一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．已知平面向量且，兩個非零向量，若，則實數(shù)的值為（ ）
A．1B．C．1或D．或
3．的展開式中系數(shù)最大的項為（ ）
A．第3項B．第4項C．第5項D．第6項
4．已知，則在復平面內(nèi)所對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．已知正項等差數(shù)列滿足，則（ ）
A．4050B．2025C．4048D．2024
6．在平面直角坐標系中，已知圓，點，若圓上存在點，滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)若方程在上恰有4個不同實根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．直觀想象是數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，現(xiàn)有大小完全相同的10個半徑為的小球，全部放進棱長為的正四面體盒子中，則的最大值為（ ）
A．B．1C．D．2
二、多選題（本大題共3小題）
9．如圖，長方體中，是側(cè)面的中心，是底面的中心，點在線段上運動，則下面選項正確的是（ ）
A．直線與平行
B．四面體的體積為定值
C．點到平面的距離為
D．異面直線與所成的角為
10．泊松分布是一種離散型概率分布，常用于描述單位時間（或空間）內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)，其概率分布列為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值.當二項分布的很大而很小時，泊松分布可作為二項分布的近似，且取二項分布的期望.假設(shè)每個大腸桿菌基因組含有10000個核苷酸對，采用紫外線照射大腸桿菌時，每個核苷酸對產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0005，設(shè)大腸桿菌的基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個數(shù)為表示經(jīng)該種紫外線照射后產(chǎn)生個嘧啶二體的概率.已知近似服從泊松分布，當產(chǎn)生的嘧啶二體個數(shù)不小于1時，大腸桿菌就會死亡，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．
C．大腸桿菌經(jīng)該種紫外線照射后，存活的概率為
D．經(jīng)該種紫外線照射后產(chǎn)生10個嘧啶二體的概率最大
11．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如圖，曲線與軸交于兩點，與軸交于兩點，是上一個動點，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．曲線恰好經(jīng)過3個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）
C．面積的最大值為1
D．滿足的點有且只有2個
三、填空題（本大題共3小題）
12．請寫出同時滿足下面三個條件的一個函數(shù)解析式 .①；②至少有兩個零點；③有最小值.
13．成都石室中學舉辦校慶文藝展演晚會，設(shè)置有一個“傳奇”主會場和“傳承”，“揚輝”兩個分會場.現(xiàn)場需要安排含甲、乙的六名安全員負責現(xiàn)場秩序安全，其中“傳奇”主會場安排三人，剩下三人安排去“傳承”，“揚輝”兩個分會場（每個分會場至少安排一人）.若要求甲、乙兩人不在同一個會場開展工作，則不同的安排方案有 種.
14．已知函數(shù)且與函數(shù)且有兩個不同交點，則的取值范圍是 .（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）
四、解答題（本大題共5小題）
15．如圖，四棱錐中，底面是正方形，是的中點，.
(1)證明：平面平面；
(2)若是棱上靠近點的三等分點，求直線與平面所成角的正弦值.
16．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，求的值.
17．已知函數(shù)，若只有唯一的極值且為極小值3.
(1)求；
(2)設(shè)，若不等式恒成立，求的最大值.
18．已知雙曲線過點，漸近線方程為.
(1)求的方程；
(2)已知點，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點，在線段上取異于點的點.
（i）當為中點時，的面積為7，求直線的斜率；
（ii）直線分別與軸交于點，若為中點，證明：點恒在一條定直線上.
19．北湖生態(tài)公園有兩條散步路線，分別記為路線和路線.公園附近的居民經(jīng)常來此散步，經(jīng)過一段時間的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，前一天選擇路線的居民第二天選擇路線和路線的概率均為；前一天選擇路線的居民第二天選擇路線和路線的概率分別為和.已知居民第一天選擇路線的概率為，選擇路線的概率為.
