1.已知集合M=xx=3k?2,k∈Z，N=x?40)的左、右頂點，直線x=a2c(c為橢圓E的半焦距)上存在點C，使得?ABC是頂角為120°的等腰三角形，且?ABC的面積為4 3，則橢圓E的方程為( )
A. x23+y22=1B. x24+y23=1C. x24+y22=1D. x25+y24=1
6.已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，AB與CD分別為該圓柱的上、下底面的一條直徑，若從點A出發(fā)繞圓柱的側(cè)面到點C的最小距離為 4+π29，則直線AB與直線CD所成的角為( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
7.設(shè)?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ccsB=2acsA?bcsC，BC邊上一點D滿足BD=2DC，且AD平分∠BAC.若?ABC的面積為2 3，則b=( )
A. 2B. 2C. 3D. 4
8.已知函數(shù)f(x)=2axx?b，a≠0.若不等式a≤f(x)≤b的解集為xa≤x≤2b，則b=( )
A. 12B. 1C. 2D. 2
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知函數(shù)f(x)=sin2x+ 3cs2x，則下列結(jié)論正確的是( )
A. f(x)的最小正周期為πB. f(x)在區(qū)間[0,π]內(nèi)有3個零點
C. f(x)在區(qū)間?π4,π12上單調(diào)遞增D. f(x)的圖象關(guān)于直線x=19π12對稱
10.已知點A(1,2)在雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)上，則下列結(jié)論正確的是( )
A. C的實軸長小于2B. C的漸近線方程可能為y=± 3x
C. C的離心率大于 5D. C的焦距不可能為4
11.在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，P、Q分別為棱C1D1、DD1的中點，點E滿足AE=λAB1，λ∈[0,1]，動點F在矩形ADD1A1內(nèi)部及其邊界上運動，且滿足PF= 5，點M在棱AA1上，將△ADM繞邊AD旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體Ω，則( )
A. 動點F的軌跡長度為π
B. 存在E，F(xiàn)，使得EF//平面A1BC1
C. 三棱錐P?A1QE的體積是三棱錐B1?PBC體積的32倍
D. 當(dāng)動點F的軌跡與幾何體Ω只有一個公共點時，幾何體Ω的側(cè)面積為8 3π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知a>0且a≠1，b>0，函數(shù)f(x)=lgax，若f(b4)+f( b)=3，則lgab=_______．
13.6個人站成一排，其中甲站排頭或排尾的條件下，乙、丙不相鄰的概率為_______．
14.已知曲線E:y2=4 x2+1?x2?4，則E的一條對稱軸方程為 ；已知A，B是E上不同于原點O的兩個頂點，C為E上與A，B不共線的一個動點，則?ABC面積的最大值為
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
2025年1月1日，某地舉行馬拉松比賽，某服務(wù)部門為提升服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)采訪了120名參賽人員，得到下表：
(1)求r?sl?t的值；
(2)依據(jù)小概率值α=0.1的獨立性檢驗，能否認(rèn)為不同性別的參賽人員對該部門服務(wù)質(zhì)量的評價有差異？
(3)用頻率估計概率，現(xiàn)隨機(jī)采訪1名女性參賽人員與1名男性參賽人員，設(shè)X表示這2人中對該部門服務(wù)質(zhì)量非常滿意的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
16.(本小題15分)
已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an2an+1．
(1)證明：數(shù)列1an為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)設(shè)bn=anan+1，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，證明：13≤Sn0)交于A，B兩點，當(dāng)AB平行于y軸時，AB=6．
(1)求p的值；
(2)是否存在不同于點Q的定點M，使得∠AMQ=∠BMQ恒成立？若存在，求點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)若過點P(1,0)的直線l′與E交于異于A，B的C，D兩點，其中點A,D在第四象限，直線AC，直線BD與x軸的交點分別為G,H(G與H不重合)，設(shè)線段GH的中點為N(n,0)，求實數(shù)n的取值范圍．
19.(本小題17分)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，任意平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R，且A2+B2+C2≠0)，m=(A,B,C)為該平面的法向量.設(shè)M是多面體的一個頂點，定義多面體在M處的離散曲率為ΩM=1?12π(∠N1MN2+∠N2MN3+???+∠Nn?1MNn+∠NnMN1)，其中Ni(i=1,2,3,???,n,n≥3)為多面體的所有與點M相鄰的頂點，且平面N1MN2，N2MN3，???，Nn?1MNn，NnMN1遍歷多面體的所有以M為公共頂點的面.多面體的離散總曲率為該多面體各頂點的離散曲率之和.已知空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，幾何體W的底面在平面Oxy內(nèi)，且側(cè)面上任意一點(x,y,z)滿足3x+3y+ 6z=3 6,z≥0.
(1)判斷幾何體W的形狀，并求幾何體W的兩個相鄰側(cè)面所在平面夾角的余弦值；
(2)求幾何體W的離散總曲率；
(3)定義：若無窮等比數(shù)列{an}的公比q滿足00，且12(2n+1)隨著n的增大而減小，
∴Sn0 ， f′x>0 ， f(x) 在 ?1,+∞ 上為增函數(shù)， f(x) 無極值．
當(dāng) a>0 時，由 f′x=0 得 x=1a?1>?1 ，
由 f′x>0 得， ?10 ，∴ g′a>0 ，
∴ ga 在 0,+∞ 上為增函數(shù)，
∵ g2=22?2+ln2?2?ln2=0 ，
∴要使 ga≥0 ，則 a≥2 ，
∴實數(shù)a的取值范圍是 2,+∞ ．

