云南省保山市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷第1頁至第3頁，第Ⅱ卷第3頁至第6頁．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共58分）
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、學(xué)校、班級、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號在答題卡上填寫清楚．
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．在試題卷上作答無效．
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知弧長為的弧所對圓心角為，則這條弧所在的圓的半徑為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用弧長與半徑、圓心角的關(guān)系式可求解.
【詳解】設(shè)這條弧所在的圓的半徑為，
，又圓心角所對的弧長為，
所以，解得.
故選：B.
2. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再結(jié)合集合的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】，且，
所以，則.
故選：C
3. 函數(shù)的定義域是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)分式和偶次根式有意義可得所滿足的不等式，求解即可.
【詳解】由已知可得，解得且，
所以函數(shù)的定義域是.
故選：A
4. 為了得到函數(shù)的圖象．只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）
A. 向左平行移動個(gè)單位長度
B. 向右平行移動個(gè)單位長度
C. 向左平行移動個(gè)單位長度
D. 向右平行移動個(gè)單位長度
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖形變換中的原理求解，求解過程中注意系數(shù)對平移情況的影響.
【詳解】因?yàn)?，所以把函?shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動個(gè)單位長度即可．故選C.
5. 已知，，，則的大小關(guān)系是（）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.
【詳解】依題意，，
則，而，則，
所以的大小關(guān)系是.
故選：C
6. 某市GDP的年平均增長率為，按此增長率，大約經(jīng)過年后該市GDP會翻一番，則為（參考值，）（）
A. 14B. 16C. 18D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】由題意設(shè)某市原有GDP為，經(jīng)過年后該市GDP會翻一番為，由題意，求解即可.
【詳解】設(shè)某市原有GDP為，經(jīng)過年后該市GDP會翻一番為，
由年平均增長率為，可得，
所以，兩邊取自然對數(shù)得，
所以，代入?yún)⒖贾档?br>故選：A
7. 已知函數(shù)在區(qū)間上至少有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，結(jié)合條件可得，求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上至少有3個(gè)零點(diǎn)，
所以，解得，所以的取值范圍是.
故選：C.
8. ，用表示，中的較小者，記為，若，，則函數(shù)的最大值為（）
A. B. 6C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】分和兩種情況，解不等式，可求得的解析式，進(jìn)而可求得的最大值.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，，，
由，可得，
解得，又，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
②當(dāng)時(shí)，由，可得，
解得，又，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
綜上所述：，
當(dāng)時(shí)，，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，，
綜上所述：，所以函數(shù)的最大值為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于分類討論，求得函數(shù)的解析式，再求得函數(shù)的最大值求解.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列判斷正確的是（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BD
【解析】
【分析】利用同角的正余弦的平方關(guān)系求解可判斷A；利用兩角和的正切公式計(jì)算可判斷B；利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可判斷CD.
【詳解】因?yàn)?，所以的終邊在一，二象限，
當(dāng)?shù)慕K邊在一象限時(shí)，，
當(dāng)?shù)慕K邊在二象限時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
由，可得，所以，解得，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
，故D正確.
故選：BD.
10. 如圖，在以為直徑的半圓中，是圓心，是垂直于的半徑，是直徑上與不重合的任意一點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用圖形的幾何位置關(guān)系結(jié)合勾股定理和圓的幾何位置特征求解即可.
【詳解】由題意得：，所以，故選項(xiàng)A正確，
在中，由勾股定理得：，故選項(xiàng)B正確，
，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
11. 對于任意的，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”．下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱
B. 設(shè)，，則有
C. 函數(shù)，的值域?yàn)?br>D. 不等式的解集為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，取值驗(yàn)證判斷A；利用，計(jì)算可判斷B；由取整函數(shù)的定義得，進(jìn)而判斷C；解一元二次不等式，然后取整函數(shù)的定義求出解集判斷D.
【詳解】對于A：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即點(diǎn)，都在函數(shù)的圖象上，它們關(guān)于原點(diǎn)不對稱，
則函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)不對稱，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)椋?br>所以，故B正確；
對于C：由取整函數(shù)的定義知，，則，
因此函數(shù)，的值域?yàn)?，故C正確；
對于D：由，得，解得，
而，則，因此，不等式的解集為，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.
第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）
注意事項(xiàng)：
第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 計(jì)算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可.
【詳解】.
故答案為：.
13. 已知，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由可得，
平方可得，即，
化簡可得，
即，解得或，
其中，則，
當(dāng)時(shí)，（舍），
當(dāng)時(shí)，，
所以.
故答案為：
14. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，并滿足，則______．
【答案】0
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的對稱性及周期性，并求得，再利用周期性求出所求值.
【詳解】由函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，得，
而不恒為0，則，，
又，則，即，
因此，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
由，得，
所以.
故答案為：0
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 已知函數(shù)
（1）求，；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性并證明．
【答案】（1），3；
（2）偶函數(shù)，證明見解析.
