xiàng)的構(gòu)成，進(jìn)而利用等差數(shù)列求和公式求解.
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．
9. 在棱長為2的正方體中，E、F、G分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A. B. 三棱錐的體積為定值
C. 平面截正方體所得的截面面積為9D. 存在實(shí)數(shù)使得
【答案】BD
【解析】
【分析】連接，求得，利用勾股定理的逆定理可判斷A；取的中點(diǎn)，連接，利用線面位置關(guān)系可得平面，可判斷B；連接，可得截面為四邊形，求得面積可判斷C；利用四邊形為梯形，可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又易求得，
所以，所以不垂直于，
所以不垂直于，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連接，
由E、F、G分別為的中點(diǎn)，所以可得，
又平面，平面，所以平面，
又易得，又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面，又，
所以到平面距離為定值，又為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B正確.
對(duì)于C，連接，因?yàn)镋、F分別為的中點(diǎn)，
所以易得，且，則四點(diǎn)共面，
所以平面截正方體所得的截面為四邊形，
由題意可得，
所以四邊形為等腰梯形，所以梯形的高為，
所以四邊形的面積為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，易知，又因?yàn)镋、F分別為的中點(diǎn)，
所以，且，則四點(diǎn)共面，
所以四邊形為梯形，又為相交直線，
所以存在實(shí)數(shù)使得，又因?yàn)榍遥?br>所以，所以存在實(shí)數(shù)使得，故D正確.
故選：BD.
10. 已知橢圓，斜率為k且不經(jīng)過原點(diǎn)O直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓的左頂點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的（ ）
A. 若直線斜率為，則
B. 若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則直線l的方程為
C. 若直線l的方程為，則
D. 若直線l過橢圓右焦點(diǎn)，則線段的最小值為1
【答案】BC
【解析】
【分析】由兩點(diǎn)求斜率和點(diǎn)在橢圓上可得A錯(cuò)誤；由A和點(diǎn)斜式可得B正確；由弦長公式可得C正確；設(shè)直線方程為，聯(lián)立曲線由弦長公式可得D錯(cuò)誤.
【詳解】設(shè)，

對(duì)于A， 由題意可得，，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓上，代入上式可得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由A可得，
由點(diǎn)斜式可得，化簡可得直線l的方程為，故B正確；
對(duì)于C，聯(lián)立，消去可得，，，
由弦長公式可得，故C正確；
對(duì)于D，橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)此時(shí)直線方程為，
聯(lián)立曲線方程可得，消去可得，
，，
由弦長公式可得，
由函數(shù)的單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)取得最小值為1，
但此時(shí)斜率不存在，不符合題意，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀，把數(shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)；第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)．記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（ ）

A.
B. 1275既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)
C.
D. ，總存在，使得成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】用累加法求得，再用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可判斷A；分別令，計(jì)算可得是三角形數(shù)的第50項(xiàng)，但1275不是完全平方數(shù)，可判斷B；將放縮后用裂項(xiàng)相消法求和即可判斷C；計(jì)算可得，可得結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)也滿足上式，所以，
所以，故A正確；
對(duì)于B，由得，，即，
解得，故1275是三角形數(shù)的第50項(xiàng)，但1275不是完全平方數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，其中，
所以當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)或時(shí)不等式顯然成立，故C正確：
對(duì)于D，，所以，
故，總存在，使得成立，故D正確．
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于用累加法求得數(shù)列的累加法求得通項(xiàng)公式，利用放縮法求得，求解可得結(jié)論.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在棱長為的正四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】將用基底表示，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.
【詳解】連接，如下圖所示：
由空間向量數(shù)量積的定義可得，
同理可得，
，
所以，
.
故答案為：.
13. 已知圓，直線，圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則的范圍是____________．
【答案】
【解析】
【分析】作出圖形，計(jì)算出圓心到直線的距離，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
因?yàn)閳A上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則，即，
解得，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，若關(guān)于x方程僅有2個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)圖象，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想求解即可.
【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，
令，可得；令，可得或，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
故當(dāng)時(shí)，有極小值為．
作出函數(shù)圖象如下，

