1.已知復數(shù)z滿足(z?1)i=z+2，則z=( )
A. ?12?32iB. 12+32iC. ?12+32iD. 12?32i
2.已知tanα，tanβ分別為x2+6x+3=0兩個實根，則tan(α+β)=( )
A. 1B. 2C. 3D. ?32
3.設在△ABC中，點D為BC邊上一點，且BC=2BD，點E為AC邊上的中點.若AD=m，AC=n，則BE=( )
A. n?32mB. n?2mC. n+32mD. 32n?2m
4.某班從5名同學中選3名同學分別參加數(shù)學、物理和化學知識競答，已知甲同學不能參加物理和化學知識競答，其他同學都能參加這三科知識競答，則不同的安排有( )
A. 42種B. 36種C. 6種D. 12種
5.已知“p:? 20且φ∈R)在(5π18,2π3)上單調(diào)，且f(π3)+f(5π9)=0，若f(x)在(2π9,π)上恰有2個零點，則ω的取值最準確的范圍是( )
A. [2713,6326)B. (95,94]C. (95,185]D. (94,187]
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法正確的是( )
A. 一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)等于x1+1，x2+1，?，xn+1的平均數(shù)
B. 樣本數(shù)據(jù)1，1，1，0，2的標準差大于方差
C. 若隨機變量ξ服從二項分布ξ~B(9,23),則D(ξ)=2
D. 若隨機變量ζ服從正態(tài)分布ζ~N(2,σ2),且P(ζ≥4)=0.21,則P(ζ>0)=0.79
10.函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=1+f(x)1?f(x)，且f(4?x)=?f(x)，f(1)>0，下列說法正確的有( )
A. T=4為f(x)的一個周期B. f(x)為奇函數(shù)
C. f(1)=1D. f(2)=0
11.設函數(shù)f(x)=8x4?bx2+c，則( )
A. 若b=0，則x=0為f(x)的唯一的極小值點 B. 函數(shù)f(x)不一定有最小值
C. 若方程f(x)?k=0恰有3個實數(shù)根，則k=c D. 若|f(x)|≤1在x∈[?1,1]恒成立，則b+c=8
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點A，點B是雙曲線上兩點，點C是y軸上一點，O為坐標原點.若四邊形AOBC是正方形，且|OC|=|F1F2|，則雙曲線的離心率e為 ．
13.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn=14an2+n，an>0，則S100= ．
14.?x>0，f(x)=(x?a)3[lnx+a(x?1)]≥0，則a的取值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有bsin(A?π3)?asinAcsC?csinAcsA=0．
(1)求角A;
(2)若△ABC的面積為4 3，a=2 3，求△ABC的周長．
16.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=lnx+k?ex?k．
(1)當k=0時，求證：f(x)最大值小于?2;
(2)若f(x)有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍．
17.(本小題15分)
中心O在原點，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2的橢圓的離心率e= 104，橢圓上的動點P(不與頂點重合)，滿足當∠F1PF2=90°時，P到左焦點F1的距離為3．
(1)求橢圓的標準方程;
(2)當|PF1|的最大值小于5時，過點P作橢圓的切線，與x軸交于Q，與y軸交于R，求S△OQR的最小值．
18.(本小題17分)
一只貓和一只老鼠在兩個房間內(nèi)游走.每經(jīng)過1分鐘，貓和老鼠都可以選擇進行一次移動.貓從當前房間移動到另一房間的概率為0.6，留在該房間的概率為0.4;若上一分鐘貓和老鼠都在一個房間，那么下一分鐘老鼠必定移動到另一個房間，否則老鼠從當前房間移動到另一房間或留在當前房間的概率均為0.5.已知在第0分鐘時，貓在0號房間，老鼠在1號房間.設在第n分鐘時，貓和老鼠在0號房間的概率分別為pn，qn．
(1)求第1分鐘時，貓和老鼠所在房間號之和為1的概率;
(2)求證：{pn?12}，{qn+53pn?43}均為等比數(shù)列;
(3)在第幾分鐘時，老鼠在0號房間的概率最大?
19.(本小題17分)
如圖，半徑為2的半球面O底面設為α，AB是半球面O的直徑，點C在半球面上，且∠AOC=π6，平面ABC⊥平面α.過點C的平面β與半球面O相交形成圓S，CD為圓S的一條直徑，且D在平面ABC上.且平面α與β的夾角為π6，點C，D均在平面α的同側，記α∩β=l，CD∩AB=T．

(1)求證：OD⊥平面α;
(2)點P在圓S上，設∠CSP=θ，θ∈[0,2π].且PQ//OD，Q在平面α上.