【解析】
【分析】（1）判斷代入求出函數(shù)值.
（2）利用函數(shù)奇偶性定義推理判斷即可.
【小問1詳解】
函數(shù)，則，.
【小問2詳解】
函數(shù)是偶函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，
而，
因此，所以函數(shù)是偶函數(shù).
16. 已知函數(shù)．
（1）求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值以及取得最小值時(shí)的集合．
【答案】（1），；
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再求出最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）求出相位的范圍，確定最小值點(diǎn)，求出最小值及對應(yīng)值集合.
【小問1詳解】
函數(shù)，
所以的最小正周期；
由，得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
所以的最小值為，取得最小值時(shí)的集合為.
17. 已知函數(shù)．
（1）在圖中畫出函數(shù)的圖象；
（2）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）作圖見解析；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）借助指數(shù)函數(shù)圖象，利用變換法作出函數(shù)圖象.
（2）由零點(diǎn)的意義，結(jié)合（1）的圖象，求出直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的范圍.
【小問1詳解】
作出函數(shù)的圖象，并沿軸負(fù)方向平移2個(gè)單位得的圖象，
再將所得的圖象在軸下方部分沿軸翻折到軸上方與在軸上方的圖象
合在一起得的圖象，如圖中實(shí)線：
【小問2詳解】
由，得，由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
得直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由（1）知，，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
18. 數(shù)控機(jī)床（Cmputer Numerical Cntrl Machine Tls，簡稱CNC機(jī)床）是一種通過計(jì)算機(jī)程序控制，具有高精度、高效率的自動化機(jī)床，廣泛應(yīng)用于機(jī)械制造、汽車制造、航空制造等領(lǐng)域．某機(jī)床廠今年年初用50萬元購入一臺數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用．已知該機(jī)床在使用過程中所需要的各種支出費(fèi)用總和（單位：萬元）與使用時(shí)間（，，單位：年）之間滿足函數(shù)關(guān)系式為：．該機(jī)床每年的生產(chǎn)總收入為24萬元．設(shè)使用年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為萬元．（盈利額等于總收入減去購買成本及所有使用支出費(fèi)用）．
（1）寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）從第幾年開始，該機(jī)床開始盈利？
（3）該機(jī)床使用過程中，已知年平均折舊率為（固定資產(chǎn)使用1年后，價(jià)值的損耗與前一年價(jià)值的比率）．現(xiàn)對該機(jī)床的處理方案有兩種：
第一方案：當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時(shí)，再將該機(jī)床賣出；
第二方案：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，再將該機(jī)床賣出．
以總獲利為選取方案的依據(jù)，研究一下哪種處理方案較為合理？請說明理由．（總獲利盈利額機(jī)床剩余價(jià)值）
（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
【答案】（1）
（2）第3年（3）第一方案
【解析】
【分析】（1）根據(jù)盈利額的定義，用總收入減去購買成本和使用支出費(fèi)用來構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式；
（2）令盈利額大于0，求解不等式，即可得到結(jié)果；
（3）分別計(jì)算兩種方案下的總獲利，比較大小來判斷哪種方案更合理.
【小問1詳解】
由盈利額等于總收入減去購買成本及所有使用支出費(fèi)用，可得：
.
【小問2詳解】
令，即，即，
對于方程，由求根公式可得，
又，則，
，
所以不等式的解為，
且，所以從第3年開始盈利.
【小問3詳解】
第一方案：對于，對稱軸為，
當(dāng)時(shí)，（萬元），
此時(shí)機(jī)床剩余價(jià)值為，
總獲利為（萬元）；
第二方案：年平均盈利額為
其中，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，
且，則或，
當(dāng)時(shí)，（萬元），
當(dāng)時(shí)，（萬元），
所以時(shí)，年平均盈利額最大，此時(shí)盈利額（萬元），
機(jī)床剩余價(jià)值為（萬元），
總獲利為（萬元），
因?yàn)?，所以第一方案較為合理.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)模型，以及結(jié)合基本不等式求取最值，從而求解.
19. 雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)（歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關(guān)）．其中雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：（是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求的值；
（2）證明：兩角和的雙曲余弦公式；
（3）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）1；（2）證明見詳解；
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)定義直接代入即可求；
（2）根據(jù)雙曲函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡計(jì)算即可求解；
（3）由函數(shù)定義代入函數(shù)解析式，由題意可得在上恒成立，令，即求，令，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求.
【小問1詳解】
由題意，
【小問2詳解】
因?yàn)樽筮?br>右邊
所以.
【小問3詳解】
由題意可知在上恒成立，
整理得在上恒成立，
令，
則，
令，
因?yàn)椋裕?br>所以，所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
故，即的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)新定義問題，解答本題的關(guān)鍵在于理解雙曲余弦函數(shù)以及雙曲正弦函數(shù)的定義，然后結(jié)合所學(xué)函數(shù)知識解答.

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