一、單選題（本大題共8小題）
1．在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則（ ）
A．B．3C．D．
4．已知數(shù)列，則“，，”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．若，，則（ ）
A．B．C．D．
6．曲線在，兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則的值為（）
A．B．0C．1D．
7．已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，三邊、、所在直線的斜率分別為，，，若，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則稱滿足性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的為（ ）
A．若的周期為1，則滿足性質(zhì)
B．若，則不滿足性質(zhì)
C．若（且）滿足性質(zhì)，則
D．若偶函數(shù)滿足性質(zhì)，則圖象關(guān)于直線對(duì)稱
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知平面向量，，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．向量，不可能垂直B．向量，不可能共線
C．不可能為3D．若，則在上的投影向量為
10．若從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．若這四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積都相等
B．這四點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的個(gè)數(shù)為58
C．若正方體棱長(zhǎng)為a，則這四點(diǎn)能構(gòu)成的所有三棱錐中表面積的最大值為
D．若這四點(diǎn)分別記為A，B，C，D，則直線與所成的角不可以為30°
11．已知曲線C的方程為，下列說(shuō)法正確的有（）
A．曲線C關(guān)于直線對(duì)稱
B．，
C．曲線C被直線截得的弦長(zhǎng)為
D．曲線C上任意兩點(diǎn)距離的最大值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．若n是數(shù)據(jù)1，3，2，2，9，3，3，10的第75百分位數(shù)，則展開(kāi)式中的系數(shù)為 .
13．已知函數(shù)在閉區(qū)間I上的最大值記為，若實(shí)數(shù)k滿足，則 .
14．如圖，在中，，，E是的中點(diǎn)，D是邊上靠近A的四等分點(diǎn)，將沿翻折，使A到點(diǎn)P處（P點(diǎn)在平面上方），得到四棱錐.則
①的中點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為 ；
②四棱錐外接球表面積的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．在春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上進(jìn)行了機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下數(shù)據(jù)：
(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試分析對(duì)機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡是否與性別有關(guān)聯(lián)？
(2)從這100名樣本觀眾中任選1名，設(shè)事件“選到的觀眾是男性”，事件“選到的觀眾喜歡機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目”，比較和的大小，并解釋其意義.
，.
16．如圖，在四棱錐中，，，，，，，F(xiàn)為的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若平面平面，求與平面所成角的正弦值.
17．已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，存在，使得，求a的取值范圍.
18．定義正方形數(shù)陣滿足，其中i，.
(1)若，求數(shù)陣所有項(xiàng)的和T；
(2)若m，n，p，，求證：也是數(shù)陣中的項(xiàng)；
(3)若，，且，求的值為奇數(shù)的概率.
19．已知雙曲線（，）的漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線C上.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)如圖，過(guò)雙曲線C右支上一點(diǎn)P作圓的切線交雙曲線C左支于Q，右支于R，直線與圓O切于點(diǎn)M.
①求證：Q、R兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱；
②判斷是否為定值，如果是，求出該定值；如果不是，求的取值范圍.
參考答案
1．【答案】D
【詳解】因?yàn)橄蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，
所以
所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.
故選：D.
2．【答案】C
【詳解】因?yàn)?，?br>所以.
故選：C
3．【答案】D
【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻茫海?br>所以，
即，
又因?yàn)?，，所以?br>故，解得，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
所以.
故選：D.
4．【答案】A
【詳解】充分性：若對(duì)，，都有，
則令,得,即，因?yàn)闉槌?shù),所以數(shù)列為等差數(shù)列;
必要性:等差數(shù)列不一定滿足,,,
例如:當(dāng)?shù)炔顢?shù)列通項(xiàng)公式為時(shí),,,
此時(shí),所以,,”是“數(shù)列為等差數(shù)列的充分不必要條件.
故選：A
5．【答案】C
【詳解】，，
，，
，化簡(jiǎn)得，，
.
故選：C.
6．【答案】A
【詳解】由，
不妨設(shè)，兩切線的斜率分別為，
當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí)，顯然，
因此不成立，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，則有，此時(shí)，顯然，
因此不成立，不符合題意；
當(dāng)，則有，
此時(shí)，變形得．
故選：A
7．【答案】B
【詳解】設(shè)，，，
則，
所以，
解得，故，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
故選：B.
8．【答案】D
【詳解】選項(xiàng)A，的周期為1，則，從而有，因此具有性質(zhì)，但不一定成立，A錯(cuò)；
選項(xiàng)B，，，所以，所以具有性質(zhì)，B錯(cuò)；
選項(xiàng)C，若（且）滿足性質(zhì)，則，所以，從而，C錯(cuò)；
選項(xiàng)D，偶函數(shù)滿足性質(zhì)，即，又是偶函數(shù)，
所以，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱，D正確，
故選：D．
9．【答案】BD
【詳解】由題意知，.
對(duì)于選項(xiàng)A，若向量，則，即，
顯然此式能成立，故A錯(cuò)；
對(duì)于選項(xiàng)B，若向量，則有，即，
即，顯然此式不成立，故 B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，，
則當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)；
對(duì)于選項(xiàng)D，若，則，，
則在上的投影向量為，故D 正確.
故選：BD
10．【答案】BCD
【詳解】如圖：
對(duì)A：設(shè)，則，，所以A不正確；
對(duì)B：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)的選法有中，其中不能構(gòu)成三棱錐的有：①四個(gè)點(diǎn)在正方體的一個(gè)面上，即所選四點(diǎn)為：,，，，，共6個(gè)；②所選四個(gè)點(diǎn)在正方體的相對(duì)棱上，即所選的四點(diǎn)為：，，，，，，共6個(gè).
