數(shù)學(xué)
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先計算對數(shù)不等式得出集合A,再判斷集合的基本關(guān)系即可.
【詳解】，A?B
A錯誤，B錯誤，C正確，D錯誤．
故選：C.
2. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)求解即可.
【詳解】，
故選：B
3. 已知平面向量，，若在方向上的投影向量為，則（ ）
A. 2B. C. 0D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由投影向量的幾何意義列方程，解方程即可.
【詳解】由投影向量的幾何意義，，所以.
故選：D.
4. 已知命題，為假命題，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得，令，利用數(shù)形結(jié)合可求得.
【詳解】由題意知，，令，則，
作出函數(shù)圖象如圖所示，
若，則直線與函數(shù)的圖象沒有公共點，數(shù)形結(jié)合可知,
所以的取值范圍為.
故選：D.
5. 某地區(qū)2024年全年月平均溫度（單位：℃）與月份之間近似滿足.已知該地區(qū)2月份的月平均溫度為℃，全年月平均溫度最高的月份為6月份，且平均溫度為32℃，則該地區(qū)12月份的平均溫度為（ ）
A. ℃B. ℃C. ℃D. ℃
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，可求得，進而根據(jù)已知可得，，可求得解析式，進而可求得時的函數(shù)值，可得結(jié)論.
【詳解】由題意可知，直線是曲線的一條對稱軸，
所以，，即，.又，
即，所以.
因為全年月平均溫度最大值為32℃，所以①.
又當(dāng)時，，所以，所以②.
由①②解得，，
所以，則當(dāng)時，℃.
故選：A.
6. 將甲、乙等6位身高各不相同的同學(xué)平均分為兩組，甲、乙在這六位同學(xué)中身高（從高到低）分別排在第4、3位，則分成的兩組中甲不是所在組最矮的且乙不是所在組最高的分組方式共有（ ）種.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】將6人身高從高到低依次標(biāo)號為：1、2、3、4、5、6，法一，利用間接法可求得總的方法數(shù)，法二，采用直接法求解，分甲、乙同組與不同組兩種情況求解.
【詳解】將6人身高從高到低依次標(biāo)號為：1、2、3、4、5、6
法一：用間接法求解：此事件的反面是“甲是本組的最矮的或乙是本組最高的至少成立其一”，①甲、乙不在同一組：只有124、356一種排法；
②甲、乙在同一組：以上命題不可能同時成立，
注意到剩下四人任取一人與甲乙同組均符合題意，所以由種選法，共有種選法.
而平均分組共有種方式，所以共有種選法.
法二：用直接法求解：
①甲、乙在同一組：容易發(fā)現(xiàn)這是不可能的；
②甲、乙不在同一組：那么1、2中至少有一位與乙一組，5、6中至少有一位與甲一組，
取該事件的反面，即：1、2均不與乙一組且5、6均不與甲一組，4人均分兩組共有種分法，符合事件反面的只有356、124一種，所以共有=5種分法.
故選：B.
7. 已知正三棱柱的底面邊長為，高為，則該正三棱柱的外接球的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圓半徑，再借助于勾股定理建立方程，求出外接球半徑即得.解法2：先判斷正三棱柱的外接球球心在高線的中點，即可判斷外接球半徑繼而得出外接球體積范圍，排除其他三項即得.
【詳解】
解法1：如圖，設(shè)正三棱柱外接球的球心為，半徑為.
記和外接圓的圓心分別為和，其半徑為，
由正弦定理得：.而為的中點，
所以則
故選:A.
解法2：設(shè)正三棱柱外接球的半徑為
因正三棱柱的高為，由對稱性知其外接球球心必在高線的中點，
故此時.
故選:A.
8. 已知函數(shù)，若在存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別求出當(dāng)和當(dāng)時，函數(shù)的最小值，由題意，列出不等式，借助函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以fx>?2lg2a，無最小值，
因為在存在最小值，所以，
令，因為和在上均單調(diào)遞增，
所以在上均單調(diào)遞增，又因為，
所以當(dāng)時，，即成立，
所以的解集為.
故選：D.
