一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.下列量中是向量的為( )
A. 課桌的高度B. 一段路程的公里數(shù)
C. 上課時老師敲擊黑板的頻率D. 小汽車受到路面的彈力
2.已知集合A=1,a，集合B滿足A∪B=1,e,π，則a的所有可能取值的集合為( )
A. 1B. eC. πD. e,π
3.已知向量m=2,?1，n=?1,3，則m?m?n=( )
A. 8B. 10C. 12D. 16
4.已知向量a=3,?1，向量b=3,4，則a在b上的投影向量的坐標為( )
A. 35,45B. ?35,45C. 35,?45D. ?35,?45
5.若a，b是平面內一組不共線的非零向量，則下列也可以作為一組基底向量的為( )
①a?b和2025b?2025a ②a+b和a?b
③a?2b和2a?b ④a?2b和4b?2a
A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④
6.已知3x×9y=3xy，且x，y>0，則x+2y的最小值是( )
A. 2 2B. 4C. 4 2D. 8
7.在一個建筑工程中，工程師需要根據(jù)斜坡的傾斜角度來計算一些結構的受力情況.設斜坡的傾斜角度為θ00，N1+N2=600，依次由該程序處理，求所需的總處理時間的最小值．
19.(本小題17分)
如圖，已知半徑為2的扇形OAB的圓心角為π2，C為線段OA的中點，D是AB?上一動點(包含A，B兩點)．

(1)求AD?OD的取值范圍；
(2)當∠AOD=π4時，以OA，OB為一組基底向量表示CD；
(3)若CD=xCA+yCB(x，y∈R)，求x+y的最大值．
參考答案
1.D
2.D
3.B
4.A
5.B
6.D
7.B
8.C
9.BD
10.BC
11.ACD
12.?x∈0,12,x≤tan2x
13.π2/12π/90 °
14.2
15.(1)
證明：因為E為AB的中點，所以AE=EB，
則ME=MA+AE=MA+EB=MA+MB?ME，
故ME=12MA+MB．
(2)
由AB=CD，AB//CD，則四邊形ABCD為平行四邊形，
由向量的概念可得在四邊形ABCD中，與ME共線的向量有
EM，F(xiàn)M，MF，EF，F(xiàn)E，AD，DA，BC，CB．
(3)
證明：設AB=kCDk≠0，又因為AB//CD，所以AM=kMC，BM=kMD，
由(1)知ME=12MA+MB，同理MF=12MC+MD，
其中12MA+MB=?k2MC+MD，所以ME=?kMF，
故E，M，F(xiàn)三點共線．

16.(1)證明：由正弦定理可得a2?c2a?b=b，即a2?c2=ab?b2，
由余弦定理a2+b2?c2=2abcsC，
得csC=12，
又C∈0,π，故C=π3．
(2)證明：若A=π3，則?ABC是等邊三角形，則a=b，
而由asinA?csinCa?b=sinB可知a≠b，矛盾，故A≠π3，得證．
(3)因為∠ADC=∠ACB，∠CAD=∠BAC，
所以?ADC∽?ACB，
由相似可知AC2=AD?AB，
又AD=2BD=2，
故c=3，b=AC= 6
又a2?c2=ab?b2，代入得a2? 6a?3=0，
解得a= 6+3 22(負值舍去)，
即a的值為 6+3 22．

17.(1)在?ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2?2AB?BCcs∠ABC，
即AC2=102+202?2×10×20×?12=700，
故AC=10 7米．
設該人工圓形湖泊的半徑為R，
故2R=ACsin∠ABC=10 7 32=20 213，
所以該人工圓形湖泊的直徑為20 213米．
(2)易得S?ABC=12AB?BCsin∠ABC=12×10×20× 32=50 3，
因為A，B，C，D四點共圓，所以∠ADC=180 °?∠ABC=60 °，
設AD=x，CD=y，由余弦定理可得AC2=700=x2+y2?xy≥xy，
所以S?ADC=12xysin∠ADC= 34xy≤ 34×700=175 3，
當且僅當AD=CD時取等號，
故四邊形ABCD面積的取值范圍為50 3,225 3(平方米)．

18.(1)由題意得lnt=lnt0+NN0?1，故
兩式相減可得ln4e24e3=300?400N0，故N0=?100?lne=100，
故t0=4e2e300100?1=4e2e2=4．
(2)由(1)可知t=4eN100?1，當N=600時，t=4e5，
故所需的處理時間為4e5秒.
(3)t=4eN1100?1+4eN2100?1≥8 eN1100?1×eN2100?1=8 eN1+N2100?2=8 e4=8e2，
當且僅當N1=N2=300時取等號，
故所需的總處理時間的最小值為8e2秒.

19.(1)設∠AOD=θ，AD?OD=AO+OD?OD=AO?OD+OD2=4?OA?OD，
因為∠AOD=θ∈0,π2，
故OA?OD=4csθ∈0,4，
所以AD?OD的取值范圍為0,4．
(2)CD=CO+OD=?12OA+OD，
則OD在OA方向上的投影向量為ODcsθ?OAOA=csθ?OA，
OD在OB方向上的投影向量為OD?csπ2?θ?OBOB=sinθ?OB，
所以OD=csθ?OA+sinθ?OB，
所以CD=?12OA+OD=2csθ?12OA+sinθ?OB，
將θ=π4代入，得CD= 2?12OA+ 22OB．
(3)因為CA=12OA，CB=CO+OB=OB?12OA，
所以CD=xCA+yCB=x?y2OA+yOB，
又由(2)知CD=2csθ?12OA+sinθ?OB，
故x?y=2csθ?1,y=sinθ,
則x+y=2csθ?1+2sinθ=2 2sinθ+π4?1，
因為θ∈0,π2，所以當且僅當θ=π4時，sinθ+π4取得最大值1，
故x+y的最大值為2 2?1．

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