一、單選題（本大題共8小題）
1．已知數(shù)列，則該數(shù)列的第211項(xiàng)為（ ）
A．B．421C．D．423
2．如果橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為6，那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（ ）
A．26B．10C．4D．14
3．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（ ）
A．B．10C．D．100
4．已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，則（ ）
A．B．C．D．
5．若直線與互相平行，則（ ）
A．B．3C．或3D．
6．對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋科學(xué)家沈括首創(chuàng)的“隙積術(shù)”就與高階等差級數(shù)求和有關(guān).現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個(gè)貨物，第二層比第一層多3個(gè)，第三層比第二層多4個(gè)，以此類推，記第層貨物的個(gè)數(shù)為，則（ ）
A．210B．209C．211D．207
7．在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．若，則單調(diào)遞增B．若，則單調(diào)遞增
C．可能為等差數(shù)列D．可能為等比數(shù)列
10．已知圓與直線，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則（ ）
A．直線與圓相離
B．過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長的最小值為
C．
D．從點(diǎn)向圓引切線，切線長的最小值是
11．如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，則（ ）

A．四點(diǎn)共面
B．在平面上的投影向量為
C．點(diǎn)到平面的距離為
D．點(diǎn)到直線的距離為
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，雙曲線上有一點(diǎn)，若，則 .
13．在空間四邊形OABC中，，，，且，，則 ．（用，，作基底）
14．一支車隊(duì)有15輛車，某天下午車隊(duì)依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)，第一輛車于12時(shí)出發(fā)，以后每間隔12分鐘發(fā)出一輛車．假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開車，并都在16時(shí)停下來休息，則截止到16時(shí)，最后一輛車行駛了 小時(shí)．
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和.
(1)求，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
16．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．
17．圖1是直角梯形ABCD，，，，，，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且二面角的平面角為，如圖2．
(1)證明：．
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
18．已知橢圓C：上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為．
(1)求橢圓C的方程．
(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線l與x軸垂直，與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若直線BQ與橢圓C的另一交點(diǎn)為D，則直線AD是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．
19．已知公差為2的等差數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
（?。┣螅?br>（ⅱ）若不等式對任意的恒成立，求λ的最大值．
參考答案
1．【答案】B
【詳解】該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
所以.
故選：B
2．【答案】D
【詳解】根據(jù)題意可得，
橢圓的長軸長為，根據(jù)，得.
故選：D.
3．【答案】B
【詳解】由題意得，則，
故選：B.
4．【答案】C
【詳解】因?yàn)槭侵芷跒?的周期數(shù)列，且，
所以，則.
故選：C
5．【答案】A
【詳解】由題意知，所以或.
當(dāng)時(shí)，兩直線重合，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，兩直線平行.
故選：A
6．【答案】B
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，則.
故選：B.
7．【答案】A
【詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
設(shè)，則A2,0,0，，，，，.設(shè)直線與所成的角為，則，所以直線與所成角的余弦值為.
故選：A
8．【答案】C
【詳解】由題意得，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，
過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，由拋物線的定義可得，
．
當(dāng)且僅當(dāng)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，
故的最小值為.
故選C.
9．【答案】AD
【詳解】等差數(shù)列的單調(diào)性只與公差有關(guān)，與首項(xiàng)無關(guān)，
若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增，故A正確.
在等比數(shù)列中，若時(shí)單調(diào)遞減，故B不正確.
設(shè)，則，
所以，
因?yàn)?，所以不為常?shù)，故C不正確.
若，則仍為等比數(shù)列，所以D正確.
故選：AD
10．【答案】ACD
【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故A正確；
因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)部，且，所以過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長的最小值為，故B不正確；
因?yàn)閳A心到直線的距離，所以，故C正確；
從點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，連接，則，則，
易知當(dāng)時(shí)，取得最小值，由A知，即圓心到直線的距離7，此時(shí)取得最小值，
即，故D正確.
故選：ACD
11．【答案】ABD
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

對于A，，，
則，
顯然，則，所以四點(diǎn)共面，A正確．
對于B，由正方體性質(zhì)知平面，所以在平面上的投影向量為，B正確．
對于C，又因?yàn)?，?br>設(shè)平面的法向量為，
由取，又，
所以點(diǎn)到平面的距離為，C錯(cuò)誤．
對于D，因?yàn)?，?br>則點(diǎn)到直線的距離為，D正確．
故選：ABD
12．【答案】18
【詳解】因?yàn)?，所以?br>可得，
因?yàn)椋?，所以，或?br>因?yàn)?，所以舍去，?
故答案為：.
13．【答案】
【詳解】在空間四邊形OABC中，，且，
所以
.
故答案為：
14．【答案】
【詳解】設(shè)第輛車出發(fā)時(shí)間為，則，
，
∴，
∴，
∴.
故答案為：.
15．【答案】(1)，證明見解析
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
因滿足，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
又因，
故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.
（2）由（1）得，則，
故
.
16．【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）依題意，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，
則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，
所以的方程為.
（2）設(shè)，，由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，得，
則，兩式相減得，整理得，
因此直線的斜率，其方程為，即，
所以直線的方程為.

17．【答案】(1)證明見詳解
(2)
【詳解】（1）在圖1中，過分別作，垂足分別為，
則，連接，得，
所以四邊形為菱形，連接，交于點(diǎn)，
則.
在圖2中，平面，
所以平面，又平面，
所以.
（2）由（1）知，為二面角所成的平面角，所以，
過作，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
得，
設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，
則，，
令，得，
所以，則，
又平面和平面的夾角為銳角，
所以平面和平面的夾角的余弦值為.
18．【答案】(1)；
(2)過定點(diǎn)，.
【詳解】（1）依題意，，由點(diǎn)在橢圓上，得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）依題意，直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，，則，
由消去整理得，
則，直線的方程為，
由橢圓的對稱性知，若存在符合條件的定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在軸上，
令，得
，
所以直線過定點(diǎn).
19．【答案】(1)；;
(2)（?。?br>（ⅱ）λ的最大值為7.
【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，所以，
所以，解得，所以，
因?yàn)椋裕?br>所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以；
（2）（?。┮?yàn)椋?br>所以，
所以，
兩式相減得
，
所以；
（ⅱ）由，可得，令，
則，
所認(rèn)單調(diào)遞增，所以，所以λ的最大值為7．

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