1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.命題“，”的否定是( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，且男女生視力情況差異不大在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是( )
A. 抽簽法B. 按性別分層隨機抽樣
C. 按學(xué)段分層隨機抽樣D. 隨機數(shù)法
4.函數(shù)的圖象大致為( )
A. B.
C. D.
5.節(jié)氣是指二十四個時節(jié)和氣候，是中國古代訂立的一種用來指導(dǎo)農(nóng)事的補充歷法，是中華民族勞動人民長期經(jīng)驗積累的成果和智慧的結(jié)晶若從立春、雨水、驚蟄、春分這四個節(jié)氣中隨機選擇兩個節(jié)氣，則其中一個節(jié)氣是立春的概率為( )
A. B. C. D.
6.函數(shù)的零點所在的區(qū)間為( )
A. B. C. D.
7.已知冪函數(shù)的圖象過點，函數(shù)，則“”的一個充分不必要條件為( )
A. B. C. D.
8.已知四個不同的實數(shù)，，，，其中，，的方差為，，，的方差為，若，則( )
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共42分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.年月日中國神舟十九號載人飛船成功發(fā)射，為了弘揚航天人頑強拼搏的精神，某校航天課外小組舉行一次航天知識競賽，隨機抽取獲得名同學(xué)的分?jǐn)?shù)滿分分：，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的( )
A. 極差為B. 平均數(shù)為C. 分位數(shù)為D. 眾數(shù)為
10.拋擲兩枚大小相同質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件表示“第一枚擲出的點數(shù)為奇數(shù)”，事件表示“第二枚擲出的點數(shù)為偶數(shù)”，事件表示“兩枚骰子擲出的點數(shù)之和為”，事件表示“第二枚擲出的點數(shù)比第一枚大”，則( )
A. 與是互斥事件B. 與是相互獨立事件
C. D. 與是對立事件
11.已知是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則( )
A. 當(dāng)時，
B. 的單調(diào)遞增區(qū)間為、
C. 若，，則的取值范圍是
D. 方程的所有實數(shù)根之積為
三、填空題：本題共3小題，共110分。
12.某校名同學(xué)數(shù)學(xué)競賽的成績滿分：分均在之間，進行適當(dāng)分組后每組為左閉右開區(qū)間，畫出頻率分布直方圖如圖所示，若從這名參賽者中隨機選取人，試估計其成績在的概率為______．
13.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______．
14.函數(shù)的圖象的對稱中心坐標(biāo)為______．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知集合，．
當(dāng)時，求；
若，求的取值范圍．
16.本小題分
某班級舉辦趣味運動會，其中個人比賽分為限時滾鐵環(huán)和定點投籃兩個項目，每個項目只有“過關(guān)”與“不過關(guān)”兩種結(jié)果，每項過關(guān)積分，不過關(guān)積分甲和乙兩位同學(xué)參加個人比賽，在限時滾鐵環(huán)和定點投籃兩個項目中，假設(shè)甲過關(guān)的概率分別為，，乙過關(guān)的概率分別為，，且甲、乙所有項目是否過關(guān)相互之間沒有影響．
求甲積分的概率；
求甲、乙兩人的積分之和不超過分的概率．
17.本小題分
某大學(xué)校園選擇了一個八邊形區(qū)域設(shè)計一個校園景觀，如圖所示，圖中四個三角形為全等的等腰直角三角形，主干路總面積圖中陰影部分和中間白色正方形面積之和為，在重合的部分處建一正方形特色涼亭，涼亭造價為元；在四個空角圖中四個三角形建造水池和噴泉，造價為元；四個矩形路圖中陰影部分不處理，造價忽略不計設(shè)長為單位：，長為單位：．
求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
設(shè)校園景觀總造價為單位：元，求的最小值．
18.本小題分
已知定義域為的函數(shù)滿足，，，且當(dāng)時，．
求的值；
用單調(diào)性定義證明：在定義域上是增函數(shù)；
若，求不等式的解集．
19.本小題分
定義一種新運算“”，，，
計算，并判斷與的大小關(guān)系；
若函數(shù)有最小值，且最小值大于，求所有滿足題意的整數(shù)的值；
已知關(guān)于的不等式的解集為，中的整數(shù)恰有個，求實數(shù)的取值范圍．
答案解析
1.
【解析】解：集合，，
由交集定義得．
故選：．
根據(jù)交集的概念運算即可．
本題考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2.
