數(shù)學(xué)試題
第 I 卷（選擇題共 58 分）
一、單選題（本題有 8 小題，每題 5 分，共 40 分）
1. 已知集合 ，則 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用交集的概念計算即可.
【詳解】根據(jù)交集的概念可知 。
故選：C
2. 命題“ ”的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)命題的否定即可求解.
【詳解】命題“ ” 否定是： ，
故選：C
3. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
第 1頁/共 15頁
【分析】解出方程的根，利用充分條件，必要條件的定義判斷即可；
【詳解】由 ，可得 或 ，
所以 ，反之不成立，
故“ ”是“ ”的充分不必要條件，
故選：A．
4. 如果 ，則正確的是（ ）
A. 若 ，則 B. 若 ，則
C. 若 ，則 D. 若 ，則
【答案】C
【解析】
【分析】舉例說明 ABD 是錯誤的，用作差法證明 C 是正確的．
【詳解】取 ，則 ，故 A 錯誤；
取 ，則 ，故 B 錯誤；
由于 ，所以 ，則 ，故 C 正確；
取 ，則 ， ，故 D 錯誤
故選：C．
5. 已知函數(shù) （ ，且 ），若點 ， 都在 的圖象上，則下列各點
一定在 的圖象上的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由指數(shù)冪的運算求解.
【詳解】解：因為點 ， 都在 的圖象上，
第 2頁/共 15頁
所以 ，則 ，
即點 在 的圖象上，
故選：D.
6. 函數(shù) 圖像的大致形狀為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】 中含有 ，故 是分段函數(shù)，根據(jù) 的正負(fù)寫出分段函數(shù)的解析式，對照圖象選擇即可．
【詳解】 是分段函數(shù)，根據(jù) 的正負(fù)寫出分段函數(shù)的解析式， ，
時，圖象與 在第一象限的圖象一樣是增函數(shù)，
時，圖象與 的圖象關(guān)于 軸對稱.
故選：B．
7. 已知 x，y 均為正實數(shù)，且 x＋y＝1，若 的最小值為 9，則正實數(shù) a 的值為
A. 2 B. 4 C. 8 D. 80
【答案】B
【解析】
【分析】
第 3頁/共 15頁
利用“ 的代換”的方法，利用基本不等式，以 的最小值為 9 列式，由此求得 的值.
【 詳 解 】 依 題 意 ，
，解得 .
故選：B
【點睛】本小題主要考查基本不等式求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.
8. 設(shè)函數(shù) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng) 時， .若不等式
對任意的 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，可得 是 R 上的增函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到 ，令
，利用基本不等式求出 的最小值，得解.
【詳解】因為 ， ，
所以 在 上單調(diào)遞增，且 恒成立，又 是定義在 R 上的奇函數(shù)，
所以 是 R 上的增函數(shù)，
不等式 ，對任意的 恒成立，
即 ，
，又 ，
，令 ，
，
第 4頁/共 15頁
，
所以實數(shù) 的取值范圍為 .
故選：A.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到 ，利用基本不等式求
出最值.
二、多選題（本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分）
9. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在 上單調(diào)遞增的函數(shù)是（ ）
A B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】逐一判斷奇偶性和單調(diào)性即可求解
【詳解】對于 A： 的定義域為 ，且 ，
所以 為奇函數(shù)，故 A 錯誤；
對于 B： 的定義域為 ，且 ，所以 為偶函數(shù)，
當(dāng) 時 ，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知， 在 上單調(diào)遞增，
即 在 上單調(diào)遞增，故 B 正確；
對于 C： 的定義域為 ，且 ，
所以 為偶函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知， 在 上單調(diào)遞增，故 C 正確；
對于 D： 的定義域為 ，且 ，
所以 為奇函數(shù)，故 D 錯誤；
故選：BC
10. 關(guān)于 的一元二次不等式 的解集為 ，則下列成立的是（ ）
A.
第 5頁/共 15頁
B.
