一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.拋物線y=14x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )
A. (116,0)B. (0,116)C. (0,1)D. (1,0)
2.歐拉公式eiθ=csθ+isinθ(其中i為虛數(shù)單位)是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的.若復(fù)數(shù)z=2ei5π6，則1z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3.已知{an}是無窮數(shù)列，a1=3，則“對(duì)任意的m，n∈N?，都有am+n=am+an”是“{an}是等差數(shù)列”的( )
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
4.已知平面向量a，b滿足a=(1, 3)，|b|= 3，|a?b|= 3，則b在a上的投影向量為( )
A. (2 33,2)B. (12, 32)C. (23,2 33)D. (1, 3)
5.對(duì)函數(shù)y=f(x)，若數(shù)列{xn}滿足xn+1=xn?f(xn)f′(xn)，則稱{xn}為牛頓數(shù)列.若函數(shù)f(x)=x2，數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列，且x1=2，an=lg2xn，則S10=( )
A. 20B. ?35C. 30D. ?55
6.已知n是數(shù)據(jù)1，6，2，3，2，5，7的第70百分位數(shù)，若(x+1)n=a0+a1(x?1)+a2(x?1)2+…+an(x?1)n，則a2=( )
A. 80B. 10C. ?10D. ?80
7.某個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|3.841=χ0.05，可以推斷兩變量有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05
C. 隨機(jī)變量X～B(n,p)，若E(2X+1)=31，D(2X+1)=15，則n=20
D. 用y=cekx擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，經(jīng)z=lny代換后得到的回歸直線方程為z=0.3x+4，則c=e4，k=0.3
10.在棱為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E在線段BD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在正方體表面上，O為AC與BD的交點(diǎn)，則( )
A. 四面體E?AB1D1的體積為定值B. 存在點(diǎn)E，使A1E⊥C1O
C. 當(dāng)FA=FB時(shí)，點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為4D. 四面體A1?ABO外接球的表面積為π
11.已知函數(shù)f(x)=cs(sinx)?sin(csx)，則( )
A. f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B. 2π是y=f(x)的一個(gè)周期
C. f(x)在(0,π)單調(diào)遞減D. f(x)圖象恒在x軸的上方
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布ξ～N(10,σ2)，P(8≤ξ≤10)=a，P(ξ>12)=b，則1a+2b的最小值為______．
13.已知P(A)=0.4，P(A|B)=0.8，P(A|B?)=0.3，則P(B)= ______．
14.已知直線l分別與曲線f(x)=lnx，g(x)=ex相切于點(diǎn)(x1,lnx1)，(x2,ex2)，則1x1?2x2?1的值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在△ABC中，BC=3 2，∠BAC=π3．
(1)若AC=2 3，求sinC；
(2)若D為邊BC上的點(diǎn)且AD平分∠BAC，AD= 3，求△ABC的面積．
16.(本小題15分)
已知函數(shù)f(x)=lnx+12a(x?1)2．
(1)當(dāng)a=?12時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)?2x+1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且g(x1)+g(x2)≥?1?32a，求a的取值范圍．
17.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠ADC=90°，AB//CD，AB=12CD=AD=1，M為棱PC的中點(diǎn)．
(1)證明：BM//平面PAD．
(2)已知PD=1．
(i)求平面PDB與平面BDM夾角的余弦值．
(ii)在線段PA上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面BDM的距離是2 69？若存在，求出PQQA的值；若不存在，說明理由．
18.(本小題17分)
投擲均勻的骰子，每次擲得的點(diǎn)數(shù)為1或2時(shí)得1分，擲得的點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6時(shí)得2分.獨(dú)立地重復(fù)擲一枚骰子若干次，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分．