【解析】解：“，”的否定為，．
故選：．
根據(jù)全稱命題的否定判斷．
本題主要考查命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．
3.
【解析】解：我們常用的抽樣方法有：簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，
而事先已經(jīng)了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大．
了解某地區(qū)中小學(xué)生的視力情況，按學(xué)段分層抽樣，這種方式具有代表性，比較合理．
故選：．
若總體由差異明顯的幾部分組成時，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進行抽樣．
本小題考查抽樣方法，屬基本題．
4.
【解析】解：函數(shù)，定義域為，
又因為，
是是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除，，
又因為且，排除．
故選：．
判斷函數(shù)的奇偶性結(jié)合特殊的函數(shù)值可判斷得解．
本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，考查了函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．
5.
【解析】解：記立春、雨水、驚蟄、春分這四個節(jié)氣分別為、、、，
則樣本空間為：
，，，，，，
記事件表示“其中一個節(jié)氣是立春”，
則，，，
從立春、雨水、驚蟄、春分這四個節(jié)氣中隨機選擇兩個節(jié)氣，則其中一個節(jié)氣是立春的概率為：
．
故選：．
若從立春、雨水、驚蟄、春分這四個節(jié)氣中隨機選擇兩個節(jié)氣，共種情況，其中一個節(jié)氣是立春，有種情況，用古典概型概率計算公式即可．
本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
6.
【解析】解：函數(shù)和函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增．
又，，則．
由函數(shù)零點存在定理知，函數(shù)的零點所在區(qū)間為．
故選：．
根據(jù)函數(shù)零點存在性定理進行判斷．
本題考查函數(shù)零點的判定，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
7.
【解析】解：設(shè)冪函數(shù)，
因為其圖象過點，
所以，解得，
所以，
所以，
又滿足，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即，解得，
所以的取值范圍是
因為為的真子集，
故為一個充分不必要條件，
其他選項不合要求．
故選：．
根據(jù)冪函數(shù)過，求出，得到的解析式，并根據(jù)條件得到在上單調(diào)遞減，從而得到不等式，求出的取值范圍是，從而得到答案．
本題考查了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了充分不必要條件的定義，屬于中檔題．
8.
【解析】解：根據(jù)題意，四個不同的實數(shù)，，，，其中，，的方差為，
則，，的平均數(shù)為，
則其方差
，
同理，
若，則有，
即，
變形可得，
又由，，，互不相等，則，則必有．
故選：．
利用方差的定義，帶字母進行運算，再利用相等關(guān)系進行變形化簡即可得結(jié)果．
本題考查數(shù)據(jù)的方差計算，注意方差的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．
9.
【解析】解：隨機抽取獲得名同學(xué)的分?jǐn)?shù)滿分分：，，，，，，
極差為，故A正確；
平均數(shù)為，故B正確；
，則分位數(shù)是第個數(shù)據(jù)，故C錯誤；
眾數(shù)為，故D正確．
故選：．
分別通過極差、平均數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)的概念逐個判斷即可；
本題主要考查極差、平均數(shù)、百分位數(shù)、眾數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．
10.
【解析】解：拋擲兩枚大小相同質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件表示“第一枚擲出的點數(shù)為奇數(shù)”，
事件表示“第二枚擲出的點數(shù)為偶數(shù)”，事件表示“兩枚骰子擲出的點數(shù)之和為”，
事件表示“第二枚擲出的點數(shù)比第一枚大”，
事件與事件能同時發(fā)生，故事件，不是互斥事件，故A錯誤；
，，，
，與互不影響，故B正確；
事件，，，，，事件，
不可能同時發(fā)生，故事件與互斥，
，故C正確；
表示“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點，第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點”，
，，，，，，，，，，，，，，
事件與事件不是對立事件，故D錯誤．
故選：．
根據(jù)互斥事件判斷，應(yīng)用概率的乘法公式計算判斷，應(yīng)用互斥事件結(jié)合概率性質(zhì)計算判斷，根據(jù)對立事件定義判斷．
本題考查互斥事件、對立事件、相互獨立事件等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
11.
