命題：長(zhǎng)興中學(xué) 方志剛、陳王歡、謝偉忠
磨題：海寧高級(jí)中學(xué) 杜麗娟 嘉興一中 吳獻(xiàn)超 臨安中學(xué) 郭立軍
校稿：李慧華、呂金晶
考生須知：
1．本卷滿分 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘．
2．答題前務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題
紙規(guī)定的地方.
3．答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試
卷紙上答題一律無(wú)效.
4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.
第 I 卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)
是符合題目要求的.
1. 已知集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)?，
所以 ，故 C 正確.
故選：C
2. 若復(fù)數(shù) 滿足 ，則復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù) 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
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【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可根據(jù)幾何意義求解.
【詳解】復(fù)數(shù) ，對(duì)應(yīng)點(diǎn) 坐標(biāo) ，位于第二象限．
故選：B
3. 已知向量 與 的夾角為 ， ， ，若 ，則實(shí)數(shù) （ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直，即可利用數(shù)量積求解.
【詳解】 ．
故選：A；
4. 若函數(shù) 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) （ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】應(yīng)用奇函數(shù)的定義結(jié)合指數(shù)運(yùn)算及余弦函數(shù)的奇偶性或 結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算求
參即可.
【詳解】法一：令 ，
此時(shí) ，滿足題意．
法二：由函數(shù)是奇函數(shù)則 ，即得 ，
所以 ，即得 ，計(jì)算得 ．
故選：D.
5. 2024 年 9 月 16 日，臺(tái)風(fēng)“貝碧嘉”登陸上海浦東，當(dāng)?shù)啬硻C(jī)關(guān)單位組織甲，乙等 4 名志愿者參與
三個(gè)受災(zāi)小區(qū)的抗臺(tái)搶險(xiǎn)工作.每個(gè)人只能去一個(gè)小區(qū)，并且每個(gè)小區(qū)都要有人去，則不同的分
配方案共有（ ）
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A. 16 種 B. 20 種 C. 26 種 D. 36 種
【答案】D
【解析】
【分析】先讓小區(qū)去選人，再全排列即可求得結(jié)果.
【詳解】不同元素的分組分配問(wèn)題， ．
故選：D；
6. 已知雙曲線 的右焦點(diǎn)為 ，過(guò) 且傾斜角為 的直線交雙曲線 的兩條漸近線于
兩點(diǎn)，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)漸近線的傾斜角可得 ，根據(jù)全等即可求解.
【詳解】由已知 ，漸近線方程為 ，則兩條漸近線傾斜角分別為 和 ；
直線 的傾斜角為 ，且經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn) ，所以該直線與其中一條漸近線垂直．
令 ，易得 ，則 .
故選：A；
7. 某校教工食堂為更好地服務(wù)教師，在教師微信群中發(fā)起“是否喜歡菜品 ”的點(diǎn)贊活動(dòng)，參與活動(dòng)的男、
女教師總?cè)藬?shù)比例為 ，男教師點(diǎn)贊人數(shù)占（參與活動(dòng)的）男教師總?cè)藬?shù)的 ，女教師點(diǎn)贊人數(shù)占（參
與活動(dòng)的）女教師總?cè)藬?shù)的 ，若從點(diǎn)贊教師中選擇一人，則該教師為女教師的概率為（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】應(yīng)用全概率公式及條件概率計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)事件 “該教師為男教師”，事件 “該教師為女教師”，事件 “該教師為點(diǎn)贊教師”，
則 ，
又 ．
故選：C.
8. 定義在 增函數(shù) 滿足： ，且 .已知數(shù)列
的前 項(xiàng)和為 ，則使得 成立的 的最大值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】應(yīng)用已知條件分別構(gòu)造抽象函數(shù)模型 或應(yīng)用賦值法計(jì)算得出 再應(yīng)用等比
數(shù)列的求和公式計(jì)算可得.
【詳解】法一： ，可令 ，又 ，則 ，
，
．
．
法二：
由題 ；
令 ；
令 ；
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， ．
．
故選：B．
二、多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符
合題目要求，全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的或不選的得 0 分．
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若 兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為 ，則 組數(shù)據(jù)比 組數(shù)據(jù)的相關(guān)性強(qiáng)
B. 將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變
C. 在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越差
D. 由兩個(gè)分類變量 的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到 ，依據(jù) 的獨(dú)立性檢驗(yàn) ，
可判斷 相關(guān)，且犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 0.1
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念判斷 A 的真假；根據(jù)方差的性質(zhì)判斷 B 的真假；根據(jù)殘差的性質(zhì)判斷 C 的真
假；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念判斷 D 的真假.