C. 關(guān)于 的一元二次不等式 的解集為
D. 函數(shù) 為其定義域上的減函數(shù)
【答案】AB
【解析】
【分析】由題意可得 和 是方程 的兩個根，且 ，利用韋達(dá)定理可得 ，再
逐項判斷即可.
【詳解】因為一元二次不等式 的解集為 ，
所以 和 是方程 的兩個根，且 ，
所以 ，解得 ，
故 ，故 A 正確，B 正確.
即為 ，即 ，解得 ,故 C 錯誤.
，函數(shù) 上定義域為 上的偶函數(shù)，在定義域上不單調(diào)，故 D 錯誤.
故選：AB
11. 已知函數(shù) 則下列選項正確的是（ ）
A. 函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增
B. 函數(shù) 的值域為
C. 方程 有兩個不等的實數(shù)根
D. 不等式 解集為
第 6頁/共 15頁
【答案】BC
【解析】
【分析】畫出 的圖象，結(jié)合圖象即可判斷各選項.
【詳解】
畫出 圖象，如上圖所示.
令 ，解得 或 ，
所以 的圖象與 軸交于 .
對于 A，由圖象可知，函數(shù) 在區(qū)間 上不單調(diào)，A 錯；
對于 B，由圖象可知，函數(shù) 的值域為 ，B 對；
對于 C， ， ，
由圖象可知，方程 ，即 有兩個不等的實數(shù)根，C 對；
對于 D，由圖象可知，當(dāng) 時， ，
所以，由 可得 .
令 ，解得 或 ；
令 ，解得 或 ，
所以，由圖象可知，不等式 解集為 ，D 錯.
第 7頁/共 15頁
故選：BC
第 II 卷（非選擇題共 92 分）
二、填空題（本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分）
12. 求不等式 的解集為______.
【答案】 或
【解析】
【分析】根據(jù)題意求解不等式即可.
【詳解】由題意可得 或 ，
解得 或
則不等式 的解集為 或 .
故答案為： 或 .
13. 已知扇形弧長為 ，圓心角為 ，則該扇形面積為______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用扇形弧長公式和面積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】由題意知，圓心角為 ，弧長為 ，
設(shè)扇形半徑為 ，根據(jù)弧長公式得 ，得 ，
所以扇形的面積為 .
故答案為： .
14. 已知函數(shù) （ω＞0， ）， ，點 ， 是 圖
象上的任意兩點，若 時， 的最小值為 ，則 圖象的對稱軸是 ______
．
【答案】
【解析】
第 8頁/共 15頁
【分析】由 、 的范圍得到 值，根據(jù) 的值域和已知條件得到 ，根據(jù)周期公式可得 ，
再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸方程可得答案.，
【詳解】因為 ，所以 ，
因為 ，所以 ， ，
，若 ，
則 一個是最大值一個最小值，又 的最小值為 ，
所以 ，得 ，所以 ，
所以 ，
由 得 ，
則 圖象的對稱軸是 .
故答案為： .
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合 .
（1）當(dāng) 時，求 ；
（2）若 ，求實數(shù) m 的取值范圍.
【答案】（1） 或 .
（2）
【解析】
【分析】（1）先計算 ，再計算 ；
（2）由 得 ，再分類討論.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時， ，則 或 ，
第 9頁/共 15頁
則 或 .
【小問 2 詳解】
若 ，則 ,
當(dāng) 時， ，即 ；
當(dāng) 時， ，得 ，
則實數(shù) m 的取值范圍為 .
16. 已知函數(shù) ．
（1）用定義證明 在區(qū)間 上是減函數(shù)；
（2）設(shè) ，求函數(shù) 的最小值．
【答案】（1）證明見解析； （2）5.