18.解：(1)設(shè)點 A 在第四象限，點 B 在第一象限，
當(dāng) AB 平行于 y 軸時， xA=xB=3 ．
在 y2=2px(p>0) 中，令 x=3 ，則 y=± 6p ，
∴ yA=? 6p,yB= 6p ，
∴ AB=2 6p=6 ，解得 p=32 ;
(2)存在，理由如下：
由(1)得，拋物線 E 的方程為 y2=3x ．
設(shè)直線 l 方程為 x=t1y+3 ，
由 x=t1y+3y2=3x 得， y2?3t1y?9=0 ，故 yA+yB=3t1,yAyB=?9 ．
假設(shè)存在不同于點 Q 的定點 M ，使得 ∠AMQ=∠BMQ 恒成立．
由題意得，當(dāng) AB⊥x 軸時， ∠AMQ=∠BMQ ，故點 M 在 x 軸上，
設(shè) Mm,0 ，則 kAM=yAxA?m,kBM=yBxB?m ，
由 ∠AMQ=∠BMQ 得， kAM+kBM=yAxA?m+yBxB?m=0 ，
∴ yAxB?m+yBxA?m=yAt1yB+3?m+yBt1yA+3?m=0 ，
整理得， 2t1yAyB+3?myA+yB=0 ，即 ?18t1+3t13?m=0 ，
化簡得 3t1?3?m=0 ，由 t1 不恒為 0 得 m=?3 ，
∴存在不同于點 Q 的定點 M?3,0 ，使得 ∠AMQ=∠BMQ 恒成立;
(3)
設(shè)直線 l′ 的方程為 x=t2y+1 ，代入 y2=3x 得， y2?3t2y?3=0 ，故 yCyD=?3 ．
設(shè) Ga,0,Hb,0 ， a≠b ，直線 AC 方程為 x=t3y+a ，
代入 y2=3x 得， y2?3t3y?3a=0 ，故 yAyC=?3a ，
設(shè)直線 BD 方程為 x=t4y+b ，代入 y2=3x 得， y2?3t4y?3b=0 ，故 yByD=?3b ．
由(2)得 yAyB=?9 ，
∴ yAyB?yCyD=?9×?3=yAyC?yByD=?3a??3b ，
∴ ab=3 ．
∵線段 GH 的中點為 N(n,0) ， a≠b ，
∴ n=a+b2> ab= 3 ，
∴實數(shù) n 的取值范圍是 3,+∞ ．

19.解：(1)幾何體 W 為正四棱錐，
依題意， 3x+3y+ 6z=3 6z≥0 為 3x+3y+ 6z=3 6z≥0 ，
當(dāng) z=0 時， |x|+|y|= 6 表示平面 xOy 內(nèi)的兩組平行直線 x+y=± 6 及 x?y=± 6
所圍成的正方形，其頂點為 A( 6,0,0),B(0, 6,0),C(? 6,0,0),D(0,? 6,0) ，
當(dāng) x=y=0 時，點 P(0,0,3) ，因此幾何體 W 為正四棱錐 P?ABCD ，如圖：
由正四棱錐任意兩側(cè)面所在平面的夾角相等，不妨求面 PAB 與面 PBC 夾角余弦值，
平面 PAB 方程為 3x+3y+ 6z=3 6 ，則平面 PAB 法向量為 m=(3,3, 6) ，
平面 PBC 方程為 ?3x+3y+ 6z=3 6 ，則平面 PBC 法向量為 n=(?3,3, 6) ，
因此 cs?m,n?=m?n|m|?|n|=62 6×2 6=14 ，
所以幾何體 W 兩個相鄰側(cè)面所在平面夾角的余弦值為 14 ．
(2)依題意， ΩP=1?12π(∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA) ，
ΩA=1?12π(∠DAB+∠BAP+∠DAP) ， ΩB=1?12π(∠ABC+∠ABP+∠CBP) ，
ΩC=1?12π(∠BCD+∠BCP+∠DCP) ， ΩD=1?12π(∠CDA+∠CDP+∠ADP) ，
所以幾何體 W 的離散總曲率為 ΩP+ΩA+ΩB+ΩC+ΩD=5?12π(∠APB
+∠BPC+∠CPD+∠DPA+∠DAB+∠BAP+∠DAP++∠ABC+∠ABP+∠CBP
+∠BCD+∠BCP+∠DCP+∠CDA+∠CDP+∠ADP)=5?12π(4×π+2π)=2 ．
(3)設(shè)球 O1 與側(cè)面 PAB 相切于 E ，連接 PE ，與 AB 交于 M ，則 O1E⊥PM ，
連接 OM ，則 OM=12AD= 3 ， PM= PO2+OM2=2 3 ， ∠OPM=30 ° ，
設(shè)球 O1 半徑為 r1 ，則 PO1=2r1 ， PO=r1+2r1=3r1=3 ，解得 r1=1 ，
設(shè)球 On 的半徑為 rn ，則 3rn=3?2r1?2r2???2rn?1(n≥2) ，
則 3rn+1=3?2r1?2r2???2rn?1?2rn ，兩式相減得 3(rn+1?rn)=?2rn ，即 3rn+1=rn ，
因此數(shù)列 rn 是以1為首項，公比為 13 的等比數(shù)列，則數(shù)列 r n2 是以1為首項，公比為 19 的等比數(shù)列，
而 0

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