一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知，則“的解集為”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，則的模等于（ ）
A．2B．C．D．4
4．已知平行六面體的體積為1，若將其截去三棱錐，則剩余部分幾何體的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．若，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知的角的對(duì)邊分別為，若，則（ ）
A．B．C．1D．
7．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，，是其一條漸近線上的兩點(diǎn)，且，若的面積等于，則的最小值為（ ）
A．B．2C．D．4
8．已知數(shù)列的通項(xiàng)，若且，使得，則的取值個(gè)數(shù)為（ ）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．無數(shù)個(gè)
二、多選題（本大題共3小題）
9．某科研院所共有科研人員200人，統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：
欲了解該所科研人員的創(chuàng)新能力，決定抽取40名科研人員進(jìn)行調(diào)查，那么（ ）
A．若按照研究學(xué)科進(jìn)行分層抽樣（比例分配），則數(shù)學(xué)學(xué)科科研人員一定被抽取12人
B．若按照性別進(jìn)行分層抽樣（比例分配），則男性科研人員可能被抽取20人
C．若按照簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，則女性科研人員一定被抽取10人
D．若按照簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，則可能抽出的均為數(shù)學(xué)學(xué)科科研人員
10．聲音源于物體振動(dòng)所產(chǎn)生的、能夠激發(fā)聽覺的波動(dòng)．為了有效地消除噪聲，人類研發(fā)了主動(dòng)降噪的技術(shù)，該技術(shù)的原理是通過電子設(shè)備模擬產(chǎn)生一種與目標(biāo)噪聲頻率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差為的奇數(shù)倍）的聲音，理論上就可以和噪聲完全抵消．某一目標(biāo)噪聲的數(shù)學(xué)模型函數(shù)是，則可以作為降噪模擬聲的數(shù)學(xué)函數(shù)模型有（ ）
A．B．
C．D．
11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若滿足（為正常數(shù)）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，則下列說法正確的是（ ）
A．，使得曲線經(jīng)過原點(diǎn)
B．，曲線既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形
C．當(dāng)時(shí)，面積的最大值為
D．當(dāng)時(shí)，曲線圍成的面積大于曲線圍成的面積
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，若復(fù)數(shù)，則 ．
13．已知圓分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 ．
14．若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值集合為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；
(2)已知為整數(shù)，若在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞增，求．
16．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，點(diǎn)在棱上，且直線與所成的角為．
(1)證明：點(diǎn)為棱的中點(diǎn)；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
17．已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，在軸上方，，均垂直于的準(zhǔn)線，垂足分別為，．
(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程；
(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．
18．年月日國(guó)家市場(chǎng)監(jiān)督管理總局第次局務(wù)會(huì)議審議通過《食品安全抽樣檢驗(yàn)管理辦法》，自年月日起實(shí)施．某地市場(chǎng)監(jiān)管部門對(duì)當(dāng)?shù)匾皇称窂S生產(chǎn)的水果罐頭開展固形物含量抽樣檢驗(yàn)，按照國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，在一瓶水果罐頭中，固形物含量不低于為優(yōu)級(jí)品，固形物含量低于且不低于為一級(jí)品，固形物含量低于為二級(jí)品或不合格品．
(1)現(xiàn)有瓶水果罐頭，已知其中瓶為優(yōu)級(jí)品，瓶為一級(jí)品．
（?。┤裘看螐闹须S機(jī)取出瓶，取出的罐頭不放回，求在第次抽到優(yōu)級(jí)品的條件下，第次抽到一級(jí)品的概率；
（ⅱ）對(duì)這瓶罐頭依次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次檢驗(yàn)后不放回，直到區(qū)分出瓶罐頭的等級(jí)時(shí)終止檢驗(yàn)，記檢驗(yàn)次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與期望；
(2)已知該食品廠生產(chǎn)的水果罐頭優(yōu)級(jí)品率為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)級(jí)品相互獨(dú)立，若在次獨(dú)立重復(fù)抽檢中，至少有次抽到優(yōu)級(jí)品的概率不小于（約為），求的最小值．
19．由邊長(zhǎng)為，，2的等腰直角三角形出發(fā)，用兩種方法構(gòu)造新的直角三角形：
①以原三角形的短直角邊為新三角形的短直角邊，原三角形的斜邊為新三角形的長(zhǎng)直角邊
②以原三角形的長(zhǎng)直角邊為新三角形的短直角邊，原三角形的斜邊為新三角形的長(zhǎng)直角邊．
設(shè)，由方法①，②均可得到，接下來繼續(xù)使用上述兩種方法，得到三角形序列其中，，是直角三角形的三條邊，且，為斜邊)，滿足對(duì)于任意，有，
(1)設(shè)，求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求；
(3)證明：在直角三角形序列中，若，則．
參考答案
1．【答案】B
【詳解】因?yàn)榧?，因?
故選：B.
2．【答案】A
【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?，所以?br>所以“的解集為”是“”的充分不必要條件.
故選：.
3．【答案】A
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，
所以，
故選：A..
4．【答案】D
【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，的面積為，
顯然有，所以，
因此剩余部分幾何體的體積為，
故選：D
5．【答案】B
【詳解】因?yàn)?，所?
又因?yàn)?
故選：B.
6．【答案】D
【詳解】因?yàn)椋?br>由正弦定理得，
所以.
故選：D.
7．【答案】B
【詳解】