(1)若有4位居民連續(xù)兩天去公園散步，記第二天選擇路線散步的人數(shù)為，求的分布列及期望；
(2)若某居民每天都去公園散步，記第天選擇路線的概率為.
（i）請寫出與的遞推關(guān)系；
（ii）設(shè)，求證：.
參考答案
1．【答案】A
【詳解】由，即，解得，
所以，
又，所以.
故選：A.
2．【答案】C
【詳解】由，且均不為零向量，得，
又因為平面向量且，
所以，
所以，整理得，
解得或.
故選:C.
3．【答案】B
【詳解】易知的展開式的各項系數(shù)分別為，
由二項式系數(shù)的對稱性可知系數(shù)最大的項為第四項.
故選：B.
4．【答案】D
【詳解】設(shè)，則，解得，
則，
則在復平面內(nèi)所對應的點為，位于第四象限.
故選：D.
5．【答案】B
【詳解】在等差數(shù)列中，，
則，即，因此，
數(shù)列是常數(shù)列，則，即，所以.
故選：B
6．【答案】B
【詳解】設(shè)，則，.
因為，所以，
即，所以點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓.
又因為點在圓上，所以圓與圓有公共點，所以，
即，解得.
故選：B.
7．【答案】A
【詳解】因為函數(shù)
所以當時，方程可化為，解得，
則當時，
當時，方程可化為，
解得，
則當時，
因為方程在上恰有4個不同實根，
所以這4個不同實根為，則.
故選：A
8．【答案】D
【詳解】根據(jù)題意利用正四面體的性質(zhì)得出棱長與高之間的關(guān)系，再由10個球在正四面體盒子內(nèi)部擺放規(guī)則以及內(nèi)切關(guān)系，利用三角形相似即可求得的最大值.
如圖所示，
因為正四面體的高等于其棱長的倍，所以其高為.
10個半徑為的小球放進棱長為的正四面體中，成三棱錐形狀，有3層，
則從上到下每層的小球個數(shù)依次為個，
當取最大值時，從上到下每層放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，
底層的每個球都與正四面體底面相切，任意相鄰的兩個小球都外切，
位于每層正三角狀頂點的所有上下相鄰小球的球心連線為一個正四面體，
則該正四面體的棱長為，
可得正四面體的高.
連接并延長交于點，連接，過點作于點，
易知，所以，
所以，
所以正四面體的高，
解得，所以的最大值為2.
故選：D.
9．【答案】ABC
【詳解】對于A選項，連接，
因為是側(cè)面的中心，是底面的中心，
則為的中點，為的中點，
所以在中，為的中位線，即，A正確；
對于B選項，因為，平面平面，
所以平面，
又點在線段上運動，所以點到平面的距離為定值，
又為定值，所以四面體的體積為定值，B正確；
對于C選項，如圖以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，
則，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
解得，令，得，則，
所以點到平面的距離，C正確；
對于D選項，，,
則，
故異面直線與所成的角不為，D錯誤.
故選：ABC.
10．【答案】AC
【詳解】對于A，因為，所以此時泊松分布滿足二項分布的近似的條件，，A正確；
對于B，，B錯誤；
對于C，，C正確；
對于D，
，
當時，，當時，；
當時，；故當或5時取最大值，D錯誤.
故選:AC.
11．【答案】ACD
【詳解】對于A，由，令，得，解得，所以，所以.令，得，解得，所以，所以，所以，A正確；
對于B，由，令，得，所以直線與曲線交于點，直線與曲線交于點，所以曲線經(jīng)過點B錯誤；
對于C，由，看作是關(guān)于的方程，故，可得，
令，得，所以，即，所以，所以直線與曲線交于點，結(jié)合圖象可得點的縱坐標的絕對值的最大值為，所以面積的最大值為，C正確；
對于D，坐標平面內(nèi)到定點的距離和為的點的軌跡為以為焦點，長軸長為的橢圓，如圖設(shè)橢圓方程為.
由題意，得.又，所以，
所以橢圓方程為.