令，則方程化成，
解得或，
則有1個(gè)實(shí)數(shù)解，
所以或且，解得或且，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 已知函數(shù)
（1）若，求在上的最大值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求出函數(shù)上的最大值；
（2）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.
【小問1詳解】
因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，則，，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，.
【小問2詳解】
，
①當(dāng)時(shí)，列表如下：
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；
②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，
所以，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
③當(dāng)時(shí)，列表如下：
所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.
16. 已知在數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且有，.
（1）求與的通項(xiàng)公式；
（2）令，若的前項(xiàng)和為，求證：．
【答案】（1），
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）令，可求得的值，當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定其首項(xiàng)和公差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)，由可得出，結(jié)合等比中項(xiàng)法知數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求得，利用錯(cuò)位相減法求出，即可證得結(jié)論成立.
【小問1詳解】
由，
當(dāng)時(shí)，，解得．
當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，
即，化為：，
對(duì)任意的，，所以，，即，
所以， 數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，則．
當(dāng)時(shí)，，即，可得，
因?yàn)?，?br>所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，．
【小問2詳解】
因?yàn)?，則，，
則，
上述兩個(gè)等式作差可得 ，
因?yàn)?，所以?
17. 如圖，在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；
（2）若點(diǎn)M滿足，且與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）推導(dǎo)出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合的范圍可求出的值，然后利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.
【小問1詳解】
連接，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，則，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，且，
又，則，且，
所以，，則，
因?yàn)?，、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，平面平?
【小問2詳解】
因?yàn)槠矫?，?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，
所以，，，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量
則，取，則，，
可得，
因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，
則，整理可得，
因?yàn)?，解得，則，
所以，平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，可得，
所以，，
因此，面與平面夾角的余弦值為．
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與直線的距離相等．直線過點(diǎn)交曲線于、兩點(diǎn)．
（1）求曲線的方程；
（2）若，求直線的方程；
（3）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程？若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）分析可知，曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，即可得出曲線的方程；
（2）分析可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由可得，將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合可求出的值，由此可得出直線的方程；
（3）設(shè)直線的方程為，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出直線截圓所得弦長的表達(dá)式，根據(jù)弦長為值可求得的值，即可得出直線的方程.
【小問1詳解】
因?yàn)榍€上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與直線的距離相等．
所以，曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，故曲線的方程為 .
【小問2詳解】
若直線的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，則，
由韋達(dá)定理可得，，
由得，可得，
所以，，則，所以，，解得.
因此，直線的方程為.
【小問3詳解】
設(shè)直線的方程為，線段中點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)、，
點(diǎn)到直線的距離為，
又，
所以，，
則，
當(dāng)時(shí)，即，截得弦長為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
19. 意大利畫家達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”其原理往往運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可表示為雙曲余弦函數(shù)的圖象，現(xiàn)定義雙曲正弦函數(shù)，他們之間具有類似于三角函數(shù)的性質(zhì)．（已知）
（1）證明：①倍元關(guān)系：；②平方關(guān)系：
（2）對(duì)任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意將雙曲余弦函數(shù)，雙曲正弦函數(shù)的解析式代入計(jì)算即可證明；
（2）分和討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷并取舍即可；
（3）利用給定定義目標(biāo)式子左邊合理放縮，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和即可證明.
【小問1詳解】
證明：①；
②.
【小問2詳解】
構(gòu)造函數(shù)
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
所以，故單調(diào)遞增，
此時(shí)，故對(duì)任意恒成立，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，令，
則恒成立，故單調(diào)遞增，
由與，
可知存在唯一，使得，
當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，
故對(duì)任意，即，不合題意，舍去；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【小問3詳解】
由（2）知：當(dāng)時(shí)，，令，則，
令單調(diào)遞增，
所以，即恒成立，
所以，則，
令單調(diào)遞增，
所以，即恒成立，令，
所以
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（3）問考查數(shù)列與導(dǎo)數(shù)新定義結(jié)合，解題的關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)式子左側(cè)合理放縮，然后使用裂項(xiàng)相消法求和，得到所證明的不等關(guān)系即可.
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