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知的內(nèi)角的對邊分別為為的中點，，則（ ）
A. B.
C. 的面積為D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)向量的線性運算，數(shù)量積公式，以及余弦定理和三角形面積公式，即可判斷選項.
【詳解】因為為的中點，所以，則，A正確．
由余弦定理得，則，B正確．
由，得，所以，C錯誤．
由，得，則，D正確．
故選：ABD
10. 如圖，某電子實驗貓線路圖上有A，B兩個即時紅綠指示燈，當(dāng)遇到紅燈時，實驗貓停止前行，恢復(fù)綠燈后，繼續(xù)前行，A，B兩個指示燈工作相互獨立，且出現(xiàn)紅燈的概率分別為，.同學(xué)甲從第一次實驗到第五次實驗中，實驗貓在A處遇到紅燈的次數(shù)為.同一次試驗中在A，B兩處遇到紅燈的次數(shù)之和為，則（ ）
A. B. 一次實驗中，A，B兩處至少遇到一次紅燈的概率為
C. D. 當(dāng)時，
【答案】ABD
【解析】
【分析】應(yīng)用二項分布的概率及方差計算判斷A，C，再結(jié)合獨立事件概率乘積公式及對立事件公式計算求解B，應(yīng)用數(shù)學(xué)期望公式 計算判斷D.
【詳解】由題意可知，所以，，故A正確，C錯誤；
一次實驗中，，兩處至少遇到一次紅燈的概率為，故B正確；
當(dāng)時，一次實驗中沒有遇到紅燈的概率為，
遇到一次紅燈的概率為，遇到兩次紅燈的概率為，
故一次實驗中遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，故D正確.
故選：ABD.
11. 已知函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)與，且，使得任意，恒有，則稱函數(shù)是廣義周期函數(shù).下列說法正確的有（ ）
A. 一次函數(shù)（為常數(shù)）是廣義周期函數(shù)
B. 若是廣義周期函數(shù)，則存在實數(shù)，使得是周期函數(shù)
C. 若有兩個不同的對稱中心，則是廣義周期函數(shù)
D. 若與都是廣義周期函數(shù)，則也是廣義周期函數(shù)
【答案】ABC
【解析】
【分析】把代入一次函數(shù)解析式即可證明一次函數(shù)為廣義周期函數(shù)，根據(jù)廣義周期函數(shù)的定義可推出選項正確，利用對稱中心的結(jié)論可解決選項.，選項可通過周期函數(shù)的結(jié)論來推.
【詳解】對于,由，只需使
故一次函數(shù)（為常數(shù)，且）是廣義周期函數(shù)，故正確；
對于,若是廣義周期函數(shù)，則存在常數(shù)與，且，使，
則,
令，得,即存在實數(shù)，使得，
此時，是周期函數(shù)，即正確；
對于,若有兩個不同的對稱中心和，
因為為函數(shù)的對稱中心，所以，
因為為函數(shù)的對稱中心，所以，
上面兩式做減法可得：，
所以
用去代替上式中的可得：，
故是廣義周期函數(shù)，故正確.
對于,因為與都是廣義周期函數(shù)，則存在常數(shù)與，恒有，
存在常數(shù)與，恒有.
設(shè)，因與沒有特定的數(shù)量關(guān)系，故得不到為廣義周期函數(shù).故錯誤.
故選：.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若函數(shù)，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則先求，再計算即可.
【詳解】因為，所以，
得到，解得，
故答案為：.
13. 計算：______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用二倍角公式及兩角和差正弦公式計算可得.
【詳解】
.
故答案為：
14. 已知橢圓的左?右焦點分別為，若以為圓心，為半徑作圓，過橢圓上一點作此圓的切線，切點為，且的最小值為，則橢圓的離心率是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)切線長計算可得的最小值為，再由焦半徑公式可得，整理成關(guān)于的齊次方程可得結(jié)果.
【詳解】如下圖所示：
易知，
又的最小值為可得的最小值為，
根據(jù)焦半徑公式可得的最小值為，即可知,
所以，又，所以，
整理可得，即，
可得，即，解得.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于利用焦半徑公式以及切線長公式得出相應(yīng)等量關(guān)系，構(gòu)造方程即可得出離心率.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知在前n項和為的等差數(shù)列中，，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列的前20項和．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和、通項公式求首項與公差，進而寫出通項公式.
（2）首先判斷、對應(yīng)n的范圍，再根據(jù)各項的符號，應(yīng)用分組求和及等差數(shù)列前n項和求.
【小問1詳解】
由，則，
由，則，
所以，即，故，
則.
【小問2詳解】
由（1）知：，可得，即，故時，
所以.