所以所選的四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成三棱錐的個(gè)數(shù)為：個(gè)，故B正確；
對(duì)C：正方體棱長(zhǎng)為a，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選3個(gè)，構(gòu)成三角形，其中面積最大的就是象這樣的等邊三角形，其邊長(zhǎng)為，面積為，所以四點(diǎn)能構(gòu)成的所有三棱錐中表面積的最大的就是三棱錐這樣的正四面體，其表面積為，故C正確；
對(duì)D：在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)，連成兩條直線，所成的角最小的就是形如直線與的所成的角，設(shè)為，則，所以，故D正確.
故選：BCD
11．【答案】ACD
【詳解】選項(xiàng)A：將方程中的和互換，得到，與原方程一致，因此曲線關(guān)于直線對(duì)稱，A正確；
選項(xiàng)：通過(guò)分析方程，設(shè)固定，解關(guān)于的二次方程，判別式要求，
得，即，超出，同理的范圍也超過(guò)，B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：將直線代入曲線方程，解得交點(diǎn)為和，
故弦長(zhǎng)為，C正確；
選項(xiàng)D：則即
又，即，
則
同理可得：，
則曲線的上任一點(diǎn)到的距離之和為：
曲線表示以為焦點(diǎn)且的橢圓，則，
則線段的最大值為正確；
故選：ACD
12．【答案】80
【詳解】已知數(shù)據(jù)從小到大排列為：，共8個(gè)，，
第6個(gè)數(shù)是3，第7個(gè)數(shù)是9，
，所以，
展開(kāi)式中的系數(shù)為，
故答案為：80.
13．【答案】或
【詳解】根據(jù)區(qū)間的定義，左端點(diǎn)小于右端點(diǎn)，，得到，即根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，，由題意：，根據(jù)函數(shù)的周期為，而且其在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，即，所以，即，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，則，可得；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，且在單調(diào)遞增，，.
故答案為：或.
14．【答案】
【詳解】因?yàn)榈街悬c(diǎn)的距離等于，且點(diǎn)在平面上方，
所以的軌跡是以中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，
所以的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為；
因?yàn)樗倪呅蔚耐庑臑榈闹悬c(diǎn)，所以四邊形的外接球的半徑
所以四棱錐外接球的球心在過(guò)四邊形的外心且垂直平面的直線上，
設(shè)四棱錐外接球的半徑為，設(shè)球心到四邊形的外心的距離為，
則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以四棱錐外接球表面積的最小值為.
故答案為：；.
15．【答案】(1)與性別有關(guān)聯(lián)
(2)，意義見(jiàn)解析
【詳解】（1）零假設(shè)對(duì)機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡與性別無(wú)關(guān).
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得，
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，即對(duì)機(jī)器人表演節(jié)目的喜歡與性別有關(guān)聯(lián).
（2）依題意得，， ， 則
意義：該樣本中男性對(duì)機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡的概率比女性對(duì)機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡概率大；
或者男性對(duì)機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡的人數(shù)比女性對(duì)機(jī)器人團(tuán)體舞蹈表演節(jié)目喜歡多等等
16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）由，，，易求
取的中點(diǎn)M，連結(jié)，F(xiàn)為的中點(diǎn)
所以，，所以，
所以四邊形為平行四邊形.
所以，，又平面，平面
所以平面
（2）由，，所以
所以，又平面平面，所以平面
以E為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)E與垂直的直線為軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，則，
，所以，取，則，
所以平面的一個(gè)法向量為
設(shè)與平面所成角為，則
所以直線與平面所成角的正弦值為
17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）
當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，則
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）因?yàn)榇嬖?，使?只需或
因?yàn)?，所?
所以只需，由（1）知為與中的較大者
所以或，解得或，
所以
綜上所述，a的取值范圍為
18．【答案】(1)0
(2)證明見(jiàn)解析
(3)答案見(jiàn)解析
【詳解】（1）若，則的所有取值情況為：
故數(shù)陣共99項(xiàng)，由知：，
，
所以.
（2）
由知，，故，
所以也是數(shù)陣中的項(xiàng).
（3）若知：，
由與具有相同的奇偶性知要使的值為奇數(shù)，需使與都是奇數(shù)，
即i與j必定一奇一偶，
當(dāng)時(shí)，的取值情況有4種，故；
當(dāng)時(shí)，的取值情況有8種，故；
當(dāng)時(shí)，的取值情況有12種，故；
當(dāng)且n為奇數(shù)時(shí)，中有個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，
故的取值情況有種，故；
當(dāng)且n為偶數(shù)時(shí)，中有個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，
故的取值情況有種，故；
綜上所述，當(dāng)且n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)且n為偶數(shù)時(shí)，.
19．【答案】(1)
(2)①證明見(jiàn)詳解；②是定值，.
【詳解】（1）由雙曲線C的漸近線方程，可知，即.
把點(diǎn)帶入雙曲線C的方程得，由，解得，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）①由題意知切線的斜率存在，故設(shè)切線的方程為，
由圓O的圓心到直線的距離，所以 ① ，
把代入消y得，
由題意知.設(shè)，，，
則由韋達(dá)定理可知，，
則，
所以，
所以，所以，
同理可得，所以Q，O，R三點(diǎn)共線，
又由雙曲線C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以Q，R兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
②是定值，證明如下：
連接，，，由①知：，，所以，
所以，所以為定值.喜歡
不喜歡
男性
40
10
女性
20
30
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828

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