【解析】
【分析】(1)直接利用定義法即可證明函數(shù)在 上是減函數(shù)；
(2)利用換元法可得 ( )，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問 1 詳解】
，且 ，
，
又 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以函數(shù) 在 上是減函數(shù)；
【小問 2 詳解】
由 ，得 ，
令 ，則 ，
可轉(zhuǎn)化為 ，
由(1)知，
第 10頁/共 15頁
函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，
所以當(dāng) 時，函數(shù) 取得最小值，且最小值為 5，
即函數(shù) 的最小值為 5.
17. 在平面直角坐標(biāo)系 中，銳角 、 的頂點為坐標(biāo)原點 ，始邊為 軸的正半軸，終邊與單位圓 的
交點分別為 、 ．已知點 的橫坐標(biāo)為 ，點 的縱坐標(biāo)為 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得 、 的正弦值、余弦值，利用兩
角和的正弦公式可求得 的值；
（2）求出 的正弦值、余弦值，利用兩角和的余弦公式可求得 的余弦值，求出 的取值范
圍，即可求得結(jié)果.
【小問 1 詳解】
解：利用三角函數(shù)的定義可得 ， ，
第 11頁/共 15頁
又 、 是銳角，所以 ， ，
所以， .
【小問 2 詳解】
解：因為 ， ，
又 是銳角，則 ，所以 ，
又因為 ，則 ，
而 ，所以 ．
18. 已知函數(shù) ．
（1）求 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng) 時，求 的最值．
（3）當(dāng) 時，關(guān)于 的不等式 有解，求實數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1）
（2）最小值 ；最大值為 2
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡 的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案；
（2）由 ，確定 ，結(jié)合正弦函數(shù)的最值，即可求得答案；
（ 3） 化 簡 ， 參 變 分 離 ， 可 得 ， 換 元 ， 即 令
，則求 在 上的最小值，即可求得答案.
第 12頁/共 15頁
【小問 1 詳解】
由題意，得函數(shù)
，
由 ，解得 ，
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
【小問 2 詳解】
當(dāng) 時， ，所以 ，則 ，
當(dāng) 即 時，函數(shù) 取得最小值為 ；
當(dāng) 即 時，函數(shù) 取得最大值為 ；
【小問 3 詳解】
由題意得 時， 有解，
而此時 ，即 有解，只需要 即可，
， ，
令 ，則 在 上單調(diào)遞減，
所以當(dāng) 時， ，即 ，所以 .
【點睛】方法點睛：（1）本題第三問考查恒成立或有解問題，一般方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決；（2）
參變分離，當(dāng)參數(shù)的系數(shù)的正負(fù)確定時，一般可采用分離參數(shù)的方法，然后可構(gòu)造函數(shù)，解決問題.
19. 已知關(guān)于 x 的方程 （其中 均為實數(shù)）有兩個不等實根 .
（1）若 ，求 m 的取值范圍；
第 13頁/共 15頁
（2）若 滿足 ，且 ，求 p 的取值范圍.
（3）若 為兩個整數(shù)根，p 為整數(shù)，且 ，求 .
【答案】（1）
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）由題意得二次項系數(shù)不為 0 且判別式大于 0，列出不等式即可求解；
（2）結(jié)合韋達(dá)定理以及判別式大于 0，解一元二次不等式即可求解；
（3）由題意首先得到 ， ，再結(jié)合 均為整數(shù)，即可得 的值，分類討論解
一元二次方程即可求解.
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時，由題意，若 時，方程不是一元二次方程，沒有兩個實數(shù)根，
若方程 有兩個不等的實數(shù)解，
則 ，解得 且 ，
所以 的范圍是 .
【小問 2 詳解】
，方程為 ， ，
則 ，又 ，即
∴ ，即 ，
所以 ，解得 ．
所以 的取值范圍為 ．
第 14頁/共 15頁
【小問 3 詳解】
依題意： ，且 ，
， ，
因為 均為整數(shù)，
所以 也是整數(shù)，
∴ 或 ，
時， ，又 且 ，∴ ，
時， ，又 且 ，∴ ．
綜上， 或 ．

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