16. 在三棱柱中，，平面平面，E，F(xiàn)分別為線段的中點．
（1）求證：；
（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，且，求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證線線垂直，再證明線面垂直，從而可得線線垂直；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中的條件得，再將問題轉(zhuǎn)化為求即可.
【小問1詳解】
∵，E為AC的中點，∴，
又∵平面平面，平面平面，
∴平面，且平面，∴，
∵，∴，
又，∴平面，
又平面，∴．
【小問2詳解】
如圖，以為坐標(biāo)原點，分別以為x，z軸正方向，所外建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，
.
設(shè)平面的法向量，
則，即是，解得，
由題意：，即，解得或，
∵，
∴，
由有，可知,
∴.
17. 已知雙曲線的左頂點為，過左焦點的直線與交于兩點.當(dāng)軸時，，的面積為3.
（1）求的方程；
（2）證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，可得，，進而求解；
（2）設(shè)方程為，，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，進而得到，進而求解.
【小問1詳解】
當(dāng)軸時，兩點的橫坐標(biāo)均為，
代入雙曲線方程，可得，，即，
由題意，可得，解得，，，
雙曲線的方程為：；
【小問2詳解】
方法一：設(shè)方程為，，
以為直徑的圓的方程為，
由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，令，可得
，
而，
，
對恒成立，，
以為直徑的圓經(jīng)過定點；
方法二：設(shè)方程為，
由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點.
設(shè)以為直徑的圓過，
，
而
，
，
，即對恒成立，
，即以為直徑的圓經(jīng)過定點.
18. 國慶70周年閱兵式上的女兵們是一道靚麗的風(fēng)景線，每一名女兵都是經(jīng)過層層篩選才最終入選受閱方隊，篩選標(biāo)準(zhǔn)非常嚴(yán)格，例如要求女兵身高（單位：cm）在區(qū)間內(nèi).現(xiàn)從全體受閱女兵中隨機抽取200人，對她們的身高進行統(tǒng)計，將所得數(shù)據(jù)分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數(shù)為75，最后三組的頻率之和為0.7.
（1）請根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；
（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認為受閱女兵的身高X（cm）近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.
（i）求；
（ii）若從全體受閱女兵中隨機抽取10人，求這10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率.
參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，.
【答案】（1），；（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由題意求出各組頻率，由平均數(shù)公式及方差公式即可得解；
（2）（i）由題意結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)即可得解；
（ii）由題意結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)可得，再由即可得解.
【詳解】（1）由題知第三組的頻率為，
則第五組的頻率為，
第二組的頻率為，
所以五組頻率依次為0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，
故，
；
（2）由題知，，
（i）
；
（ii），
故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率：.
【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了正態(tài)分布的應(yīng)用，屬于中檔題.
19. “曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點間距離公式”：若，，則
（1）①點，，求的值．
②求圓心在原點，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．
（2）已知點，直線，求B點到直線的“曼哈頓距離”最小值；
（3）設(shè)三維空間4個點為，，且，，．設(shè)其中所有兩點“曼哈頓距離”的平均值即，求最大值，并列舉最值成立時的一組坐標(biāo)．
【答案】（1）①7；
②；
（2）2； （3）2，，，，.
【解析】
【分析】（1）①②根據(jù)“曼哈頓距離”的定義求解即可；
（2）設(shè)直線上任意一點坐標(biāo)為，然后表示，分類討論求的最小值；
（3）將的所有情況看做正方體的八個頂點，列舉出不同情況的，即可得到的最小值.
小問1詳解】
①；
②設(shè)“曼哈頓單位圓”上點的坐標(biāo)為，則，即.
【小問2詳解】
設(shè)直線上任意一點坐標(biāo)為，則，
當(dāng)時，，此時；
當(dāng)時，，此時；
當(dāng)時，，此時，
綜上所述，的最小值為2.
【小問3詳解】
如圖，為正方體，邊長為1，則對應(yīng)正方體的八個頂點，
當(dāng)四個點在同一個面上時，
（i）例如：，此時；
（ii）例如：，此時；
當(dāng)四個點不在同一個平面時，
（iii）例如：，此時；
（iiii）例如：，此時；
（iiiii）例如：，此時；
（iiiiii）例如：，此時；
（iiiiiii）例如：，此時；
綜上所述，的最大值為2，例如：，，，.

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