設(shè)，是漸近線上的兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
所以的面積為，
又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為2.
故選：.
8．【答案】C
【詳解】令，即，
由題意可得為方程的兩個(gè)不等正整數(shù)解，
由韋達(dá)定理可得，可知為負(fù)整數(shù)，
因?yàn)椋?br>所以，共個(gè)．
故選：C.
9．【答案】AD
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：按學(xué)科分層抽樣，則數(shù)學(xué)學(xué)科抽樣比為，則數(shù)學(xué)學(xué)科抽取人數(shù)為人，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：按性別分層抽樣，男性抽樣比為，則男性科研人員被抽到的人數(shù)為人，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)C：若按照簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，則每個(gè)人被抽到的概率都相等，則女性科研人員不一定被抽取10人，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D: 若按照簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，則每個(gè)人被抽到的概率都相等，則可能抽出的均為數(shù)學(xué)學(xué)科科研人員，故選項(xiàng)D正確；
故選：AD
10．【答案】AB
【詳解】由題意可知，可以作為降噪模擬聲的數(shù)學(xué)函數(shù)模型為，，
或，，
AB選項(xiàng)滿足題意，
故選：AB.
11．【答案】ABD
【詳解】由題意，軌跡的方程為：①
選項(xiàng)A：取，①即為，曲線經(jīng)過原點(diǎn)．A正確．
選項(xiàng)B：用代替方程不變，用代替方程也不變，同時(shí)用代替，代替方程也不變.所以曲線關(guān)于軸，軸和原點(diǎn)對(duì)稱．B正確．
選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，①即為．若，則的面積為；若，由曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，所以，此時(shí)的面積大于．C錯(cuò)誤．
選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，由，得．曲線：上任意一點(diǎn)滿足．所以曲線“包含于”曲線，兩條曲線的公共點(diǎn)僅有，曲線圍成的面積大于曲線圍成的面積．D正確．
故選：ABD
12．【答案】
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：
13．【答案】10
【詳解】圓，圓心，，
圓，圓心，，
因?yàn)榉謩e是上的動(dòng)點(diǎn)，
則的最大值為.
故答案為：10.
14．【答案】
【詳解】由題可知：函數(shù)有且僅有一個(gè)正零點(diǎn)，
又
當(dāng)時(shí)，不妨令，
則，
所以．
當(dāng)時(shí)，，
由，，所以．
此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
令，，
，
當(dāng)時(shí)，，，所以，
即在上恒成立，
則在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，則，
又，所以在上的值域?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，，
令，，
由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以也在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，則，
又，所以在上的值域?yàn)?br>若只有一個(gè)正零點(diǎn)，
即與在有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
由上述分析可得的取值范圍為：
或．
故答案為：．
15．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)
所以
在處的切線方程為．
（2）令．
由題意，當(dāng)時(shí)
當(dāng)時(shí)
只需
即
解得：
因?yàn)闉檎麛?shù)，所以．
16．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)，則．
設(shè)，則，
可得，
由題意可得，
整理可得，解得，
所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．
（2）由（1）可得：，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，可得．
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
17．【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）

由題意，為拋物線的焦點(diǎn)．設(shè)．
設(shè)直線的方程為：，代入，得：．
則①，②．
因?yàn)?，所以，即③?br>由①③得：．又由②，解得．
因?yàn)?，所以．直線的方程為．
（2）由題意，．
因?yàn)?，所以在線段上．
同理，在線段上．
因?yàn)?，所以與相似，
從而，即．
18．【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）分布列見解析，
(2)
【詳解】（1）（?。┰O(shè)第次抽到優(yōu)級(jí)品為事件，第次抽到一級(jí)品為事件，
則．
（ii）根據(jù)題意可知的取值可能為、、、．
則，，
，．
則的分布列為：
所以．
（2）設(shè)在次抽檢中至少有次抽到優(yōu)級(jí)品的概率為，
則
，其中，
因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增．
注意到，所以，故的最小值為．
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)證明見詳解.
【詳解】（1）;，
由，，，
由且，，，，均為偶數(shù)，得，
又，其中，所以有，
所以有，則;
（2）若;;，因?yàn)?，所以是奇?shù)，則;;，
又，所以是偶數(shù)，所以，
同理有，，，，，
所以，則有;
（3）設(shè)中有兩個(gè)及以上的直角三角形滿足互質(zhì))，
在所有的中，取分母最小者，并在這些分母最小的有理數(shù)中取分子最小者，
將得到的有理數(shù)記作，設(shè)，則，則;;，
它的前序三角形(即得到的三角形)應(yīng)為;;或;;，
若，則為偶數(shù)，應(yīng)存在不同的偶數(shù)，，使得，
這就有，由于，這與取法矛盾，
若，則為奇數(shù)，應(yīng)存在不同的奇數(shù)，，使得，
此時(shí)，同樣與取法矛盾，
所以假設(shè)不成立，故不存在兩個(gè)及以上的三角形滿足，命題得證．
研究學(xué)科
性別
數(shù)學(xué)
物理
化學(xué)
生物
合計(jì)
女
15
10
24
31
80
男
45
40
18
17
120
合計(jì)
60
50
42
48
200

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