(ⅰ)用θ表示PQ的長;
(ⅱ)當DQ與平面ABC所成角最大時，求csθ．
參考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.A
6.B
7.C
8.B
9.BCD
10.ABC
11.AC
12. 5+12
13.10100
14.1
15.解：(1)在△ABC中，由正弦定理，有sinBsin(A?π3)=sinA(sinAcsC+csAsinC)，
也即sinBsin(A?π3)=sinAsin(A+C)，B∈(0,π)，
因此有sin(A?π3)=sinA，從而A?π3=π?A，解得A=2π3;
(2)由余弦定理，得12=b2+c2?2bccs120°=(b+c)2?bc，
又S△ABC=12bcsin120°=4 3，所以b+c=2 7,bc=16,
所以△ABC的周長為2 7+2 3．
16.解：(1)當k=0時，f(x)=lnx?ex?f′(x)=1x?ex，
易知f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，
在x→+∞，f′(x)0
?存在唯一的點x0使得f′(x0)=0，
所以y=f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,+∞)上單調(diào)遞減，
則f(x)max=f(x0)=lnx0?ex0，
其中x0滿足ex0=1x0，則lnx0=?x0，
所以f(x)max=f(x0)=?(x0+1x0)≤?2，
(“=”成立的條件為x0=1，事實上x0≠1)，
所以f(x)max0，x→+∞時，f′(x)0，
令?(x)=2lnx+x?1x，
易知?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，
且?(1)=0?f(x1)>0?x1>1，
又k=x1+lnx1，當x1>1時，k>1．
即實數(shù)k的取值范圍為(1,+∞)．
17.解：(1)PF1=3，PF2=2a?3，∠F1PF2=90°
則(2a?3)2+9=4c2，e= (2a?3)2+92a= 104，解得a=2或6．
當a=2時，x24+2y23=1;
當a=6時，x236+2y227=1．
(2)當PF1的最大值小于5時，橢圓的方程為x24+2y23=1，設P(x0,y0)，
則在P(x0,y0)的切線方程為l:y?y0=k(x?x0)?y=kx+y0?kx0，記y0?kx0=n，
則切線方程為l:y=kx+n，
則聯(lián)立l:y=kx+n與x24+2y23=1，
得到x2(3+8k2)+16km+8n2?12=0，
由Δ=0?8k2?2n2+3=0?k2(8?2x02)+4kx0y0+3?2y02=0．
因為x024+2y023=1?8?2x02=163y02，3?2y02=34x02，
代入上式得到64y02k2+48kx0y0+9x02=0?k=?3x08y0，
所以切線方程為xx04+2yy03=1，
所以Q(4x0,0)，R(0,32y0)，
所以S△OQR=3|x0y0|=3|x0y0|(x024+2y023)=34|x0y0|+2|y0x0|? 6，
在x02=2，y02=34取得等號．
所以S△OQR的最小值為 6．
18.(1)解：第0分鐘時，貓在0號房間，老鼠在1號房間．
設ti,j為第1分鐘時，貓在i號房間，老鼠在j號房間的概率，則t0,0=0.4×0.5=0.2，t0,1=0.4×0.5=0.2，t1,0=0.6×0.5=0.3，t1,1=0.6×0.5=0.3．
設第1分鐘時，貓和老鼠所在房間號之和為X，則P(X=1)=t0,1+t1,0=0.5，所以第1分鐘時，貓和老鼠所在房間號之和為1的概率為0.5．
(2)證明：易知p0=1，q0=0，且由(1)得p1=25，q1=12．
當n≥1時，貓在第n分鐘時位于0號房間包含2種情形：
①上一分鐘仍在0號房間，繼續(xù)保持在0號房間的概率為25pn?1，
②上一分鐘在1號房間，轉移到0號房間的概率為35(1?pn?1)，
則由全概率公式，pn=25pn?1+35(1?pn?1)=35?15pn?1，進而pn?12=?15(pn?1?12)，
結合p1?12=?110，故{pn?12}是首項為?110，公比為?15的等比數(shù)列，即pn?12=(?110)(?15)n?1，注意到當n=0時也滿足題意，
因此pn=12(?15)n+12．
老鼠第n分鐘在0號房間包含3種情形：
①上一分鐘描和老鼠都在1號房間，老鼠轉移到0號房間的概率為(1?pn?1)(1?qn?1)，
②上一分鐘貓在0號房間，老鼠在1號房間，老鼠轉移到0號房間的概率為pn?1(1?qn?1)×12，
③上一分鐘貓在1號房間，老鼠在0號房間，老鼠轉移到0號房間的概率為qn?1(1?pn?1)×12．
故由全概率公式，qn=(1?pn?1)(1?qn?1)+pn?1(?qn?1)×12+qn?1(1?pn?1)×12，即qn=1?pn?12?qn?12．
要證{qn+53pn?43}為等比數(shù)列，即證qn?12?16(?15)n?1為等比數(shù)列，
而qn=1?pn?12?qn?12=34?14(?15)n?1?qn?12，
故qn?12?16(?15)n?1=?12[qn?1?12?16(?15)n?2]，結合q1?12?16=?16，
故{qn?12?16(?15)n?1}為首項?16，公比為?12的等比數(shù)列，即qn?12?16(?15)n?1=?16(?12)n?1，注意到n=0時也滿足題意，
因此qn=12+16(?15)n?1+13(?12)n．
(3)解：由(2)，qn=12+16(?15)n?1+13(?12)n=12+16[(?15)n?1?(?12)n?1]，
顯然q0=0不是其最大值，設an=(?15)n?1?(?12)n?1，
①當n為奇數(shù)時，an=(15)n?1?(12)n?1≤0，當且僅當n=1時取等，故an的最大值為0;
②當n為偶數(shù)且n≥2時，a2=12?15=310，當n≥4時，an

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