【詳解】對(duì)于 A 選項(xiàng)，樣本相關(guān)系數(shù) 越接近 1，相關(guān)性越強(qiáng)，故正確；
B 選項(xiàng)，一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，滿足方差的性質(zhì)，故正確；
C 選項(xiàng)，在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越好，故錯(cuò)誤；
D 選項(xiàng)， ，所以相關(guān)，故正確.
故選：ABD
10. 已知 （ ）
A. 當(dāng) 時(shí)， 是 的極大值點(diǎn)
B. 當(dāng) 時(shí)， 的所有零點(diǎn)之和為 0
C. 直線 是 的切線
D. 存在 使 在 上單調(diào)遞增
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【答案】BC
【解析】
【分析】求出導(dǎo)數(shù)，利用極值的定義判斷 A；求出零點(diǎn)判斷 B；求出切點(diǎn)判斷 C；取特值說(shuō)明判斷 D.
【詳解】函數(shù) 定義域?yàn)?R，求導(dǎo)得 ，
對(duì)于 A， ，當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，因此 是 的極小值點(diǎn)，A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B， ， 存 三個(gè)零點(diǎn)， ，
為方程 的兩根，則 ，所有零點(diǎn)之和為 0，B 正確；
對(duì)于 C，由 時(shí)，得 ，點(diǎn) 在函數(shù) 圖象上，
因此函數(shù) 的圖象在點(diǎn) 處的切線為 ，C 正確；
對(duì)于 D， ，而 ，則不存在 使 在 上單調(diào)遞增，D 錯(cuò)誤.
故選：BC
11. 數(shù)學(xué)中有許多美麗的曲線，圖中美麗的眼睛圖案由兩條曲線構(gòu)成，曲線 ，上頂點(diǎn)為 ，
右頂點(diǎn)為 ，曲線 上的點(diǎn)滿足到 和直線 的距離之和為定值 4，已知兩條曲線具有公共的
上下頂點(diǎn)，過(guò) 作斜率小于 0 的直線 與兩曲線從左到右依次交于 且 ，則（ ）
A. 曲線 由兩條拋物線的一部分組成
B. 線段 的長(zhǎng)度與 點(diǎn)到直線 的距離相等
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C. 若線段 的長(zhǎng)度為 ，則直線 的斜率為
D. 若 ，則直線 的斜率為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于選項(xiàng) A，根據(jù)題干列出等式即可判斷；對(duì)于選項(xiàng) B，利用拋物線的定義即可判斷，對(duì)于選項(xiàng) C，
利用焦半徑公式列出等式即可判斷，對(duì)于選項(xiàng) D，由焦半徑，又因?yàn)?可得 ，即可得
到結(jié)果.
【詳解】
對(duì)于 A 選項(xiàng)，設(shè)曲線 上任意一點(diǎn) ，
由 定義可知， 滿足 ，
移項(xiàng)，平方可得： ，
即 ，為兩條拋物線，故 A 正確；
對(duì)于 B 選項(xiàng)， 和直線 分別為拋物線 的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，由拋物線定義可知，故 B 正確
對(duì)于 C 選項(xiàng)，設(shè) 與 軸夾角為 同時(shí)為拋物線 和橢圓的焦點(diǎn)， ，
，
解得 ，則 ，故 C 錯(cuò)誤.
對(duì)于 D 選項(xiàng)，易知 為拋物線 和 的焦點(diǎn)，
前者 ，后者 分別為兩個(gè)拋物線的較短的焦半徑，因此
，由于 ，
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則 ，因此 ，所以 ，故 D 正確，
故選：ABD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：拋物線的求解，一般利用定義和二級(jí)結(jié)論直接能夠列出等式求解.
第 II 卷
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．把答案填在答題卡中的橫線上．
12. 已知等比數(shù)列 為遞增數(shù)列，且 的等差中項(xiàng)為 ，則公比 為_(kāi)_______．
【答案】5
【解析】
【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)方程，求解參數(shù)即可.
【詳解】因?yàn)?的等差中項(xiàng)為 ，所以 ，
則 ，由等比數(shù)列性質(zhì)得 ，
得到 ，解得 或 ，
由于 為遞增數(shù)列，故 符合題意.
故答案為：5
13. 已知 ，且滿足 ，則 ________．
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角差的余弦化簡(jiǎn)，應(yīng)用角的范圍或應(yīng)用三角恒等變換結(jié)合角的范圍
得出 ，最后應(yīng)用二倍角余弦公式計(jì)算.
【詳解】法一：由 ，則 ，
因此 ，
又因?yàn)?，
所以 ，所以 ，
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則 ．
法二：由 ，則 ，
結(jié)合 則 ，
則 ．
故答案為： .