(1)設(shè)投擲2次骰子，最終得分為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望；
(2)若投擲n次骰子，記合計(jì)得分恰為n+1分的概率為Pn，求i=1nPi；
(3)設(shè)最終得分為n分的概率為Pn，求數(shù)列{Pn}的通項(xiàng)公式．
19.(本小題17分)
通過研究，已知對(duì)任意非零平面向量AB=(x,y)，把AB繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量AP=(xcsθ?ysinθ,xsinθ+ycsθ)，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P．
(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)A(? 3,2 3)，點(diǎn)B( 3,?2 3)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)已知曲線C是函數(shù)y= 33x+1x的圖象，它是某雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3后得到的，求C的離心率；
(3)已知曲線E：x2+y2?xy=1是由某橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4后所得到的斜橢圓，過點(diǎn)Q( 23, 23)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線l1交曲線E于點(diǎn)M、N，過原點(diǎn)O作直線l2與直線l1垂直，直線l2交曲線E于點(diǎn)G、H，判斷 2|MN|+1|OH|2是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值，若不是，請(qǐng)說明理由．
參考答案
1.C
2.C
3.A
4.B
5.B
6.A
7.C
8.B
9.BCD
10.AC
11.ABD
12.6+4 2
13.0.2
14.1
15.解：(1)由正弦定理得BCsin∠BAC=ACsinB，
結(jié)合AC=2 3，BC=3 2，∠BAC=π3，可得3 2sinπ3=2 3sinB，
所以sinB=2 3sinπ33 2=2 3× 323 2= 22，可得B=π4(B=3π4不符合題意，舍去)．
所以sinC=sin(∠BAC+B)=sin(π3+π4)=sinπ3csπ4+csπ3sinπ4= 6+ 24；
(2)由AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠DAC=12∠BAC=π6．

設(shè)AB=c，AC=b，由S△ABD+S△ACD=S△ABC，可得12c?ADsinπ6+12c?ADsinπ6=12bcsinπ3．
結(jié)合AD= 3，可得 34c+ 34b= 34bc，整理得b+c=bc，
在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2?2AB?ACcsπ3，
即18=b2+c2?bc=(b+c)2?3bc=(bc)2?3bc，整理得(bc)2?3bc?18=0，解得bc=6(舍負(fù))．
所以△ABC的面積S=12bcsinπ3= 34bc=3 32．
16.解：(1)當(dāng)a=?12時(shí)，f(x)=lnx?14(x?1)2，
則f′(x)=1x?12(x?1)=?(x?2)(x+1)2x，
當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，f′(x)0x1+x2=a+2a>0x1?x2=1a>0，分
所以方程φ(x)=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個(gè)正根，
由x1+x2=a+2a，x1x2=1a，
得g(x1)+g(x2)=lnx1+12a(x1?1)2?2x1+1+lnx2+12a(x2?1)2?2x2+1
=ln(x1x2)+12a[(x1+x2)2?2x1x2?2(x1+x2)+2]+2(x1+x2)+2
=ln1a+12a[(a+2a)2?2a?2?a+2a+2]?2?a+2a+2=ln1a+12a?2a?1≥?1?32a，
即lna?12(a?1a)≤0，分
令m(a)=lna?12(a?1a)，
則m′(a)=1a?12(1+1a2)=?(a?1)22a2≤0，
所以m(a)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，且m(1)=0，
故a的取值范圍是[1,+∞)分
17.解：(1)證明：取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN，如圖所示，
因?yàn)镸為棱PC的中點(diǎn)，所以MN/?/CD，MN=12CD，
因?yàn)锳B/?/CD，AB=12CD，所以AB/?/MN，AB=MN，
所以四邊形ABMN是平行四邊形，則BM/?/AN，
又BM?平面PAD，AN?平面PAD，
所以BM/?/平面PAD；
(2)因?yàn)镻D⊥平面ABCD，∠ADC=90°，
所以DA，DC，DP兩兩垂直，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，B(1,1,0)，
因?yàn)镸為棱PC的中點(diǎn)，所以M(0,1,12)，
(i)DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)，
設(shè)平面BDM的法向量為n=(x,y,z)，