【解析】解：對于，當(dāng)時，，
則，
又由為偶函數(shù)可得，故A正確；
對于，由題意，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
由此可得的單調(diào)遞增區(qū)間為、和，故B錯誤；
對于，因為，，
所以只需對于任意，，
由圖知，即，故C正確；
對于，令，則，
即，，
解得，即，
若，即，解得或；
若，即，解得，
所以方程所有實數(shù)根之積為，故D正確．
故選：．
利用偶函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)在上的解析式，可判斷選項；
數(shù)形結(jié)合可判斷選項；
數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)在上的最大值，可判斷選項；
求出方程所有的根，可判斷選項．
本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
12.
【解析】解：根據(jù)題意可得，解得，
所以成績在的頻率為，
所以估計其成績在的概率為．
故答案為：．
由頻率分布直方圖的性質(zhì)面積和為，即可求解．
本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．
13.
【解析】解：因為，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，取得最小值．
故答案為：．
結(jié)合的活用應(yīng)用常值代換，再應(yīng)用基本不等式計算求解即可．
本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
14.
【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)圖象的對稱中心坐標(biāo)為，
則，
即，
整理可得，
此式對定義域內(nèi)的任意值都成立，則必有，所以，
回代可得，解得，故對稱中心坐標(biāo)為．
故答案為：．
根據(jù)題意，設(shè)圖象的對稱中心坐標(biāo)為，則有，結(jié)合函數(shù)的解析式分析可得答案．
本題考查函數(shù)對稱性分析，涉及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
15.解：，
當(dāng)時，，
，
則或；
，．
又，，
則需，解得．
實數(shù)的取值范圍是．
【解析】解不等式，求集合、，運用集合交集及補集定義運算求解；
根據(jù)交集關(guān)系得出，列出對應(yīng)的不等式，求解即可．
本題考查一元二次不等式的解法，考查交集及其運算，是基礎(chǔ)題．
16.解：甲過關(guān)的概率分別為，，乙過關(guān)的概率分別為，，且甲、乙所有項目是否過關(guān)相互之間沒有影響，
記事件“甲限時滾鐵環(huán)過關(guān)”，
事件“甲定點投籃過關(guān)”，事件“甲積分”，
易知與相互獨立，則，
由獨立事件概率公式得．
設(shè)事件“乙限時滾鐵環(huán)過關(guān)”，
事件“乙定點投籃過關(guān)”，事件“乙積分”，
易知與相互獨立，則，
由獨立事件概率公式得．
又與相互獨立，
所以兩人的積分之和為分的概率，
所以兩人的積分之和不超過分的概率為．
【解析】先表示出每個事件，再利用獨立事件的概率公式求解即可．
設(shè)出各個事件的概率，再結(jié)合獨立事件和對立事件的概率公式求解即可．
本題考查相互獨立事件相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．
17.解：由題有，即，
又，得，解得，
所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，其中．
由題可得，水池和噴泉總造價為元，涼亭總造價為元，
所以總造價




，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
又，所以當(dāng)時，取最小值元．
【解析】利用面積建立，的關(guān)系，解得，并求得的范圍即可得；
用表示出，變形后由基本不等式得最小值．
本題考查了函數(shù)與不等式在解決實際問題上的綜合應(yīng)用，是中檔題．
18.解：因為，，，
令，可得，得．
證明：，，且，顯然，，所以，
又，
所以，
因為當(dāng)時，，
所以，即，
所以在定義域上是增函數(shù)．
因為函數(shù)的定義域為，所以，解得．
由，得等價于，
所以，
所以，解得或舍去，故，
故不等式的解集為．
【解析】令，即可求解；
由，，且，得到，再由當(dāng)時，，即可求證；
由，得到，再結(jié)合性質(zhì)可得，結(jié)合定義域和單調(diào)性求解即可；
本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
19.解：因為，，
所以．
，
，
所以．
，
令，問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有最小值，且最小值大于，
因為過定點，
故只需
解得，而是整數(shù)，所以．
不等式，
即，
整理得，
則，則，或
令，則，，
所以的一個零點在內(nèi)，
因為解集中的整數(shù)恰有個，
所以個整數(shù)解是，，，，
故的另一個零點在區(qū)間內(nèi)．
所以即，
即，
解得或．
所以實數(shù)的取值范圍是或．
【解析】根據(jù)新定義以及對數(shù)運算計算可得；
先求得的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的值域，進而列不等式求得參數(shù)；
先化簡得出，再根據(jù)及計算求解即可．
本題以新定義為載體，主要考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，二次方程根的分布，屬于中檔題．

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