本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊第六章.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1 化簡：（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，則向量在向量上投影向量為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
5. 已知，則（ ）
A. B. C D.
6. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
7. 受潮汐影響，某港口一天的水深（單位：）與時刻的部分記錄如下表：
若該天從與的關(guān)系可近似的用函數(shù)來表示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 時的水深約為 D. 一天中水深低于的時間為4小時
8. 在邊長為2的正方形中作出.直角頂點為的中點.其他兩頂點分別在邊上運動.則的周長的取值范圍（ ）

A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知三個非零向量，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則或 D. 若，則
10. 在中，角的對邊分別為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則的外接圓的面積為
B. 若，則滿足條件的三角形有兩個
C. 若為銳角三角形，則
D. 若，則
11. 記表示中的較大者.若函數(shù).則（ ）
A. 是周期函數(shù) B. 是函數(shù)的圖象的對稱軸
C. 的值域為 D. 在上單調(diào)遞減
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知狄利克雷函數(shù)，則__________.
13. 如圖，為了測量一條大河兩岸之間的距離，無人機(jī)升至米的空中沿水平方向飛行至點進(jìn)行測量，在同一鉛垂平面內(nèi).在點測得的俯角為，則__________.

14. 在中，角的對邊分別為，且.若，則對的最小值為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說陰?證明過程或演算步驟.
15. 化簡下列各式：
（1）、； （2）、.
16. 在等腰梯形中，為的中點，點在上，且，記.
（1）、用向量表示向量； （2）、求的值.
17. 將的圖象上每個點的橫坐標(biāo)都縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向上平移1個單位長度，得到的圖象.
（1）、求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）、求的圖象的對稱軸方程；
（3）、求不等式的解集.
18. 若對定義在上的函數(shù)，存在.使得恒成立，則 的圖象關(guān)于點對稱，已知函數(shù)，且.
（1）、證明：函數(shù)的圖象是中心對稱圖形；
（2）、求的值；
（3）、當(dāng)時，求在上的最小值.
19. 若一個三角形中兩邊的平方和是第三邊平方的倍，則稱該三角形為階準(zhǔn)直角三角形.在中，角的對邊分別為，且.
（1）、證明：是2階準(zhǔn)直角三角形；
（2）、若，求的值；
（3）、若，求面積的最大值.
安徽省縣中聯(lián)盟2024~2025學(xué)年度第二學(xué)期高一3月聯(lián)考
數(shù)學(xué)（A卷）
本卷命題范圍：人教A版必修第一冊，必修第二冊第六章.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1 化簡：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【分析】應(yīng)用向量加減法則化簡即可得答案.
【詳解】.故選：C
2. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【分析】由一元二次不等式的解法、正弦函數(shù)的值域求集合，再由集合的交運算求集合.
【詳解】由，得，故，由的值域為，故，
所以故選：B
3. 已知向量，則向量在向量上投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義及向量的數(shù)量積、模長的坐標(biāo)運算求投影向量.
【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：D
4. 已知向量，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】B【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)，結(jié)合充分、必要性定義即可得.
【詳解】若，且，則，解得或，
故“”是“”的必要不充分條件.故選：B
5 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【分析】根據(jù)題意，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】，所以. 故選:D.
6. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】A【分析】由基本不等式的乘“1”法可得.
【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號. 故選：A.
7. 受潮汐影響，某港口一天的水深（單位：）與時刻的部分記錄如下表：
若該天從與的關(guān)系可近似的用函數(shù)來表示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. 時的水深約為 D. 一天中水深低于的時間為4小時
【答案】C【詳解】由的最值，即可判斷A，由周期即可判斷B，由的值可得，代入計算，即可判斷C，求解不等式，即可判斷D.
【分析】由數(shù)據(jù)知，所以，A錯誤；，故B錯誤；
由，得，故C正確；
由，得，或，故水深低于3.75的時間為8小時，故D錯誤.故選：C.
8. 在邊長為2的正方形中作出.直角頂點為的中點.其他兩頂點分別在邊上運動.則的周長的取值范圍（ ）