則由n⊥DM，n⊥DB，可得n?DM=y+12z=0n?DB=x+y=0，
令z=2，則y=?1，x=1，可得n=(1,?1,2)，
取BD的中點(diǎn)E，連接AE，易知AE⊥平面PDB，
即AE是平面PDB的一個(gè)法向量，AE=(?12,12,0)，
設(shè)平面PDB與平面BDM夾角為θ，
csθ=|cs?n,AE?|=|n?AE||n|?|AE|=|?1| 6× 22= 33，
所以平面PDB與平面BDM夾角的余弦值為 33；
(ii)假設(shè)在線段PA上存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面BDM的距離是2 69，
設(shè)PQ=λPA，0≤λ≤1，則Q(λ,0,1?λ)，BQ=(λ?1,?1,1?λ)，
由(i)知平面BDM的一個(gè)法向量為n=(1,?1,2)，
則BQ?n=λ?1+1+2(1?λ)=2?λ，
所以點(diǎn)Q到平面BDM的距離是|BQ?n||n|=2?λ 6=2 69，
解得λ=23，即PQQA=2，
所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí)PQQA=2．
18.解：(1)由題意投擲均勻的骰子，每次擲得的點(diǎn)數(shù)為1或2時(shí)得1分，擲得的點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6時(shí)得2分．
獨(dú)立地重復(fù)擲一枚骰子若干次，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分，
投擲2次骰子，最終得分為X，
可得X可能取值為2，3，4，
P(X=2)=13×13=19，
P(X=3)=C21×13×23=49，
P(X=4)=23×23=49．
∴X的分布列為
數(shù)學(xué)期望E(X)=2×19+3×49+4×49=103．
(2)根據(jù)題意，投擲n次，得分為n+1分，則只有一次投擲得2分，
所以Pn=Cn1×23×(13)n?1=2n3n，
則i=1nPi=231+432+?+2n?23n?1+2n3n，
則有13i=1nPi=232+433+?+2n?23n+2n3n+1，
兩式相減，得23i=1nPi=231+232+?+23n?2n3n+1=2×13[1?(13)n]1?13?2n3n+1=1?(13)n?2n3n+1=1?2n+33n+1，
所以i=1nPi=32?2n+32×(13)n．
(3)由題意可知Pn=13Pn?1+23Pn?2(n≥3)，
則有Pn?Pn?1=?23(Pn?1?Pn?2)，
∵P1=13,P2=23+13×13=79，
∴P2?P1=49，
∴{Pn?Pn?1}是以49為首項(xiàng)，?23為公比的等比數(shù)列，
∴Pn?Pn?1=49×(?23)n?2=(?23)n(n≥2)．
∴n≥2時(shí)，Pn=P1+(P2?P1)+(P3?P2)+?+(Pn?Pn?1)=13+(?23)2+(?23)3+?(?23)n=35+25×(?23)n，
n=1時(shí)，P1=13適合上式，
綜上，Pn=35+25×(?23)n．
19.解：(1)已知點(diǎn)A(? 3,2 3)，點(diǎn)B( 3,?2 3)，則AB=(2 3,?4 3)，
所以AP=(2 3csπ3+4 3sinπ3,2 3sinπ3?4 3csπ3)=(6+ 3,3?2 3)．
設(shè)P(x0,y0)，則AP=(x0+ 3,y0?2 3)=(6+ 3,3?2 3)，
所以x0=6，y0=3，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,3)．
(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y)，旋轉(zhuǎn)前對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P′(x′,y′)．
由題意可知x=x′csπ3?y′sinπ3=12x′? 32y′y=x′sinπ3+y′csπ3= 32x′+12y′，
將其代入y= 33x+1x，即xy= 33x2+1中，
可得(12x′? 32y′)( 32x′+12y′)= 33(12x′? 32y′)2+1，
化簡(jiǎn)得 36x′2? 32y′2=1，即x′22 3?y′22 33=1．
所以a2=2 3，b2=2 33，所以c2=a2+b2=8 33．
所以曲線C的離心率為e=ca= 8 332 3=2 33．
(3)設(shè)直線l1：y? 23=k(x? 23)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，則直線l2：y=?1kx．
將直線l1與斜橢圓方程聯(lián)立得y? 23=k(x? 23)x2+y2?xy=1，
消去y整理得(k2?k+1)x2+ 2 3(?2k2+3k?1)x+23(1?k)2?1=0，
所以x1+x2= 2 3?2k2?3k+1k2?k+1，x1x2=23×k2?2k?12k2?k+1，
所以|MN|= (1+k2)|x1?x2|= (1+k2)[(x1+x2)2?4x1x2]
= (1+k2)[( 2 3?2k2?3k+1k2?k+1)2?4×23×k2?2k?12k2?k+1]= 2(1+k2)k2?k+1．
將直線l2：y=?1kx代入斜橢圓E：x2+y2?xy=1得(1+1k2+1k)x2=1，
所以x2=k2k2+k+1，所以|OH|2=k2+1k2+k+1，
所以 2|MN|+1|OH|2=k2?k+11+k2+k2+k+11+k2=2．
X
2
3
4
P
19
49
49

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