14. 四棱錐 滿足 底面 ，且 ， ， ，
動(dòng)點(diǎn) 在以 為球心 1 為半徑的球與 （包括邊界）的交線上，動(dòng)點(diǎn) 在直線 上，則 的最小
值為_(kāi)_______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先確定點(diǎn) 在平面 內(nèi)射影的位置，借助直角三角形的邊角關(guān)系可求 的最小值.
【詳解】以 為球心 1 為半徑的球與 （包括邊界）的交線上事實(shí)上就是 內(nèi)以 為圓心，1
為半徑的一截圓弧，如圖所示：
由于 距離為定值 1，則當(dāng) 點(diǎn)固定時(shí)，由余弦定理可知，EF 的距離只取決于 ， 越小，
距離越小.
過(guò) 作面 的垂線，垂足為 ，
則 ，
因?yàn)?中， ， ，所以 ；
在 中 ， ， ， 所 以
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.
由 .
做 ，垂足為 ，則
所以 點(diǎn)與 點(diǎn)重合，此時(shí)連接 交圓弧為 ，此時(shí) 為線面角，取到最小，
此時(shí) ，
過(guò) 作 垂線， 取到最小值．
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間中求點(diǎn)到平面的距離的方法，通常由以下思路：
（1）利用三棱錐的體積求三棱錐的高，也就是點(diǎn)到平面的距離；
（2）利用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離；
（3）過(guò)點(diǎn)向平面做垂線，利用解三角形的方法求垂線段的長(zhǎng)度.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15. 如 圖 ， 四 棱 錐 中 ， 底 面 是 平 行 四 邊 形 ， ，
，且 .
（1）證明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
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（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即可證明.
（2）由第（1）的結(jié)論建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法即可得到結(jié)論.
【小問(wèn) 1 詳解】
，
，且 ，
又
面 PBD 又 是平行四邊形 面 PBD
【小問(wèn) 2 詳解】
設(shè) 與 BD 交點(diǎn)為 O，
則 中點(diǎn)， ，
面 面 ，
面
法一：建系：如圖建系，
，
，
設(shè)平面 的法向量為 ，
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則 ，
設(shè)平面 的法向量為 ，
則 ，
設(shè)二面角 的平面角為
二面角 的余弦值為 ．
法二：即求 直接找角：作 面 PBD，
面 ，作 ，連 即為所求角
二面角 的余弦值為 ．
法三：等積法：角度轉(zhuǎn)化+等體積公式
設(shè)二面角 的平面角為
二面角 的余弦值為 ．
16. 記 的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ，已知 ，點(diǎn) 與 分別在直線 的兩側(cè)，
且 ．
（1）求證： ；
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（2）若 ，求 ．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先應(yīng)用正弦定理得出 ，再結(jié)合兩角和差的正弦公式，最后結(jié)合角
的范圍即可證明；
（2）應(yīng)用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，再結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.
【小問(wèn) 1 詳解】
，
，
，
，
，
，
，
或 ，
或 （舍去）， ．
【小問(wèn) 2 詳解】
在 中， ，
， ，
在 中，
， ，
在 中，由余弦定理得： ，
， .
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17. 已知函數(shù) ．
（1）若 ，求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；
（2）若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）利用給定條件求出切點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，進(jìn)而求出切線方程即可.
（2）將函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒成立問(wèn)題，再利用分離參數(shù)法求解參數(shù)范圍即可.
【小問(wèn) 1 詳解】
當(dāng) 時(shí)， ，
，則切點(diǎn)為 ，
切線方程是 ，即
【小問(wèn) 2 詳解】
，
，
函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減
在區(qū)間 上恒成立，
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，化簡(jiǎn)得 ，
而 ，則 ，得到 恒成立，
令 ，即 恒成立， 即可，
而 ，令 ， ，
而當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上單調(diào)遞減，
故 ，得到 在 上單調(diào)遞減，
， ．
18. 已知拋物線 ，拋物線 上一點(diǎn) 在第一象限，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)
：過(guò)點(diǎn) 作斜率為 的直線交 于 ，再過(guò)點(diǎn) 作斜率為 的直線交 于點(diǎn) ．
（1）若點(diǎn) ，且 ．
（i）求拋物線 的方程，并寫出準(zhǔn)線方程；
（ii）求直線 的斜率；
（2）記 為 的面積，求 的表達(dá)式（用 表示）.
【答案】（1）（i）拋物線 ，準(zhǔn)線 ；（ii）1
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）由 代入拋物線方程，求出 ，即可得解；（ii）依題意可得直線 的方程為
，聯(lián)立直線與拋物線方程，即可得到 ，從而計(jì)算得出
即可計(jì)算；
（ 2） 先 設(shè) 再 聯(lián) 立 得 出 ， 求 出 點(diǎn)
，再由水平寬 鉛錘高算面積計(jì)算可得.