A. B. C. D.
【答案】A【分析】設(shè)，進(jìn)而得到的周長，再應(yīng)用換元法及三角函數(shù)的性質(zhì)，令則，即可求范圍.
【詳解】如題圖，設(shè)，由題意，
所以，
則，
所以的周長，
注意，且，
令，則，
所以，又，所以，解得，即周長的取值范圍為. 故選：A
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知三個非零向量，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則或 D. 若，則
【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量關(guān)系及數(shù)乘運算律判斷A；應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律得判斷B；由向量的性質(zhì)即可判斷C；應(yīng)用向量共線及數(shù)乘的運算律判斷D.
【詳解】因為，所以，故A正確；
因為，所以，即，
所以，所以，故B正確；
因為向量不能比較大小，故C錯誤；
因為，且，所以存在實數(shù)，使得，
所以，
所以，故D正確. 故選：ABD
10. 在中，角的對邊分別為，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則的外接圓的面積為
B. 若，則滿足條件的三角形有兩個
C. 若為銳角三角形，則
D. 若，則
【答案】AC【分析】應(yīng)用正弦定理有，進(jìn)而求外接圓的面積判斷A；應(yīng)用正弦定理判斷三角形個數(shù)判斷B；由銳角三角形及誘導(dǎo)公式有、判斷C；假設(shè)為鈍角即可判斷D.
【詳解】因為，所以（為外接圓的半徑），
所以，故的外接圓的面積為，故A正確；
若，則，所以無解，故B錯誤；
若為銳角三角形，則，所以，
所以，同理，所以，故C正確；
若為鈍角，顯然滿足，但，不滿足，故D錯誤.故選：AC
11. 記表示中的較大者.若函數(shù).則（ ）
A. 是周期函數(shù) B. 是函數(shù)的圖象的對稱軸
C. 的值域為 D. 在上單調(diào)遞減
【答案】ABD【分析】由正余弦周期函數(shù)的性質(zhì)可得A正確；由圖象結(jié)合A可得B正確；由圖象結(jié)合指數(shù)函數(shù)的計算可得C錯誤；由圖象結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得D錯誤.
【詳解】對于A，令，因為都是最小正周期為的函數(shù)，所以是最小正周期為的函數(shù)，因此是周期函數(shù)，故A正確；
對于B，作出的部分圖象如圖（實線）所示，
由圖可知，結(jié)合周期性得，曲線關(guān)于直線對稱，
則是函數(shù)的圖象的對稱軸，再結(jié)合A項，可得是函數(shù)的圖象的對稱軸，故B正確；
對于C，由圖象可知，的值域為，所以的值域為，故C錯誤；
對于D，由圖象可知，在上單調(diào)遞減，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，D正確. 故選：ABD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知狄利克雷函數(shù)則__________.
【答案】2【詳解】因為，所以，
因為，所以，故.故答案為：2
13. 如圖，為了測量一條大河兩岸之間的距離，無人機(jī)升至米的空中沿水平方向飛行至點進(jìn)行測量，在同一鉛垂平面內(nèi).在點測得的俯角為，則__________.
【答案】【分析】根據(jù)已知及正弦定理有、，即可求.
【詳解】由條件知，過作垂直于直線，垂足為，
在中，，在中，，
所以. 故答案為：
14. 在中，角的對邊分別為，且.若，則對的最小值為__________.
【答案】【分析】應(yīng)用三角恒等變換及三角形內(nèi)角的性質(zhì)求得，令，結(jié)合向量數(shù)乘的幾何意義及減法法則化簡向量并求其模長.
【詳解】由，得，
所以，
因為，則，所以，
設(shè)，則點在直線上，所以，

當(dāng)時，最小，其最小值為.故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說陰?證明過程或演算步驟.
15. 化簡下列各式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）； （2）0.
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系直接求解；
（2）利用誘導(dǎo)公式及進(jìn)行求解.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
因為，所以，
所以
.
16. 在等腰梯形中，為的中點，點在上，且，記.
（1）用向量表示向量；
（2）求的值.
【答案】（1）； （2）.
【分析】（1）連接，可得、，利用向量的加法表示；
（2）由（1），過分別作的垂線，垂足分別為，得到，然后應(yīng)用數(shù)量積的運算律求值.
小問1詳解】
如圖所示，連接，則四邊形為平行四邊形，所以，
因為點在上，且，所以，
所以.
【小問2詳解】
由（1）可知，，
在等腰梯形中，過分別作的垂線，垂足分別為，
則，所以，
由題意知，且，
17. 將的圖象上每個點的橫坐標(biāo)都縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向上平移1個單位長度，得到的圖象.
（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求的圖象的對稱軸方程；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）遞增區(qū)間為； （2）對稱軸的方程為；
（3）.
【分析】（1）根據(jù)圖象平移寫出解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間；
（2）（3）利用正弦型函數(shù)的對稱性、單調(diào)性及周期性求對稱軸和解不等式.
【小問1詳解】根據(jù)函數(shù)圖象變換，可得，
因為的遞增區(qū)間為，
令，得，
所以的遞增區(qū)間為.
【小問2詳解】令，得，
所以圖象的對稱軸方程為.
【小問3詳解】由，得，
所以，解得，
所以的解集為.
18. 若對定義在上的函數(shù)，存在.使得恒成立，則的圖象關(guān)于點對稱，已知函數(shù)，且.
（1）證明：函數(shù)的圖象是中心對稱圖形；
（2）求的值；
（3）當(dāng)時，求在上的最小值.
【答案】（1）證明見解析； （2）8102； （3）2.
【分析】（1）設(shè)并判斷其奇偶性，利用奇偶性推證對稱性；
（2）由（1）所得對稱性求函數(shù)值；
（3）單調(diào)性定義判斷函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性，利用單調(diào)性求最值.
【小問1詳解】由題設(shè)，的定義域為，設(shè)，
因為，
所以，的圖象關(guān)于點對稱，故函數(shù)的圖象是中心對稱圖形.
【小問2詳解】由（1）知，，都有成立，又，
所以
.
【小問3詳解】，且，
因為，所以，
又，所以，則，
因為，所以，即，
所以在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為.
19. 若一個三角形中兩邊的平方和是第三邊平方的倍，則稱該三角形為階準(zhǔn)直角三角形.在中，角的對邊分別為，且.
（1）證明：是2階準(zhǔn)直角三角形；
（2）若，求的值；
（3）若，求的面積的最大值.
【答案】（1）證明見解析； （2）； （3）.
【分析】（1）由已知及余弦邊角關(guān)系化簡條件為，即可證；
（2）由正弦邊角關(guān)系有，結(jié)合（1）結(jié)論和余弦定理求；
（3）由已知和余弦定理得，結(jié)合，應(yīng)用三角形面積公式、基本不等式求面積的最大值，注意取值條件.
【小問1詳解】由及余弦定理，得，
整理，得，故是2階準(zhǔn)直角三角形.
【小問2詳解】
由正弦定理，得，則，由（1）得，所以.
【小問3詳解】由，得，
整理得，又，所以，由（1）得，
所以的面積為
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，故的面積的最大值為.
時刻
水深
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
時刻
水深
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0

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