聯(lián)立得，
所以所以，所以，
故橢圓與曲線的交點為.
故點有且只有2個，D正確.
故選:ACD.
12．【答案】（答案不唯一）
【詳解】取，其對稱軸為，滿足①.
令，解得或2，滿足②至少有兩個零點.
，當時，，滿足③有最小值.
故答案為：（答案不唯一）.
13．【答案】88
【詳解】按照甲，乙是否在“傳奇”主會場劃分情況：
①甲，乙有且只有1人在主會場，需要在除甲，乙外的四人中選兩人去主會場，
剩下的三人去剩下的“傳承”，“揚輝”兩個分會場，有（種）不同的安排方案；
②甲，乙都不在主會場，從甲，乙外的四人中選三人去主會場，
再將甲，乙安排去剩下的“傳承”，“揚輝”兩個分會場，且一人去一個分會場，
剩下一人可以去“傳承”，“揚輝”兩個分會場，有（種）不同的安排方案.
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有（種）不同的安排方案.
故答案為：88.
14．【答案】
【詳解】因為函數(shù)且與函數(shù)且，
所以，所以當時，定義域為，當時，定義域為.
又因為與有兩個不同交點，所以方程有兩個根.
令，所以在上是增函數(shù).
由，得有兩個根.
因與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，所以與有兩個交點，
故有兩個根，整理得，即與有兩個交點，求導得到.
①當時，定義域為，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，故的取值范圍是；
②當時，定義域為，同理可得在上單調(diào)遞增，
所以與只有一個交點，不滿足題意.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：.
15．【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）因為四邊形為正方形，為的中點，，所以.
在中，，
由余弦定理可得.
，所以.
因為，所以，所以.
又因為平面，所以平面.
又因為平面，
所以平面平面.
（2）由（1），得兩兩垂直，以點為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
于是，
，.
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即，令，得.
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
16．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為，
所以，
即，
可得，所以.
又因為，所以，即，
所以.
（2）由（1）可知，.
因為，
所以，即.
由正弦定理可得.
由余弦定理可得，即，
整理得，而，
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）的定義域為.
①當時，當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
這時只有唯一的極值且為極小值，即.
②當時，令，得或.
（i）當時，，
當時，，當時，，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，這時的極值不唯一.
（ii）當時，對恒成立，所以在上單調(diào)遞增，這時無極值.
（iii）當時，，當時，，當時，，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，這時的極值不唯一.
綜上所述，.
（2）因為，所以，所以.
設(shè)，令，解得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
所以，所以，所以.
設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，所以.
18．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）證明見解析
【詳解】（1）由題意，得，則①，
將點代入雙曲線方程，得②，
聯(lián)立①②解得故的方程為.
（2）若直線的斜率不存在，則直線與雙曲線右支只有一個交點，不符合題意，故直線的斜率存在.
設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得.
設(shè)，由題意，得解得.
（i）解：因為為中點，所以.
由，得.
又，解得，所以直線的斜率為.
（ii）證明：設(shè)直線的方程為，令，得.
同理可得，.
因為為中點，所以，即.
又因為點都在直線上，
所以，
整理，得，
代入韋達定理，得，所以.
因為，所以點恒在定直線上.
2、由特殊到一般發(fā)：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).
19．【答案】(1)分布列見解析，
(2)（i）；（ii）證明見解析
【詳解】（1）記附近居民第天選擇路線分別為事件，
依題意，，，，
則由全概率公式，得居民第二天選擇路線散步的概率；
記第二天選擇路線散步的人數(shù)為，則，
則，，
，，
，
則的分布列為：
故的數(shù)學期望．
（2）（i）當?shù)谔爝x擇路線時，第天選擇路線的概率；
當?shù)谔爝x擇路線時，第天選擇路線的概率，
所以.
（ii）由（i）知，則，而，
于是數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
因此，即，，
當時，，而，
所以；
當時，，而，
所以，
所以.0
1
2
3
4

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