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【小問(wèn) 1 詳解】
（i） 在拋物線 上，代入，求得 ，
所以拋物線 ，準(zhǔn)線 ．
（ii）設(shè)直線 ，聯(lián)立直線與拋物線，
得 ，
由韋達(dá)定理可得 ，
由于 ，
則 ，
整理可得 ．
將 代入可得 ，
當(dāng) 時(shí)，直線 過(guò) ，不符合題意，舍去，
因此 ，則直線 的斜率為 1．
【小問(wèn) 2 詳解】
設(shè) ，令 ，則直線
聯(lián)立直線與拋物線
可得
由韋達(dá)定理可知： ，
則
則直線
聯(lián)立
可得
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由韋達(dá)定理： ，
則
同理可得
法一：
1．叉乘法算面積
2．水平寬 鉛錘高算面積
線段 的中點(diǎn)為 ，
則 平行于 軸，因此
法二：
此時(shí)有
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因此 ，直線 與直線 平行
所以， 為定值，
1．叉乘法算面積
2．水平寬 鉛錘高算面積
線段 的中點(diǎn)為 ，
則 平行于 軸，因此
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是應(yīng)用 或 轉(zhuǎn)化計(jì)算
面積.
19. 二進(jìn)制是計(jì)算技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制，二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用 0 和 1 兩個(gè)數(shù)碼來(lái)表示的數(shù)，它的基數(shù)為 2
，進(jìn)位規(guī)則“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則“借一當(dāng)二”．記十進(jìn)制下的正整數(shù) 在二進(jìn)制下的表示為
，若 ，則
稱 為“Z20 數(shù)”.記 表示集合 中“Z20 數(shù)”的個(gè)數(shù).
（1）計(jì)算 ；
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（2）求 ；
（3）求證： ，有 ；并求出所有 ，使得 的取值唯一．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見(jiàn)解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)二進(jìn)制的表示，結(jié)合“Z20 數(shù)”的定義即可求解，
（2）根據(jù)“Z20 數(shù)”的定義以及 的定義，利用組合的定義即可求解，
（3）根據(jù) 以及（2）的結(jié)論可得 ，進(jìn)而存在正整數(shù) 使得
，假設(shè)恰有一個(gè) 使得 ，即可根據(jù) 求解.
【小問(wèn) 1 詳解】
記 表示集合 中“Z20 數(shù)”的個(gè)數(shù)， 表示集合 中“Z20 數(shù)”的個(gè)數(shù)，
由于 ，由于 ，故 4 不是“Z20 數(shù)”
由于 ，由于 ，故 5 不是“Z20 數(shù)”
由于 ，由于 ，故 6 不是“Z20 數(shù)”
故
由于 ，由于 ，故 7 是“Z20 數(shù)”
由于 ，由于 ，故 8 不是“Z20 數(shù)”
故 ，
綜上可得 ，
【小問(wèn) 2 詳解】
表示集合 中在二進(jìn)制表示下
恰有 3 個(gè) 1 的所有元素的個(gè)數(shù).
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因?yàn)?中有 個(gè)數(shù)其二進(jìn)制表示恰有 3 個(gè) 1，
因?yàn)樵诙M(jìn)制表示下 ，
故 中在二進(jìn)制表示下恰有 3 個(gè) 1 的數(shù)都是從右起第 位數(shù)字是 1，
而在后 位中找兩個(gè)位置放 1，其余位置放 0 而得到的，故有 個(gè)
又 的二進(jìn)制表示分別為
其中只有 的二進(jìn)制表示中恰有 3 個(gè) 1，
所以當(dāng) 時(shí)， ．
【小問(wèn) 3 詳解】
設(shè) 表示所有的“Z20 數(shù)”表示的集合，因?yàn)樵诙M(jìn)制表示下，
在 的個(gè)位數(shù)字后面添加一個(gè) 0，恰為 在二進(jìn)制下表示的數(shù)，
于是 與 同時(shí)屬于 ，或者同時(shí)不屬于 ，
且集合 比 恰少了一個(gè) ，
而多了 兩個(gè)數(shù)，因此
由 ，且對(duì)任意正整數(shù) ，由（2）知都存在正整數(shù) 使得 ，
并且由遞推關(guān)系，可知存在正整數(shù) 使得 .
假設(shè)恰有一個(gè) 使得 ，則 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立，
由二進(jìn)制表示知 必有 的形式.故 .
因此，使得 只有唯一解的全體 由正整數(shù) 給出，且唯一解為 ．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于以集合為背景的新定義問(wèn)題的求解策略：
1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；
2、用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.
3、涉及有交叉集合的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題往往可采用維恩圖法，基于課標(biāo)要求的，對(duì)于集合問(wèn)題，要熟練基本的
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